线弹性断裂力学..
结构力学中的断裂韧性分析
结构力学中的断裂韧性分析在结构力学中，断裂韧性分析是一个重要的研究领域。
它涉及到材料在受力作用下的破裂行为以及材料抵抗断裂的能力。
断裂韧性是评价材料抵抗断裂的重要指标，它直接关系到材料的可靠性和安全性。
本文将介绍断裂韧性的概念、分析方法和应用领域。
一、断裂韧性的概念断裂韧性是指材料在受力作用下抵抗破裂的能力。
通常用断裂韧性指标KIC来衡量。
断裂韧性分析的核心是破裂力学理论，其中断裂力学理论主要研究材料在应力场中的破裂行为。
在断裂韧性分析中，常用的方法有线弹性断裂力学、贝尔式断裂力学和能量法等。
二、断裂韧性的分析方法1. 线弹性断裂力学线弹性断裂力学是断裂韧性分析中应用最广泛的方法之一。
该方法通过在裂纹前端应力场的计算和分析来确定断裂韧性指标KIC。
线弹性断裂力学的基本假设是材料在断裂前是线弹性的，且裂纹尺寸相对结构尺寸较小。
2. 贝尔式断裂力学贝尔式断裂力学是一种近似解析方法，适用于解决复杂结构中的断裂韧性问题。
该方法可以解决复杂的应力场问题，并提供了估计断裂韧性的方法。
3. 能量法能量法是一种常用的近似方法，它通过分析系统的弹性和塑性能量来评估结构的断裂韧性。
能量法常用于工程结构中的断裂韧性分析，比如断裂的扩展路径和破坏机制等。
三、断裂韧性的应用领域断裂韧性的分析在工程领域具有广泛的应用价值。
以下是一些常见的应用领域：1. 材料选型与设计。
通过断裂韧性分析，可以评估不同材料的抗断裂性能，为材料的选择和设计提供依据。
2. 结构安全评估。
断裂韧性分析可以用于评估结构在受力情况下的破裂风险，为结构的安全性评估提供依据。
3. 断裂韧性改善。
通过分析和改善材料的断裂韧性，可以提高结构的耐用性和可靠性，减少破裂风险。
4. 破损检测和评估。
断裂韧性分析可以用于破损的检测和评估，提供定量的破损评估指标。
综上所述，断裂韧性分析在结构力学中起着重要的作用。
通过对材料破裂行为的研究和分析，可以评估材料的抗断裂能力，并为工程结构的设计和安全评估提供依据。
第七章弹塑性断裂力学简介详解
； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
2
断裂力学不完全参考
断裂力学复习提纲第一章．线弹性断裂力学1.线弹性断裂力学的依据与材料力学的强度条件有什么不同两者的相同之处是：（1）形式类似。
都是以某量达到临界值的形式表述的；且该量都与外载性质及弹性体几何形状有关。
而临界值都是材料常数。
（2）临界值KIc和σs都通过实验测定。
两者的差别是：材料力学的强度条件是在材料为无缺陷的均匀连续体的前提下得到的，它没有考虑构件中存在的各种缺陷，因此，按强度条件设计的构件在许多情况下并不安全。
而线弹性断裂力学的断裂判据则考虑了构件中的缺陷造成的应力集中，是从裂纹的平衡、扩展和失稳规律出发得到的，因此，按断裂判据设计的构件更符合实际情况。
2.按裂纹几何特征和力学特征可将裂纹分为几类按几何特征：①穿透裂纹②表面裂纹③深埋裂纹按力学特征：①张开型裂纹②滑开型裂纹③撕开型裂纹3.对比单向拉伸条件下的Б和Бb说明G I和G Ic或K I和K Ic的区别与联系KI叫Ⅰ型裂纹的应力强度因子。
它们反映了Ⅰ型裂纹尖端应力场的强弱程度。
是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。
而KⅠC是KⅠ的临界值，称为材料的断裂韧度，是材料常数，通过实验测定。
相应的应力强度因子断裂判据为： Ki=Kic 7.写出裂纹尖端应力场公式特点1）r=0处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点；2）应力强度因子在裂尖为有限量；3）裂尖附近的应力分布是r和θ的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。
8.为什么裂纹尖端塑性区尺寸平面应变状态比平面应力小在平面应变状态下，沿板厚方向（z 方向）的弹性约束使裂纹尖端材料处于三向拉应力作用下。
而三向拉伸应力状态会对塑性流动起约束作用，即不易发生塑性变形。
所以平面应变状态裂纹尖端塑性区尺寸比平面应力状态小。
9.应力松弛对裂纹尖端塑性区尺寸有何影响？对K I有何影响应力松弛塑性区增大了一倍，也会导致K1的增长第二章．复合型裂纹准则1.写出最大周向应力的准则的基本假设⑴裂纹沿最大周向应力展开⑵当最大周向应力达到临界值时，裂纹失稳扩展2.写出应变能密度准则的基本假设⑴裂纹沿应变能密度因子最小的方向开始扩展⑵裂纹的扩展是由于最小应变能密度因子达到材料相应的临界值S0时发生的3.写出能量释放率准则的基本假设⑴裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展⑵裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到临界值而产生的第三章．弹塑性区断裂力学1.为什么COD及J积分可用来描述弹塑性裂纹问题弹塑性断裂力学是解决大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖端区域弹塑性应力应变场强度的参量，以便能用理论建立起这些参量与裂纹几何特征，外加载荷之间的关系，而J与COD都是弹塑性断裂力学中两个重要的适用参量，所以COD 及J积分可用来描述弹塑性裂纹问题2.D-B模型的适用条件⑴适用于无限大平板中含中心穿透裂纹的平面应力情况⑵σ/σs<0.6⑶假设屈服区内材料为理想塑性3.J积分的形变功率定义的限制条件⑴单调加载不容卸载的要求⑵小应变条件4.写出J积分的回路积分定义由围绕裂纹尖端周围区域应力，应变和位移场所组成的围线积分给出的定义使J积分具有场强度性质5.J积分的守恒性在什么条件下得到严格的证明满足不计体力，小应变及单调加载条件下6.由D-B模型导出COD表达式是否适用于全屈服情况为什么D-B模型不适用于全面屈服的情况，而对小范围或大范围屈服7.J积分的形变功率定义由外载荷通过施加点位移对试样所做的形变功给出，使得J积分物理意义明确，易于通过实验测定第四章．常用断裂参数测试1.测试K Ic时为什么要进行有效的判断，如何判断只有当试样尺寸满足平面应变和小范围屈服的力学条件时，才能获得稳定的Kic支1 Pmax/PQ≤1.1 2[a,B,w-a]≤2.5(KQ/Бs)2第五章．疲劳问题1.高周疲劳和低周疲劳的概念高周疲劳：当构件所受应力较低，疲劳裂纹在弹性区扩展，裂纹扩展至断裂所经历的应力循环周期N较高，或裂纹形成寿命较长称为高周疲劳低周疲劳：当构件所受的应力较高或因存在孔，槽，圆角等应力集中区，局部应力已超过材料的屈服极限，形成较大的塑性区，裂纹主要在塑性区扩展2.什么是裂纹的亚临界扩展交变应力作用下，从初始裂纹尺寸到临界裂纹尺寸这一段扩展过程，叫做疲劳的亚临界状态3.除了Δk之外还有哪些因素影响，如何影响⑴平均应力（增大而增大）⑵过载峰（对低载恒幅下裂纹扩展速率有延缓作用）⑶加载频率（越低而越大）⑷温度影响（温度越高越大）4.疲劳过长阶段⑴裂纹成核阶段⑵微观裂纹扩展阶段⑶宏观裂纹扩展阶段⑷断裂阶段。
工程断裂力学第四章(矿大)new
载荷与位移之间的线性关系不再成立，这时属于弹塑
性断裂力学的范围。
柔度法一般应用于恒载荷时平板的I型裂纹问题， 要求裂纹前沿整齐，有相同的能量释放率。整个应力 强度因子标定的步骤如下∶
(1) 选定一标准试件－长条板单边裂纹试件，用薄刀片加
工，制成长为a1的I型裂纹。然后材料试验机上拉伸， 画出拉力和加载点位移关系线。此时关系应是线性的。
式表示的曲线。
a a 2 a 3 a 4 BEC b0 b1 ( ) b2 ( ) b3 ( ) b4 ( ) h h h h
U P 2 C G 2 B a Ba P
GB 2 Eh 1 a a 2 a 3 [b1 2b2 ( ) 3b3 ( ) 4b4 ( ) ] 2 2 h h h P
(fracture process zone)。
K场区
在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场
时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端 的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应
力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外
则须加上高次项。
关于K场区和断裂过程区
如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算
应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端
dU G dA p
这是恒载荷时的能量释放率表达式。 柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应 力强度因子的标定
恒载荷柔度法
一块很长的矩形板，板厚为B，板下边固定，上边某点 有拉力P，载荷点位移为δ。拉力P方向垂直裂纹面。在 裂长为a时，拉力P可产生位移δ(a)，当裂纹增至
1 c P c C 1 c2 C 1 dU 2 G ( ) c ( ) Ba 2 B a 2 B a dA
第05讲：线弹性断裂力学的塑性修正
作业
1. 小范围屈服条件下为什么要进行应力强度因 子的塑性修正，如何修正？
2. 试样的厚度与应力状态和塑性区尺寸有何关 系，它是如何影响断裂韧性的？ 3. 写出R阻力曲线上裂纹失稳扩展的条件？
本讲内容
1
塑性区模型
平面应力状态与平面应变状态
厚度效应 平面应力断裂和R曲线
(未考虑产生塑性区应力后的应力平衡)
Irwin塑性区模型
② 第二次近似值 考虑到塑性区内应力平衡则有 R rp*
* R r dr ys p ys y 0
* r p
将 y
KI 2r
* p
代入上式得到
2 2
R ys 2 r F a ys
塑性区方程：
2 K 3 2 I r ( θ ) 1 sin cos 平面应力 p 2 4 2 ys 2 K 3 2 2 I r ( θ ) sin ( 1 2 ) ( 1 cos ) 平面应变 p 2 4 2 ys
2
3 4
裂纹尖端塑性区
原因：塑性区影响材料的断裂模式和材料对裂纹扩 展的抗力。 目的：确定塑性区的形状和大小，从而在小范围屈服 的前提下对应力强度因子进行修正，以便更加 准确的描述裂尖的状态。
方法：采用简化模型估算
Irwin塑性区模型
第一次近似
第二次近似
Irwin塑性区模型
①第一近似值 r p* 裂纹尖端应力场
Irwin提出，将裂纹长度增加一微量Δa，其效果与裂 纹尖端的塑性区的效果相似。 将裂纹长度由 a 增加到 a rp
K F ( a r) I
线弹性断裂力学基础
1
Griffith 能量平衡
Griffith提出
E 总能量 应变能和外力功之和
断裂能
Dr Alan A. Griffith (1893-1963)
Griffith AA, The phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions, Series A, 1920(221): 163-198.
7
应力强度因子举例-线状裂纹
8
圆柱壳
应力强度因子举例-线状裂纹
9
应力强度因子举例-线状裂纹
式中，f(a,W,...)称为几何修 正系数，反映构件和裂纹 几何尺寸对裂尖应力场的 影响。
0
应力强度因子举例-面状裂纹
Newman-Raju解
1
应力(Fracture Toughness)
3
应变能释放率
Irwin提出应变能释放率(Strain Energy Release Rate)
U 由变形引起的应变能 F 外力功
对于无穷大板，有
Dr George R. Irwin (1907-1998)
Irwin GR, Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys, Sagamore Research Conference Proceedings, 1956(2): 289-305.
Pergamon.
数值方法
有限元（商业软件） 边界元、无网格、差分法等等
实验方法
光弹、散斑
4
求解方法
LEFM中应力强度因子可叠加
线弹性断裂力学
线弹性断裂力学
郭素娟
华东理工大学机械与动力学院 sujuanguo@
内容简介
现代断裂力学是在Griffith经典断裂理论的 基础上发展起来的： 线性弹性断裂力学 弹塑性断裂力学 动态断裂力学 从理论体系的成熟程度来看，线性弹性断裂力学 发展最为完善。本章将重点介绍线性弹性断裂力 学的一些基本知识。
无限体内有一椭圆裂纹，
沿z向长轴为2c，沿x向的
短轴为2a，沿y向受有均
匀拉伸应力作用。
2 a a KI (sin 2 2 cos 2 )1/ 4 Ek c
与位置 有关。
/2
Ek
0
(sin 2
a 2 1/ 2 cos ) d 2 c
2
x a
c z
于材料的屈服极限σs时，裂纹尖端附近会形成一个微小的塑 性区域，引起裂纹尖端区的应力松弛。 严格的讲，当裂纹尖端附近出现塑性区，线弹性断裂力 学的理论就不再适用。但如果屈服区很小(称为小范围屈服)，
主要内容
几个相关的基本概念 应力强度因子断裂理论 裂纹尖端塑性及应力强度因子塑性修正 能量平衡方法
应力场强度因子断裂理论的应用案例
思考题
应力强度因子断裂理论
裂纹尖端应力场和位移场
应力场强度因子的定义及确定方法
典型结构的应力强度因子
应力强度因子的叠加原理
应力场强度因子断裂判据
应力强度因子断裂理论
m DC E 2
几个相关的基本概念
平面应力与平面应变状态
实际构件的应力表现为三 维复杂情况 z
y
y
断裂力学-线弹性理论
上式是裂尖应力场的主项，还有r0阶项等。
r0时，应力sij以r-1/2的阶次趋于无穷大；
其后r0阶项等成为次要的，可以不计。 r， sij趋于零；但显然可知, 当q=0时，在x轴 上远离裂纹处，应有sy=s，且不受r的影响。故 此时应以其后的r0阶项为主项。
断裂力学关心的是裂纹尖端附近的应力场。
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动 能引入Griffith能量准则;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及 惯性力，对裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进 的匀速扩展半无限长裂纹模型； 1960年, K B．Broberg(布洛伯格), 提出的裂纹从零长度开始对称地向两侧匀 速开裂模型较有实际意义。 ●Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,提出 了动态应力强度因子概念及裂纹动态起始扩展准则、运动裂纹传播与止裂 准则、能量释放率准则。 尚处于初创阶段，除了线性材料的稳定裂纹动态起始扩展问题和对弹性波 的散射问题有较系统的直接解法作定量分析外，线性材料的裂纹快速传播 与止裂问题、非线性材料的动态裂纹问题、分叉问题等都是当前重要的研 究课题。
裂尖的应力强度因子K1： K1 s a
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。
K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m 。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f ( a ,W ,...)
宏观裂纹指材料制造或加工及使用过程中形成的宏观尺度(10-2cm以上)的类 裂纹缺陷。在实际结构中这种裂纹的存在是难免的。
材料力学中的断裂力学分析方法研究
材料力学中的断裂力学分析方法研究引言：断裂力学是材料力学中的一个重要分支，研究材料在受力作用下的破裂行为和断裂过程。
在工程实践和科学研究中，了解材料的断裂行为对于设计和改进工程结构具有重要意义。
本文将介绍材料力学中的断裂力学分析方法，包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学和断裂力学的数值模拟方法。
一、线弹性断裂力学线弹性断裂力学是材料力学中最基本的断裂理论，适用于强度高、韧性差的材料。
线弹性断裂力学的基本原理是根据材料的线弹性性质，通过应力和应变的关系，计算出材料在受力作用下的应力强度因子。
应力强度因子是描述断裂过程中应力场的一种参数，可用于预测材料的断裂行为。
线弹性断裂力学的主要分析方法包括拉伸试验、根据裂纹尖端应力场求解应力强度因子、确定裂纹扩展方向的K-R曲线等。
二、弹塑性断裂力学当材料的强度和韧性较高时，线弹性断裂力学不能很好地描述材料的断裂行为。
此时，需要采用弹塑性断裂力学进行分析。
弹塑性断裂力学将材料的弹性和塑性行为结合起来，考虑材料在加载过程中的变形和断裂。
在弹塑性断裂力学中，应力强度因子的计算需要考虑材料的塑性缺口效应。
常见的弹塑性断裂力学分析方法包括J-积分法、能量法和应力强度因子法等。
三、断裂力学的数值模拟方法随着计算机技术的发展，断裂力学的数值模拟方法得到了广泛应用。
数值模拟方法能够更准确地描述材料的断裂行为，包括裂纹的扩展路径、失效载荷和断裂过程等。
常用的数值模拟方法有有限元法和离散元法。
有限元法以其广泛的适用性和高精度的计算结果而受到广泛关注。
在有限元法中，利用离散化的网格模型和连续介质力学理论，对材料的断裂过程进行模拟和分析。
离散元法则更适用于颗粒状材料或颗粒之间存在断裂的材料。
四、断裂力学在工程中的应用断裂力学在工程中有着广泛的应用。
通过对材料的断裂行为进行准确的分析和预测，可以为工程结构的设计和改进提供重要的依据。
例如，在航空航天工程中，断裂力学能够用于预测飞机机体的疲劳破坏和碰撞破坏情况；在汽车工程中，断裂力学可以帮助改进车辆的安全性能和减少事故发生的风险；在材料工程中，断裂力学可以用于评估材料的强度和韧性，优化材料生产工艺。
断裂力学IIIIII裂尖场
弹性裂纹尖端场 的特征展开(Williams,1957)
概述
裂纹可分为三种类型： I型——张开型 II型——剪切型 III型——撕开型(反平面剪切型)
三种裂纹的形式中，I 型裂纹最为常见，在工 程设计和分析中最重要。但在数学分析上，III 型裂纹比较简单。
断裂力学简介
KI
2
r
2
cos
2
1
2
sin
2
2
K II
2
r
2
sin
1 2 cos2
2
uy
KI
2
r
2
sin
2
1
2
cos
2
2
K II
2
r
2
sin
1 2sin2
2
式中，
2
E
1
,
KIII lim r 0
2 r 32 0
III型反平面剪切问题
在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中的 第二项，此时应力和位移场变为：
III 31
K III
2 r
%3II1I
0 31
,
III 32
K III
2 r
%3II2I
,
u3
K III
第五章 弹塑性断裂力学的基本理论
(1
sin
)
2 r 2
2
2
x
y
2
(
x
y )2
2
2xy
KI
2 r
cos
2
(1
sin
2
)
0
3
2
KI cos 2 r 2
平面应力 平面应变
Irwin对裂端塑性区的估计
由Mises屈服准则，材料在三向应力状态下的 屈服条件为:
(1
2
)2
(
2
3
)2
( 3
1)2
2
2 s
当 s 进入屈服状态
ys 1.7 s
用其他试验方法测得的塑性约束系数(σys/σs) 也大致为1.5-2.0。
以上是根据Mises屈服判据推导的结果，如用 Tresca判据也会得出同样的结论。
Irwin对裂端塑性区的估计
3）塑性区公式，其尺寸的表达式为
0 时：
平面应力状态
r0
1
2
[ KISຫໍສະໝຸດ ]2平面应变状态r0
第二类准则以裂纹失效为根据,如R阻力曲线法, 非线性断裂韧度G法。
主要内容：
§5.1 Irwin对裂端塑性区的估计及小范围屈服时 塑形区的修正 §5.2 裂端塑形区的形状 §5.3 裂纹尖端的张开位移 §5.4 J积分理论
Irwin对裂端塑性区的估计
Irwin对裂端塑性区的估计
一 引言
1
根据线弹性力学，由公式
ij (r, )
Km 2 r
fij
可知，当r趋
向于零时，ij 就趋向于无穷大，即趋近于裂纹端点处，
应力无限大。
2 但实际上对一般金属材料，应力无限大是不可能的， 当应力超过材料的屈服强度，将发生塑性变形，在裂纹 尖端将出现塑性区。那么，塑性区的尺寸是咋样的？
断裂力学的认识与体会
断裂力学的认识与体会摘要:在当前社会的发展中，金属广泛被应用于各类基础设施设备中，我们对金属材料的安全可靠性的认识是很有必要。
在这学期的课程学习中，重点对线弹性断裂力学和弹塑性断裂力学进行讲解。
接下来主要来讲述我对线弹性断裂力学和弹塑性断裂力学的认识和体会。
关键词:线弹性断裂力学；弹塑性断裂力学；认识；体会引言断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件（荷载、温度、介质腐蚀、中子辐射等）作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。
在20世纪时，当工程师们按弹性失效理论和塑性失效理论计算出的符合常规强度失效，未达到设计强度而提前破坏，后经工程师们发现是由于裂纹的出现，导致结构的提前破坏，进而对断裂损失力学的大量研究。
断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。
例如断裂力学技术已被应用于估算各种条件下的疲劳裂纹增长率、环境问题和应力腐蚀问题、动态断裂以及确定试验中高温和低温的影响，并且由于有了这些进展在设计有断裂危险性的结构时，利用断裂力学对设计结果有较大把握。
断裂力学研究的方法是:从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。
1线弹性断裂力学的认识1.1断裂类型对于各种复杂的断裂形式，根据裂纹受力情况与裂纹面的位移方式，可将裂纹分为三种基本类型，即：I型或张开型(拉裂型)；Ⅱ型或滑移型(面内剪切型)；Ⅲ型或撕裂型(面外剪切型)。
在这三种裂纹型式中，I型裂纹是最常见、最危险的，容易引起低应力脆断，因此研究工作也开展得最多。
1.2应力强度因子假设无限平板上具有2a的穿透性裂纹，当它受力时，根据无限平板的受力情况分解和判断出该平板的断裂类型，其裂纹端部区域（r→0）的应力分量可以应用弹性理论该裂缝的应力分量，由应力分量的表达式可以看出系数（Ⅰ型裂纹）或（Ⅱ型裂纹）与点的位置无关，仅决定荷载和裂纹尺寸，因此它是裂纹端部区域应力场的一个公共因子。
《高等工程力学》第6章_线弹性断裂力学(正式)
图6-1 含中心裂纹的板
Vε = −
σ
2E
πa 2
（6-3）
6.1 断裂分析的能量方法3 断裂分析的能量方法3
应变能是由裂纹扩展释放出来的，而在形成裂纹的过程中，材料内 部的结合键将发生断裂，所引起的能量被材料吸收，产生了与裂纹扩展 长度a相关联的表面能
Es = 2γa （6-4） 式中，γ为单位面积表面能，单位为(J/m2)；系数2是因为形成了两 个自由表面。 令总能量Es＋Vε的导数为零，可得到临界裂纹长度值
K ΙΙ = k ΙΙτ πa
（6-14）
式中，因数 kΙΙ为大于或等于l的值，其具体数值解答请见参考 有关文献。
6.3 应力强度因子 7
6.3.3 二维Ⅱ型裂纹和Ⅲ型裂纹 二维Ⅱ型裂纹和Ⅲ 对于图6-5中平面问题的应力单元，类似关于Ⅰ型裂纹的推导，可以 给出平面剪切型(Ⅱ型)裂纹的应力强度因子KⅡ。裂纹尖端附近的应力场 为
6.1 断裂分析的能量方法
英国物理学家Griffith的基本观点： 的基本观点： 英国物理学家 的基本观点
在裂纹扩展过程中，由于物体内部能量的释放所产生的裂纹驱动力 导致了裂纹的增长。同时，也存在着阻止形成新的裂纹面积的阻力，即 在裂纹增长过程中，物体中驱动裂纹增长的动力与阻止裂纹增长的阻力 是平衡的。这一能量平衡方法成为材料和力学科学发展史上最著名的贡 献之一。下面将简单介绍这一方法。 材料在单向应力作用下，应变比能为
K Ι = k Ισ πa
（6-13）
式中因数k Ι 为大于或等于1的值，其具 体数值解答请见参考有关文献。
图6-6 几何对称的含孔边裂纹有限大矩形板 a)对称受力 b)反对称受力
6.3 应力强度因子 6
图6-6b表示几何对称而受力反对称的含孔边裂纹矩形板， 含孔边对称裂纹有限大板应力强度因子KⅡ，即平面剪切Ⅱ 型裂纹的公式为
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载荷
形状系数
a ij＝ Y f（ ij ） 2 r
几何因素 当r=0，出现 奇异性
裂纹尖端附近的应力应变场
a ij＝ Y f（ ij ） 2 r
即：r趋于0时，应力
σij
无穷大
裂纹尖端部位的 应力 无穷大
似乎说明，只要结构有裂纹，将不能承受载荷
裂纹尖端附近的应力应变场---典型的拉伸曲线
的表面裂纹。现有两个钢种可供选择，其中，
甲钢种的σ s=2100MPa，KIC=50MPa m ；
乙钢种的σ s=1700MPa，KIC=84MPa m 。
试分析应该选用哪一种钢种合适。
按常规强度理论，两个钢种的强度安全系数分别为： 甲钢：
按常规强度理论，显然甲钢种的强度储备大于乙钢种
从断裂力学角度分析 由应力强度因子可以推导出材料断裂时的临界应力
KI Y a
a ij＝ Y f（ ij ） 2 r
应力强度因子 －KI
• 描述裂纹尖端应力应变场参量 • 可以认为是描述裂纹扩展的推动力的量
强度理论 • 应力（推动力）
• 许用应力的确定 • 建立强度条件
应力强度因子－KI • 描述裂纹尖端应力应变场参量 • 可以认为是描述裂纹扩展的推动力的量
II型(滑移型)
III型(撕开型)
I型裂纹尖端附近的应力应变场 模型
• 弹性体
• 无限大平板
• 中心穿透裂纹 • 四周均匀拉伸
I型裂纹尖端附近的应力应变场
• 初始边界条件： （1）当y=0,-a<x<a时， y=0。 （2）当y=0,|x|>a时， y> 。 （3）当y=0,x时， y= 。
材料屈服准则
• Von. Mises屈服准则 当复杂应力状态的形状改变能密度等于单向拉压屈 服时的形状改变能密度时，材料发生屈服。
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 2 s2
Tresca屈服准则 在复杂受力状态下，当最大剪应力等于材料单向拉伸屈 服剪应力时，材料屈服。
a 3 xy sin （ cos cos ) 2 2 2 2 r
角度因素
I型裂纹尖端附近的应力应变场
(r ,0)
* y
ar 2ar r 2
I型裂纹尖端附近的应力应变场
(r ,0)
* y
ar 2ar r 2
裂纹尖端附近的应力应变场
裂纹尺寸
强度理论
？？？
• 能否建立与强度理论相似的强度条件
• 能否确定与 [σ]相似的与KI对应的参量
应力强度因子－KI • 描述裂纹尖端应力应变场参量 • 可以认为是描述裂纹扩展的推动力的量 线弹性断裂力学断裂判据
KI KIC
三、材料断裂韧性（KIC）
KI Y a
裂纹尺寸一定，KI值随载荷应力 的增大而增大。当KI 增大到某一程度时，裂纹开裂，进入随应力增大而裂纹 继续扩展的稳定扩展阶段。最终发生突然的不可控制的 快速断裂，即失稳断裂。
器的剩余强度。
解：容器的临界环向应力为：
取安全系数1.5
裂纹尖端的塑性修正
裂纹扩展前，在尖端附近，材料总要先出 现一个或大或小的塑性变形区。 ∴单纯的线弹性理论必须进行修正。
?
a ij＝ Y f（ ij ） 2 r
典型的拉伸曲线
s= 0.2
ห้องสมุดไป่ตู้s
e
e
e
b
e
e
e
理想弹塑性材料模型
可见，甲钢种的断裂应力不仅比乙钢种低，且低于许用应 力[σ ]。这就表明，若选用甲钢种作为容器材料的话，就 可能在低于设计压力下发生低应力脆断。若选用乙钢种， 则就不会发生低应力脆断。
例2
某容器的材料机械性能为σ s=2100MPa，
KIC=37MPa m 。容器制成后，发现器壁上有长为
2a=3.8mm 的纵向裂纹(看作穿透裂纹)，试估计此容
• Stress intensity factor
由Irwin等1957 年导出。Kies 的缩写，Irwin 的同事。
形状系数 裂纹尺寸
KI Y a
载荷因素
线弹性断裂力学
弹性力学 应力应变场 位移变形
应力强度因子
应力强度因子－KI
• 描述裂纹尖端应力应变场参量 • 可以认为是描述裂纹扩展的推动力的量
影响断裂韧度（断裂韧性）的因素
（1） 材料、温度 （2） 应力状态：如平面应力与平面应变 （包括：结构形式、尺寸、缺陷位置大小等）
断裂韧度随试样 厚度变化情况
四、线弹性断力学判据（应用举例）
KI = KIC
应用举例
例l、 有一高强钢容器，设计许用应力为
[σ ]=1400MPa，探伤只能发现深度大于1mm
实验证明每一种材料均有自己的发生裂纹失稳断裂的KI 最低值称为“临界应力强度因子KIC”，它是材料抗裂纹 断裂的韧性的反映，亦称为材料的“断裂韧性”。 材料的KIC值越高说明抗断裂的韧性越好。越不容易发 生低应力脆断。断裂韧性便成为衡量材料韧性与脆性的 重要力学性能新指标。 不同断裂判据有不同的参数，如KIC、JIC、δC,则称为断 裂韧度。
s= 0.2
s
e
e
e
b
e
e
e
裂纹尖端附近的应力应变场
弹性区
裂纹
塑性区
裂纹尖端附近的应力应变场－塑性区
裂纹尖端附近的应力应变场
• 小范围屈服条件－－ 当材料的塑性区很小时，线 弹性分析的裂纹尖端应力应变场可以近似实用
a ij＝ Y f（ ij ） 2 r
二、应力强度因子方法
两维弹性问题，复变函数方法 •应力函数满足边界条件和双调和方程即可 • Westergaard、Muskhelishrili 等应力函数
I型裂纹尖端附近的应力应变场
a 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r
a 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r
无损检测技术与缺陷评价技术
线弹性断裂力学
机械与动力工程学院 承压系统与安全教育部重点实验室
思考？
• 对缺陷问题，你如何考虑？ • 如何研究此类问题？
思考？
• 对缺陷问题，你如何考虑？ • 如何研究此类问题？ • 求解含裂纹构件的应力、应变； • 建立应力或应变判据。
一、弹性应力场分析方法
I型（张开型）