直角三角形的小结与复习
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A
E
B
C D
作业
如图，AC与BD相交于点. O,DA⊥AC,
DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立 的理由. A O D C B
如图:AC与BD相交于点O,DA⊥AC, DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立 的理由. A B 解：理由如下：连接DC， O ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=90° 又∵AC=BD(已知) C D CD=DC(公共边) ∴Rt△ACD≌Rt△BDC(HL) ∴∠BDC=∠ACD(全等三角形的对应角相等) ∴ OD=OC(等角对等边)
A
E
2、如图：直线L上有三个正方形A、B、C。
若A、C的面积分别为5和11，则B的面积为
多少？
B A C
例2、如图：设A城市气象台测得台风中心，在 A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风 影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？ 为什么？如果你是气象员，请你算一算。
.
1、如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm， BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC 上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，请探 究当点P满足什么条件时，△ABC和△PQA全等。 解:当P点为AC中点或P点与C点 重合时△ABC和△PQA全等. 1)当P为AC中点时,PA=PC=5cm, M ∴PA=CB, Q ∵AB=QP ∴Rt △ABC≌ Rt △QPA(HL) B 2)当P点与C点重合时,AC=PA ∵AB=PQ ∴Rt △ABC≌ Rt △PQA(HL)
∴ △ACD是Rt △ ∴S四边形ABCD= ×4 ×3﹢ ×12 ×5=36
1 2 1 2
练习
1、如图已知四边形ABCD中， ∠A=60° ∠B=∠D=90°，BC=2，CD=1/2，求AB2。 解：延长AD，BC交于点E D ∵∠A=60。 ∠B= ∠D=90 。 1/2 ∴∠E=30 B 2 C ∴CD=1/2CE，AB=1/2AE，CD=1/2 ∴CE=1，BE=3, 由勾股定理得: AB2+BE 2=AE2, ∴ AB2+32=(2AB)2, ∴ AB2= 3
结
束
所对的角是直角。
5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 _____ 6、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 __度，
那么它所对的直角边等于斜边 ____的一半。
7、在角的内部，到角的两边距离相等的点
平分线 上。 在这个角的_____
填空：
1.如图, ∠ACB=90° ∠A=30°，则∠B= ___ 60 ° 2 _ BC=1，则AB的长为___
2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理 及其逆定理等，它们都是互为逆命题. 3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定 理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方 法来研究几何问题，体现了由数到形.
知识抢答
பைடு நூலகம்
互余 1、在直角三角形中，两个锐角__ ___。
2、两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 _____ 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于___ 45 度
斜边 的平方。 3、直角三角形两直角边 _______的平方和等于____
如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条
2 2 c2 b 直角边和斜边，那么a __+ __=___ 。
两边 的平方和等于第三 4、如果三角形中_____ ______边的 边 最长边 平方，那么这个三角形是直角三角形， _______
直角三角形的 小结与复习
1.4
小结与复习 1. 直角三角形的两个锐角有什么关系？ 2. 直角三角形斜边上的中线与斜边有 什么关系？ 3. 请用自己的语言叙述勾股定理及其 逆定理. 4. 判断两个直角三角形全等的方法有 哪些？ 5. 角平分线有哪些性质？
直角三角形两个锐角互余
直
角 三 角 形
性
质 判
。
例1. 如图，已知四边形ABCD中 ∠B=90°,AB=4,BC=3,AD=12,DC=13 ， 求四边形ABCD的面积. 解：连接AC D 12 ∵∠B=90°, AB=4, BC=3 ∴由勾股定理得，AC=5 A 13 4 ∵AD=12,DC=13 B
AC AD CD
2 2
2
3
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理
有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 S A S A A S A S A S S S
定
全等判定方法 角平分线
HL 角的平分线上的点到角 两边的距离相等 角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所 独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条 件是两个直角三角形.
北
解：作AD ⊥ BF F D ∵由已知可得∠FBA=300 600 ∴ AD= 1/2 AB=150KM 东 A B 而 150＜200 ∴A城会受到台风的影响 思考：若A城与B地的方向保持不变，为了 确保A城不受台风影响至少离B地多远？
例3：有一张Rt △ABC纸片如图所示：两直角 边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求 CD的长。 A E B 8 D 6 C
A
30°
2
3
D E
则AC的长为______ 3
1 CD是斜边AB的中线，则CD的长为____
3 CE是斜边AB的高线，则CE的长为_____ _ 2
C
1
B
2、若直角三角形的两锐角之差为18°， 则较大一个锐角的度数是____ 54 度。
3、直角三角形的两边长为3，4，则斜
边上的 中线长是 2或5/2
C P A
2 、如图 : △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ BAC=90 ° ,D 是 BC 上任意一点,则BD2+CD2=2AD2吗?请说明理由。
解: 如图，将△ABD绕A点逆时针旋转90°
至△ACE，连结DE，可得 ∠DAE=∠DCE=90°，AE=AD，CE=BD ∴BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2.
E
B
C D
作业
如图，AC与BD相交于点. O,DA⊥AC,
DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立 的理由. A O D C B
如图:AC与BD相交于点O,DA⊥AC, DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立 的理由. A B 解：理由如下：连接DC， O ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=90° 又∵AC=BD(已知) C D CD=DC(公共边) ∴Rt△ACD≌Rt△BDC(HL) ∴∠BDC=∠ACD(全等三角形的对应角相等) ∴ OD=OC(等角对等边)
A
E
2、如图：直线L上有三个正方形A、B、C。
若A、C的面积分别为5和11，则B的面积为
多少？
B A C
例2、如图：设A城市气象台测得台风中心，在 A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风 影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？ 为什么？如果你是气象员，请你算一算。
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1、如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm， BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC 上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，请探 究当点P满足什么条件时，△ABC和△PQA全等。 解:当P点为AC中点或P点与C点 重合时△ABC和△PQA全等. 1)当P为AC中点时,PA=PC=5cm, M ∴PA=CB, Q ∵AB=QP ∴Rt △ABC≌ Rt △QPA(HL) B 2)当P点与C点重合时,AC=PA ∵AB=PQ ∴Rt △ABC≌ Rt △PQA(HL)
∴ △ACD是Rt △ ∴S四边形ABCD= ×4 ×3﹢ ×12 ×5=36
1 2 1 2
练习
1、如图已知四边形ABCD中， ∠A=60° ∠B=∠D=90°，BC=2，CD=1/2，求AB2。 解：延长AD，BC交于点E D ∵∠A=60。 ∠B= ∠D=90 。 1/2 ∴∠E=30 B 2 C ∴CD=1/2CE，AB=1/2AE，CD=1/2 ∴CE=1，BE=3, 由勾股定理得: AB2+BE 2=AE2, ∴ AB2+32=(2AB)2, ∴ AB2= 3
结
束
所对的角是直角。
5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 _____ 6、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 __度，
那么它所对的直角边等于斜边 ____的一半。
7、在角的内部，到角的两边距离相等的点
平分线 上。 在这个角的_____
填空：
1.如图, ∠ACB=90° ∠A=30°，则∠B= ___ 60 ° 2 _ BC=1，则AB的长为___
2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理 及其逆定理等，它们都是互为逆命题. 3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定 理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方 法来研究几何问题，体现了由数到形.
知识抢答
பைடு நூலகம்
互余 1、在直角三角形中，两个锐角__ ___。
2、两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 _____ 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于___ 45 度
斜边 的平方。 3、直角三角形两直角边 _______的平方和等于____
如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条
2 2 c2 b 直角边和斜边，那么a __+ __=___ 。
两边 的平方和等于第三 4、如果三角形中_____ ______边的 边 最长边 平方，那么这个三角形是直角三角形， _______
直角三角形的 小结与复习
1.4
小结与复习 1. 直角三角形的两个锐角有什么关系？ 2. 直角三角形斜边上的中线与斜边有 什么关系？ 3. 请用自己的语言叙述勾股定理及其 逆定理. 4. 判断两个直角三角形全等的方法有 哪些？ 5. 角平分线有哪些性质？
直角三角形两个锐角互余
直
角 三 角 形
性
质 判
。
例1. 如图，已知四边形ABCD中 ∠B=90°,AB=4,BC=3,AD=12,DC=13 ， 求四边形ABCD的面积. 解：连接AC D 12 ∵∠B=90°, AB=4, BC=3 ∴由勾股定理得，AC=5 A 13 4 ∵AD=12,DC=13 B
AC AD CD
2 2
2
3
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理
有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 S A S A A S A S A S S S
定
全等判定方法 角平分线
HL 角的平分线上的点到角 两边的距离相等 角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所 独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条 件是两个直角三角形.
北
解：作AD ⊥ BF F D ∵由已知可得∠FBA=300 600 ∴ AD= 1/2 AB=150KM 东 A B 而 150＜200 ∴A城会受到台风的影响 思考：若A城与B地的方向保持不变，为了 确保A城不受台风影响至少离B地多远？
例3：有一张Rt △ABC纸片如图所示：两直角 边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求 CD的长。 A E B 8 D 6 C
A
30°
2
3
D E
则AC的长为______ 3
1 CD是斜边AB的中线，则CD的长为____
3 CE是斜边AB的高线，则CE的长为_____ _ 2
C
1
B
2、若直角三角形的两锐角之差为18°， 则较大一个锐角的度数是____ 54 度。
3、直角三角形的两边长为3，4，则斜
边上的 中线长是 2或5/2
C P A
2 、如图 : △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ BAC=90 ° ,D 是 BC 上任意一点,则BD2+CD2=2AD2吗?请说明理由。
解: 如图，将△ABD绕A点逆时针旋转90°
至△ACE，连结DE，可得 ∠DAE=∠DCE=90°，AE=AD，CE=BD ∴BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2.