单叶双曲面与双曲抛物面
单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
例题
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z a
b上的两直母线直交时，其
交点必在一双曲线上.
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通
过这点.
B8ack
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O x
y
9
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2a，夹角为 2 ，过这两
直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线
的轨迹.
2020/1/21
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x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
单叶双曲面与双曲抛物面
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
定理 双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z ，
是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x
y b
z,
u
R
（4.7-3）
与
x a
y b
2v,
v
x a
y b
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛 物面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总 是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平 面.
通过这点.
Back
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
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图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
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40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
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35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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36
图7：
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37
图7：
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38
图7：
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39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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9
椭圆抛物面的图形
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双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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双曲抛物面（马鞍面） 图形
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单叶双曲面与双曲抛物面
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
（4.7Hale Waihona Puke 4）分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
二次曲面的直纹性
二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。
显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。
再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。
同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。
4.7 直纹面
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(2)
的某一直线上 ∴单叶双曲面(1) 由直线族 (2) 构成
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线族(2)
x z x z 1 y 1 y a c a c b b x z a c
λ不同, 所表示的直线也不同. 当λ取遍一切实数时, 得到无数多条直线, 这些直线构成一直纹面. 求此直纹面
的方程.
2z x 2 y z 解 消去λ y 3 1 2 3 2 2z 2z z y x y 3 3 3 z 2 4 2 4 y z yz x 0 为所求直纹面方程. 3 9 3
1 a a 1 a k a 1 b b 1 b k b
L1 :
0 2 1 0
1 a a 1 b b
1 1 x y 2 b a x y z 0 a b
证明: 对于双曲抛物面, 属于同族的两条直母线 都是 异面的. x y 2 2 a b 2 y 证x 2 2 z x y x y 2 z λ族: 2 a b a b a b x y z 在其中任取两条 a b 1 1 1 1 x y 2k x y 2 b L1 : b a L2 : a k k k x y z 0 x y z 0
R
(5.9)
x y a b 2
R
(5.10)
x y z a b
例 求双曲抛物面 4x y z 过点 M (1, 1, 3) 的直母线方程.
2 2
解
2x y 2x y z 2x y 2x y z
单叶双曲面与双曲抛物面直母线
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线DOI : 10. 13853 /j . cnki . i ssn. 1672 -3708. 2000. 06. 006 第年(X X 月卷第6期1o) 台州师专2 学报l f o a 侧T ll 2 u 知山2l o、N6 eO .l力a(U g J nee.e XX (e单叶双曲面与双曲抛物面的直母线董大伦台州师( 范专科学校数学系浙江临海,’31 7 仪旧: 摘要对单叶双曲面与双曲抛物而的直母线的一些性质作进一步的探讨得到儿个结果,。
关键词: 单叶双曲而; 双曲抛物而; 直母线中图分类号:8 2 1文献标识码:A文章编号:!7 o一7 5 l( l2 仪刃)肠一仪犯0一。
: 文【] 给出了单叶双曲面与双曲抛物面的直母线如下性质l单叶双曲面或双曲抛物面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线的交点必共面而且双曲抛物面的这些公垂线是一族共面的平行线本文沿用【] 中的记号及名称对直母线性质进一步深人探讨l, 。
,。
命题1单叶双曲面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线。
的交点轨迹是椭圆( 或圆): 证明设单叶双曲面的方程为护一十乒护一护止一一“(l)由〔l] 知直母线心. 护L X..1二e口二~,.下、+盯J , `“ 0 、了、`尹万`,=u o kl +下U b):l “ 0、丁“三、=ez1 _’工’向其同族其他直母线e r L lw 一X 住:.了/,.、+吸、乙矛Z 护了、.一 C一=u又l +下OuU笋u o( 兰u三)=I _土b所引公垂线的交点在平面加( 。
2 62e Z a Z+62。
2 一。
’。
, )( 吕。
一x)二+Za caZ占2+。
2`夕一占2 。
,)。
少+吞(。
2 占2+吞2 。
, ++ )( 孟ul):=o(2 )上。
为方便我们将方程( 2 ) 简记作Z二。
,众a 2a 2+B丫Z + +(3 )Z。
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
高等数学几种常见的曲面及其方程
⾼等数学⼏种常见的曲⾯及其⽅程⼀、⼆次曲⾯
1-1球⾯
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球⼼为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥⾯
1-3椭球⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的椭圆绕z轴旋转⽽成的椭球⾯。
1-4单叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕z轴旋转⽽成的单叶双曲⾯。
1-5双叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕x轴旋转⽽成的双叶双曲⾯。
1-6椭圆抛物⾯
1-7双曲抛物⾯（马鞍⾯）
⼆、柱⾯
2-1圆柱⾯
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱⾯
2-3双曲柱⾯
2-4抛物柱⾯
y2=2px
注：形如⼆、柱⾯只含x,y⽽缺少z的⽅程F(x,y)=0在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z 轴的柱⾯，其准线为xOy平⾯上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱⾯x2+y2=R2
3.旋转抛物⾯X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的抛物线旋转⽽成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的圆锥，锥顶⾓为90。
)。
高等数学7.9 二次曲面
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
单叶双曲面上特殊截痕引导的参数方程
单叶双曲面上特殊截痕引导的参数方程单叶双曲面是一种二次曲面，具有非常特殊的形态和数学性质。
在实际应用中，我们需要找到一些特殊的截痕来引导单叶双曲面的参数方程。
以下是一些常见的特殊截痕和对应的参数方程。
一、椭圆椭圆是一种常见的截痕形态，它可以通过单叶双曲面的两个直母线以及它们的中垂线来定义。
可以证明，在任意给定的单叶双曲面上，都存在一组满足该条件的直母线和中垂线，并且对应的椭圆是唯一的。
参数方程：x = a * cos(t)y = b * sin(t)z = c * sqrt(a^2 * sin(t)^2 + b^2 * cos(t)^2 + d^2)其中a、b、c、d是单叶双曲面的参数。
这个参数方程描述的曲线是一个中心在原点，长轴为2a，短轴为2b的椭圆。
二、直线直线是一种极限情况的特殊截痕形态，它可以通过单叶双曲面的两个交点来定义。
可以证明，在最简单的单叶双曲面上，即双曲抛物面上，任意两个交点构成的直线都是该曲面的特殊截痕。
参数方程：x = a * ty = b * tz = c * t^2其中a、b、c是双曲抛物面的参数。
这个参数方程描述的曲线是一条过原点的直线。
三、渐近线渐近线是一种特殊的曲线形态，它可以通过单叶双曲面的两个渐近方向来定义。
可以证明，在任意给定的单叶双曲面上，都存在两条满足该条件的渐近线，并且它们的方向角相差90度。
参数方程：x = a * sec(t)y = b * tan(t)z = c * sqrt(sec(t)^2 - 1)其中a、b、c是单叶双曲面的参数。
这个参数方程描述的曲线是一条以坐标轴为渐近线的曲线。
四、螺旋线螺旋线是一种特殊的曲线形态，它可以通过单叶双曲面的旋转方向和旋转角度来定义。
可以证明，在任意给定的单叶双曲面上，都存在一条满足该条件的螺旋线。
参数方程：x = a * cos(t)y = b * sin(t)z = c * t其中a、b、c是单叶双曲面的参数。
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这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
w a u a t a v a u b w b v b t b w c u c t c v c u w w u w v t w u t v u w v t 1 u abc t v v t
另外,还有下面的定理.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
x y z 例 求过单叶双曲面 1上的点 4 16 （6,2,8）的直母线方程。 9 x2 y2 z 2 1的两族直线 解 单叶双曲面 9 4 16 方程是
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
所以点 ( x0 , y0 , z0 ) 也在u直线上. 这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成. 因此单叶双曲面(1)是直纹曲面. 而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线， 称为u族直母线
同样可以证明由直线 y x z a c v(1 b ), （6） x z 1 (1 y ) a c v b (其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当v 0和v 的情形)
即
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c
方程组(4),(4`)实际上是（3）式中当参数 u 0 和 u 时的两种极限情形.
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
(3)
z x 0, a c y 0; 1 b
由(5)便得
x0 z0 1 y0 1 , a c u b
所以点 在u直线上.
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c 如果 x0 z0 0 那么由(5)知必有 1 y0 0 a c b
4 x 12 y 3z 24 0, 4 x 3 y 3z 6 0;
与
y 2 0, 4 x 3z 0.
练习: p180. 1. 3. 作业: p180. 2. 6.
含两族直母线
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的.
推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线 中各有一条直母线通过这点. 为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
y x z w( a c ) u (1 b ), u ( x z ) w(1 y ), a c b
x z x z 0, a c 0, a c (7)/ 与 （7） 1 y 0 y 1 0, b b 合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直 母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线.
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1 1 . b b a c a c
x z y 1 a c b . (2)/ y x z 1 b a c
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上.
只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.
( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点. 所以满足单叶双曲面方程
x0 2 y0 2 z0 2 2 2 1, 2 a b c
显然
y0 与 y0 不能同时为零. ????? 1 1 b b y0 因此不失一般性， 假设 1 0 b x0 z0 0 那么取 u 的值使得 如果 a c x z
x0 z0 y0 u 1 , a c b
y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
§ 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由 一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面. 而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱 面与锥面都是直纹曲面. 单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?
下面我们来证明: 这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成.
因而它们都是直纹曲面.
（4.7-1）
其中 u, w不同时为零。当 u 0, w 0时，各式除以 w, (4.7 1) 式子就化为(3)；当 u 0时便化成(4)； 当 w 0 时便化成(4`).
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
(3)
与
(4)与(4)/仍 然表示直线
z x 0, a c y 0; 1 b
（4）
z x 0, a c y 0. 1 b
（4）/
合起来与单叶双曲面(1)的方程等价. 把(3),(4),(4`)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的 u族直线.
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
我们虽然很弯 曲, 但是我们都 由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
x y z 2 2 1, 2 a b c
其中 a, b, c 为正常数， 把（1）改写为
2 2 2
2
2
2
（1）
或者
x z y 2 1 2 , 2 a c b
（2）
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
（4）
我们是 u族直线 家族成员
z x a c 0, y 0. 1 b
（4）/
现在来证明由这 u 族直线可以构成曲面(1)，从 而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。 首先容易知道， u族直线中任何一条直线上的点
都在曲面(1)上.
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
(3)
而v族直母线写成
y x z t ( a c ) v(1 b ), v( x z ) t (1 y ), a c b
（4.7-2）
其中 v, t 不同时为零. 对于双曲抛物面
x y 2 2 z, 2 a b
同样地可以证明它也有两族直母线
2
(2)与(1)等价吗? 等价!
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
改写为:
x z y 1 a c b . y x z 1 b a c
（2）
(2)/
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面. 证: 单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
z y x v (1 ), a c b x z 1 (1 y ) a c v b
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
2
它们的方程分别是
x y a b 2u, u ( x y ) z , a b
与
(4.7-3)
x y a b 2v , v( x y ) z. a b
（4.7-4）
分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
y x z w( 3 4 ) u (1 2 ), 与 u ( x z ) w(1 y ); 3 4 2 y x z t ( ) v(1 ), 3 4 2 v( x z ) t (1 y ). 3 4 2
2
2
2
把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得
w : u 1: 2
与
t 0,