倒立摆系统地控制器设计

目录摘要................................................................... - 2 - 1 倒立摆系统概述.............................................................. - 3 -1.1倒立摆的种类.......................................................... - 3 -1.2系统的组成............................................................ - 3 -1.3工程背景.............................................................. - 3 -2 数学模型的建立.............................................................. - 4 -2.1牛顿力学法系统分析.................................................... - 4 -2.2拉氏变换后实际系统的模型.............................................. - 7 -3 开环响应分析................................................................ - 8 -4 根轨迹法设计............................................................... - 10 -4.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析................................. - 10 -4.2系统稳定性分析....................................................... - 10 -4.3 根轨迹设计........................................................... - 11 -4.4 SIMULINK仿真........................................................ - 14 -5 直线一级倒立摆频域法设计.................................................. - 15 -5.1 系统频域响应分析..................................................... - 15 -5.2频域法控制器设计..................................................... - 16 -5.2.1控制器的选择................................................... - 16 -5.2.2系统开环增益的计算............................................. - 17 -5.2.3校正装置的频率分析............................................. - 17 -5.3 Simulink仿真........................................................ - 21 -6 直线一级倒立摆的PID控制设计.............................................. - 22 -6.1 PID简介............................................................. - 22 -6.2 PID控制设计分析..................................................... - 22 -6.3 PID控制器的参数测定................................................. - 23 -7 总结与体会................................................................. - 26 -7.1总结................................................................. - 26 -7.2体会................................................................. - 26 - 参考文献..................................................................... - 27 -摘 要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。

因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。

本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：02()0.02725()()0.01021250.26705s G s V s s Φ==- ………………………(1) 即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。

然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。

最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID 控制法对倒立摆系统进行校正。

针对目标一：调整时间0.5(2%)s t s =误差带，最大超调量%10%≤p σ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为：135.1547( 5.0887)()135.1547c s G s s +=+ (2)针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50︒；增益裕量等于或大于10 分贝。

通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为：1189.6(8.15)()99.01c s G s s +=+ …………………………………………………(3) 针对目标三： 调整时间误差带）%2(2s t s =，最大超调量，%15%≤p σ，设计或调整PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为：150()21020c G s s s =++ (4)关键词：直线一级倒立摆 根轨迹分析 频域分析 PID 控制1 倒立摆系统概述1.1倒立摆的种类悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。

一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。

1.2系统的组成倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。

1.3工程背景机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。

在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。

通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。

为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。

多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。

2 数学模型的建立2.1牛顿力学法系统分析通过以上假设，将倒立摆抽象为如图所示的系统图 直线一级倒立摆模型 • M 小车质量1.096 Kg• m 摆杆质量0.109 Kg• b 小车摩擦系数0.1N/m/sec• l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m• I 摆杆惯量0.0034 kg ·m 2• F 加在小车上的力• x 小车位置• φ 摆杆与垂直向上方向的夹角• θ 摆杆与垂直向下方向的夹角xmg图 小车及摆杆受力分析N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量 。

θπφ=+cos cos φθ=-sin sin φθ=-首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。

对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程： 22d x dx M F b N dt dt =-- （2-1-1）对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程：22(sin )d N m x l dt θ=+ （2-1-2）即：22222N = m + ml cos ml()sin d x d d dt dt dtθθθθ- （2-1-3） 把这个表达式代入式(4-1)中，得到系统的第一个运动方程：22222()cos ()sin d dx d d M m b ml ml F dt dt dt dtθθθθθ+++-= （2-1-4） 然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。

对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：22(cos )d P mg m l dtθ-= （2-1-5） 222sin ()cos d d P mg ml ml dt dtθθθθ-=-- （2-1-6） 力矩平衡方程如下：22sin cos d Pl Nl I dtθθθ--= （2-1-7） 此方程中力矩的方向，如图所示θπφ=+ , 则cos sin ,sin sin φθφφ=-=-，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程：22222()sin cos d d x I ml mgl ml dt dt θθθ++=- （2-1-8）设θπφ=+（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1φ<<，则可以进行近似认为2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-=。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下[3]：2222222222()()()d d x I ml mgl ml dt dt d x dx d M m b ml u dt dt dt φφφ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩ （2-1-9） 假设初始条件为0，对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩ （2-1-10） 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：22()()()I ml g X s s mls ⎡⎤+=-Φ⎢⎥⎣⎦ （2-1-11） 222()()()s mls X s I ml s mgl Φ=+-（2-1-12） 令v = x ，则有： 22()()()s ml V s I ml s mglΦ=+- （2-1-13） 把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：22222()()()()()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤+++-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2-1-14） 整理后得到传递函数：22432()()()()mls s q b I ml M m mgl bmgl U s s s s s q q qΦ=+++-- （2-1-15）其中222[()()]q M m I ml m l =++-。