第七章 应力应变关系

∆t = (1 − 0.9288)t 0 = 0.285mm
7.5 应力应变顺序对应规律
塑性变形时，当主应力顺序σ 1 > σ 2 > σ 不变，且应变主轴方向 3 不变时，则主应变的顺序与主应力顺序相对应，即 这种规律称为应力应变顺序对应关系
ε1 > ε 2 > ε 3 ε1 > 0, ε 3 < 0
1、Levy-Mises理论 、 理论 材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总 的应变增量
材料符合Mises屈服准则
σ e =σ s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合
y
塑性变形时体积不变
d ε x + d ε y + d ε z = dε 1 + dε 2 + dε 3 = 0 dε ij = dε ij' dε ij = dε ij'
τ xy ε xy = 2G τ yz ε yx = 2G τ ε zx = zx 2G
1 − 2v εm = σm E
1 +ν 1 ' (σ x − σ m ) = εx = εx − εm = σ x' E 2G 1 ' εy = σ y' 2G 1 ' εz = σ z' 2G
1 σe = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 ) 2
∴ 2σ e 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 )
第七章 应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
主要内容： 主要内容：
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 弹性变形时的应力应变关系 塑性变形时应力应变关系特点 增量理论 全量理论 应力应变顺序对应规律
7.1 弹性变形时的应力应变关系
虎克定律 E：弹性模量
σx −σy
=
dε y - dε z
σy −σz
dε z - dε x = = dλ σz −σx
d ε x = d λ (σ x − σ m )
dε x − dε y = dλ (σ x − σ m − σ y + σ m ) = dλ (σ x − σ y )
(dε x − dε y ) = (σ x − σ y ) dλ
v
G= E 2(1 + v)
：泊松比
σ = Eε τ = 2Gγ 2G
广义虎克定律
剪切模量
1 ε x = [σ x − v(σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − v(σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z − v(σ x + σ y )] E
例题：两端封闭的薄壁筒，直径为400mm，壁厚为4mm，承受内压100个 大气压，从而产生塑性变形，如果材料的应力-应变曲线为 ，σ e = 80ε e 0.25kg / mm 试求壁厚的减少量。 解：由于： σ θ =
pr pr ,σ z = ,σ r = 0 t 2t
所以：
pr 1 pr pr σm = ( + + 0) = 3 t 2t 2t
σm = (
pr 1 pr pr + + 0) = 3 t 2t 2t
′ σθ =
由增量理论：
pr pr ′ = 0, σ ρ = − ′ ,σ z 2t 2t
'
dε ij = dλσ ij
所以：
pr pr dε θ = dε z = dε ρ = :0:− = 1 : 0 : −1 2t 2t
7.4 全量理论
9 dε e 2 = 2σ e 2 dλ 2 2
∴
3 dε e dλ = 2 σe
2 1 ' dε x = σ x dλ = (σ x − σ m )dλ = [σ x − (σ y + σ z )]dλ 3 2 dε e 1 [σ x − (σ y + σ z )] = 2 σe dε e 1 [σ y − (σ z + σ x )] dε y = σe 2 dε e 1 [σ z − (σ x + σ y )] dε z = σe 2 3dε e 3dε e 3dε e τ xy dε yz = τ yz dε zx = τ zx dε xy = 2σ e 2σ e 2σ e
2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程 Prandtl-Reuss理论理论
总应变增量由弹、塑性两部分组成：
dε ij = dε ij + dε ij
p
e
p 3 dε P e σ ij' dε ij = dλσ ij' = 2 σe dε e = 1 dσ ' + 1-2ν dσ δ ——Hook定律求微分 m ij ij 2G ij E
' ε x' ε y ε z' ε xy ε yz ε zx 1 = ' = ' = = = = ' σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx 2G
比列及差比形式：
ε x − ε y ε y − ε z ε z − ε x ε xy ε yz ε zx 1 = = = = = = σ x − σ y σ y − σ z σ z − σ x τ xy τ yz τ zx 2G
I
F
'
后继屈服轨迹
J εD a) ε, γ b) E A C σ
不同加载路线的应力与应变
a ) 应力—应变曲线
b ) 屈服轨迹
τ D B I
初始屈服轨迹
F (σ f , τ f )
F'
J
后继屈服轨迹
O
E
A
C σ
b)
τ D B I
初始屈服轨迹
F (σ f , τ f )
F'
J
后继屈服轨迹
O
E
A
C σ
由应力-应变曲线：
σ e = 80ε e 0.25 kg / mm
εe = (
由全量理论：
σe
80
)4 = (
25 3 4 ) 80
t 3 εe ' 3 εe 3 ε r = ln = ⋅ σ r = ⋅ × 25 = εe t0 2 σ e 2 25 3 2
所以：
t = t0 exp(−
3 εe ) 2 =t 0 (−0.0743) = 0.9288t 0 = 3.72mm
ห้องสมุดไป่ตู้
σ 2≥ ≤
σ1 + σ 3
2
ε2 ≥ 0 ≤
中间关系
顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律 其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断
σ1 > σ 2 > σ 3
(σ 1 − σ m ) > (σ 2 − σ m ) > (σ 3 − σ m )
根据Levy-Mises方程
d ε1 dε 2 dε3 = = = dλ (σ 1 − σ m ) (σ 2 − σ m ) (σ 3 − σ m )
1 dε ij' = dλσ ij' + 2G dσ ij' 1 1-2ν → dε ij = dλσ ij' + dσ ij' + dσ mδ ij 2G E dε = 1-2ν dσ m m E
σ 3'
π面
dε ijp
S
增量理论特点： 增量理论特点：
O
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者 不考虑 都指出了塑性应变增量与应变偏量之 间的关系 整个变形由各个瞬时变形累加而得， 能表达加载过程的历史对变形的影响， 能反映出复杂的加载情况 卸载时仍按虎克定律求解
7.2 塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
应力、应变为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合
塑性变化不可逆——无单值一一对应 关系——与加载路径有关
对于应变硬化材料，卸载后的屈服应 力比初始屈服应力高
τ σ, τ C σS A D O τS B O εC D B
初始屈服轨迹
F (σ f ,τ f )
广义虎克定律改写为：
结论：在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与球应 结论： 力分量成正比，后者与偏差应力分量成正比，写成张量形式：
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系，即应 力主轴与全量应变主轴重合 弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变之 间存在统一的单值关系 弹性变形时，应力张量使物体产生 体积变化，泊松比小于0.5
由于初始应变为零的变形过程，可视为几 d ε1 > d ε 2 > d ε 3 个阶段组成，在时间间隔t1中，应变增量为
d ε1 t 2 = (σ 1 − σ m ) t 2 d λ2 d ε1 t1 = (σ 1 − σ m ) t1 d λ1 d ε 2 t1 = (σ 2 − σ m ) t1 d λ1 在时间间隔t2中 d ε 2 t 2 = (σ 2 − σ m ) t 2 d λ2 d ε 3 t 2 = (σ 3 − σ m ) t 2 d λ2 d ε 3 t1 = (σ 3 − σ m ) t1 d λ1 d ε1 tn = (σ 1 − σ m ) tn d λn 在时间间隔tn中 d ε 2 tn = (σ 2 − σ m ) tn d λn d ε 3 tn = (σ 3 − σ m ) tn d λn