单叶双曲面与双曲抛物面

这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
w a u a t a v a u b w b v b t b w c u c t c v c u w w u w v t w u t v u w v t 1 u abc t v v t
（4）
我们是 u族直线 家族成员
z x a c 0, y 0. 1 b
（4）/
现在来证明由这 u 族直线可以构成曲面(1)，从 而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。 首先容易知道， u族直线中任何一条直线上的点
都在曲面(1)上.
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
含两族直母线
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的.
推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线 中各有一条直母线通过这点. 为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
y x z w( a c ) u (1 b ), u ( x z ) w(1 y ), a c b
方程组(4),(4`)实际上是（3）式中当参数 u 0 和 u 时的两种极限情形.
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
(3)
z x 0, a c y 0; 1 b
y x z w( 3 4 ) u (1 2 ), 与 u ( x z ) w(1 y ); 3 4 2 y x z t ( ) v(1 ), 3 4 2 v( x z ) t (1 y ). 3 4 2
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
§ 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由 一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面. 而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱 面与锥面都是直纹曲面. 单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?
下面我们来证明: 这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成.
因而它们都是直纹曲面.
显然
y0 与 y0 不能同时为零. ????? 1 1 b b y0 因此不失一般性， 假设 1 0 b x0 z0 0 那么取 u 的值使得 如果 a c x z
x0 z0 y0 u 1 , a c b

y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
另外,还有下面的定理.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
x y z 例 求过单叶双曲面 1上的点 4 16 （6,2,8）的直母线方程。 9 x2 y2 z 2 1的两族直线 解 单叶双曲面 9 4 16 方程是
(2)与(1)等价吗? 等价!
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
改写为:
x z y 1 a c b . y x z 1 b a c
（2）
(2)/
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
2
它们的方程分别是
x y a b 2u, u ( x y ) z , a b
与
(4.7-3)
x y a b 2v , v( x y ) z. a b
（4.7-4）
分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
2
2
2
把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得
w : u 1: 2
与
t 0,
代入直母线族方程，得过(6,2,8)得两条直母线分别为
y x z 3 4 2(1 2 ), 2( x z ) 1 y ; 3 4 2
即
与
y 1 2 0, x z 0, 3 4
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面. 证: 单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
z y x v (1 ), a c b x z 1 (1 y ) a c v b
(3)
与
(4)与(4)/仍 然表示直线
z x 0, a c y 0; 1 b
（4）
z x 0, a c y 0. 1 b
（4）/
合起来与单叶双曲面(1)的方程等价. 把(3),(4),(4`)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的 u族直线.
（4.7-1）
其中 u, w不同时为零。当 u 0, w 0时，各式除以 w, (4.7 1) 式子就化为(3)；当 u 0时便化成(4)； 当 w 0 时便化成(4`).
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
y y x z x z 1 1 . b b a c a c
x z y 1 a c b . (2)/ y x z 1 b a c
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
即
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c
4 x 12 y 3z 24 0, 4 x 3 y 3z 6 0;
与
y 2 0, 4 x 3z 0.
练习: p180. 1. 3. 作业: p180. 2. 6.
w 4 0 abc t 0
0 w v 0
w u t v
u w
w
0 w v 0
0 u 0 v
u 0 0 t
4 0 v abc t t 0
w
0
w
u
w
0
0 u 0 v
u 0 0 t
4 0 w u w 4 0 w t v abc t v abc t v 0 0 v t 0 0 4 ( wvut twuv) 0 abc 所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
所以点 ( x0 , y0 , z0 ) 也在u直线上. 这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成. 因此单叶双曲面(1)是直纹曲面. 而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线， 称为u族直母线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同样可以证明由直线 y x z a c v(1 b ), （6） x z 1 (1 y ) a c v b (其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当v 0和v 的情形)
由(5)便得
x0 z0 1 y0 1 , a c u b
所以点 在u直线上.
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c 如果 x0 z0 0 那么由(5)知必有 1 y0 0 a c b
(3)
而v族直母线写成
y x z t ( a c ) v(1 b ), v( x z ) t (1 y ), a c b
（4.7-2）
其中 v, t 不同时为零. 对于双曲抛物面
x y 2 2 z, 2 a b
同样地可以证明它也有两族直母线
2
x z x z 0, a c 0, a c (7)/ 与 （7） 1 y 0 y 1 0, b b 合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直 母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线.
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上.
只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.
( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点. 所以满足单叶双曲面方程
x0 2 y0 2 z0 2 2 2 1, 2 a b c
我们虽然很弯 曲, 但是我们都 由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
x y z 2 2 1, 2 a b c
其中 a, b, c 为正常数， 把（1）改写为
2 2 2
2
2
2
（1）
或者
x z y 2 1 2 , 2 a c b
（2）
x z x z y y 1 1 . a c a c b b