高等数学上学期期末考试试题和答案解析四份

合集下载

高等数学上学期期末考试试卷及答案四份

高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目:高等数学I 班级:姓名:学号:成绩: 一、填空题（5153'=⨯'）1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（）A.x cos 1-B.2x x +C.1-x eD.x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。

A ．h h a f a f h )()(lim0--→B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→D ．h h a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（） A.上升且凹的B.上升且凸的C.下降且凹的D.下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（）A.)(d )(d d x f x x f x b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B.x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C.()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D.C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xe x （）A.发散B.收敛于1C.收敛于21D.收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限xxx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x ，计算xy d d5、求积分⎰x e xd6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。

高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。

以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。

答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。

答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。

答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。

答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。

答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。

大一上学期高等数学期末试题及解答

Q( x) sin x , x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x x
x dx
C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
x
四、计算题（每小题9分，共36分）
则f (ln x)定义域是 [1, e] .
知识点：复合函数的定义域
分析 0 ln x 1, 1 x e
一、填空题（每小题3分，共15分） 2. 已知y x x ,则y _______ .
知识点：对数求导法
解 ln y x ln x , y =lnx 1, y
y xx (ln x 1).
( A) p 1,q 2; (B) p 2,q 3;
(C) p 2,q 1; (D) p 3,q 2 .
解：特征方程为：r2 pr q 0 , 把特征根 r1 1 , r2 2 1 p q 0 分别代入特征方程，得 4 2 p q 0
解得
p 3,q 2 .
4. 求曲线y e x ( x 0)与y 0, x 0围成的
右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积.
知识点：反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，
解 V + πy2dx + πe2xdx
0
0
π e2x 2
|0+
π. 2
五、解答题（每小题10分，共20分）
1. 在抛物线y x2 (0 x 1)上找一点P，使经过P的

(完整word版)大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1012330()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .(A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D)()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小；（B)()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ).（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。

8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。

2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。

3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。

4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。

5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。

7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。

8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。

10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试之吉白夕凡创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

高等数学上学期期末考试试题和答案解析四份上课讲义

高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题（5153'=⨯'） 1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_ 2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（）A . x cos 1-B . 2x x +C . 1-x eD . x x sin )ln(1+ 2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。

A ．h h a f a f h )()(lim0--→ B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D ． hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（）A. )(d )(d d x f x x f x b a=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex （）A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题（'488'6=⨯） 1、求极限xxx x 3sin sin tan lim -→ 2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x，计算xy d d 5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末测验之袁州冬雪创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x -（D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ.7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 持续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的持续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=知足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上持续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上持续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程双方求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处持续.13. 解：2ln dy y x dx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、解答题（本大题10分）14. 解：由已知且2d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为xx e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所求曲线方程为：x x e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分） 15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其知足在],0[π上持续，在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=π00sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A)(0)2f '= (B)(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

(A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; (B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； (D ）()x β是比()x α高阶的无穷小。

3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( )。

(A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B)函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A)22x (B ）222x+(C ）1x - （D)2x +。

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim 。

6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。

7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ 。

8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案(word文档良心出品)

(完整版),期末高等数学(上)试题及答案,推荐文档

1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
第 7 页，共 7 页
9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )

(完整word版)高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案

高等数学（同济第六版）上册-期末试卷及答案一、填空题1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim30 . 232.曲线x xe y -=的拐点是 .)2,2(2-e3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→xx f x )(lim 0. )0(f ' 4.曲线x x y +-=22cos 1在)21,2(ππ+处的切线方程为 .1y x =+ 5.曲线122-=x x y 有垂直渐近线和水平渐近线 . 1±=x ，1=y6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy . dx e e f e f x x x ⋅'⋅)()]([2sin7.=⎰dx e x 40 . )1(22+e8. 若3)(0-='x f ，则=--+→hh x f h x f h )3()(lim000. 12-9. 若dx x p ⎰+∞1收敛，则p 的范围是 .1-<p 10.=+++∞→1)1232(lim x x x x. 11.设⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=dx x f )2( . c x F +)2(2112.设)(x f 的一个原函数是x x ln ，则⎰=dx x xf )( . c x x x ++ln 242213.设⎩⎨⎧≤>=0,0,)(2x x x x x f ，则⎰-=11)(dx x f . 61-14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 . 12+=x y15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第类间断点. 1，一16.已知⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=-dx x f x)(arcsin 112.c x F +)(arcsin17.当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a .2318.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,0,sin )(303x a x x dtt t x f x 是连续函数，则=a . 1 19.)(x f 在]1,0[上连续，且120(1)0,[()]1f f x dx ==⎰，则='⎰10)()(dx x f x xf .21- 提示：='⎰10)()(dx x f x xf ⎰⎰-=11021))(()()()()(x xf d x f x xfx df x xf⎰⎰⎰'--='+-=110210)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得.20.dx xe x x x ⎰=Φ02)(，则=Φ)1( . =Φ')1( . )1(21-e ，e 21.x dx x df 1)(2=，则=')(x f .x 21 提示：22221)(12)(xx f x x x f ='⇒=⋅' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f . 3 23.设x x f arctan )(=，且,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim 000.)1(2100x x + 24.33ln2-+=xx y 的水平渐近线是 . 3-=y 25.函数x x y =的导数为 .)1(ln +x x x 26.=⎰+∞-dx xe x 02.21 27.=++⎰-dx xxx x )1sin (2211 . 1 28.广义积分=⎰+∞dx x 131 . 2129.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12-30.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s .)1(412+e31.⎰='dx x f )2( .c x f +)2(2132.曲线)1ln(x e y -=的渐近线为 . ex x y 1,0,1===33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积 .π103 34.设022x 1,x 0f (x)0,x 0,f (x 1)dx x ,x 0-+<⎧⎪==+⎨⎪>⎩⎰= . 56二、选择题1. 设21cos ,01(),10x x f x xxx ⎧<<⎪=⎨⎪-<≤⎩，在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续，可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 2.曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（） B2.πA 4.πB 0.C 1.D3.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f （） B.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根 4.函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则（） D0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在5.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（） Dx A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .- 6.设t t f cos )(ln =,则='⎰dt t f t f t )()(（） A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin . 7.设)(x f 连续，⎰=22)()(x dt t f x F ，则=')(x F （） C)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D8.下列广义积分收敛的是（） Cdx x x A e⎰+∞ln . dx xx B e ⎰+∞ln 1. dx x x C e ⎰+∞2)(ln 1. dx x x D e ⎰+∞ln 1. 9.广义积分=+⎰+∞-0xx e e dx（） C2.πA π.B 4.πC .D 发散10.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（） C12.2++x x A )1cos(.x B + )1(.22x x C - )1ln(.x C +11.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为（）Cb a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +. 12.已知1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处（）BA .)(x f 导数存在且0)(≠'a fB .)(x f 取极大值C .)(x f 取极小值D .)(x f 导数不存在三、计算题1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 21-2.41cos 0ln lim x tdt t xx ⎰→ 81-3.)11(lim 22--+∞→x x x 0 4. xx x 1)(cos lim +→ 21-e5. 2tan)1(lim 1xx x π-→π26. 求xx x x x ln 1lim 0-+→ 1解1 原式1lim lim 1ln )ln 1(lim 0ln 000====++=+++→→→e e x x x x x x x x x x x ，解2 原式ln ln 001lim =1,lim ln 0,1~ln ,0ln x x x xx x e x x e x x x x x ++→→-==∴-→Q （）7.设)(x f 为连续函数，计算⎰-→x a a x dt t f a x x )(lim 2)(2a f a 8.sin(ln )x dx ⎰ [sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+9.dx x ⎰+π02cos 1 22 10.dx x a x a2202-⎰416a π 11.设xx y cos )(sin =，求y ' . ()]sin cos sin ln sin [)(sin 2cos xxx x x x+-12.设0cos 2ln 0=+⎰⎰x yttdt dt e ，求dy . dx x x 2cos 2-13.dx x x x ⎰+--84132 c x x x +-++-22arctan 2584ln 23214.设⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π，其中f 可导，且0)0(≠'f ，求0=t dx dy. 3 15.dx x x ⎰-π042sin sin 提示：原式1cos sin cos sin 022===⎰⎰dx x x dx x x ππ16.dx x ⎰-22)1(1 发散 17.dx e x ⎰-2ln 01 )41(2π- 18.⎰-12x x dxc x +1arccos 19.xdx x 4223cos )4(+⎰-ππ π23 20.dx x x⎰3ln 21ln (3)2x c + 21.dx e x x 22ln 03-⋅⎰ 11ln 242-+ 22.⎰+)1(2xx e e dx arctan x xe e c ---+ 23.设x 1)e (f x +='，求)x (f . ln x x c + 24.⎰--+1x 1x dx33221[(1)(1)]3x x c ++-+25.⎰+)x 1(x dx10101ln ln 110x x c -++ 26.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+，求⎰'dx )x (f x . cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x ++-+ 27.dx x 1x1xln ⎰+- 211ln (1)21x x x c x-+-++ 28.dx x)1x (ln ⎰+1)x c +- 29.dx x a x a⎰-+02214π 30.设)(x f 在]1,0[上连续，单调减且取正值，证：对于满足10<<<βα的任何βα,有f (x)dx f (x)dx ββαβα>⎰⎰.00()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxf x dx f x dx ββαββααααβαβαββαββα-=+-=+-⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰提示：31.260sin 1lim3x t xx te tdt x e →⋅=⎰四、解答题1.求函数x e x y -⋅=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线.2.设1sin ,0()200x x f x x x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩，或，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式.01()()(cos 1),021,xx x f t dt x x x ππ<⎧⎪⎪Φ==--≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰，3.设)(x f 在),(+∞-∞内连续，证明()()()()xa d x t f t dt f x f a dx'-=-⎰. 4.设20,,0,2:;0,2,,2:2221<<=======a a x y x y D y x a x x y D(1)试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时+1V 2V 得最大值？并求该最值.)32(5451a V -=π，42a V π=，1=a ，+1(V π5129)max 2=V5.已知x x x f 22tan 2cos )(sin +='，求)(x f .提示：uu u u f x x x x f -+-='⇒-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 2222，c x x x f +--=1ln )(26.设c y =与22x x y -=相交于第一象限（如图）.（1）求使得Ⅰ与Ⅱ两区域面积相等的常数c ；（2）在（1）的情况下，求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积. 提示：III II III I II I s s s s ++=⇒=，202031)2(b b c dx x x cdx bb-=⇒-=⎰⎰，又22b b c -=， 43,23==⇒c b ,23,21243212==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==x x x x y y ，π24041=V . 7. 设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ，求b a ,，使这块区域绕x 轴旋转所得体积最小.)0,0(≥≥b a提示：21220()(),3a V axb dx ab b ππ=+=++⎰1()2aA ax b dx b =+=+⎰，A b a ==,0时，体积最小. 8. 证明011302=+--⎰xx dxx 在区间)1,0(内有唯一的实根.提示：令0)1()0(113)(02<⋅⇒+--=⎰F F x dxx x F x，再证唯一性.9. 求dt e )t 2()x (f 2x 0t ⎰--=的最值. 21,1e -+最小值为最大值为 10. 0,x dt,t 1lnt )x (f x 1>+=⎰求)x 1(f )x (f +. 21(ln )2x 11. 证明211lim21=--→x x x . 分析: 当x ≠1时, |f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|. 12. 证明01lim =∞→xx . 分析: ||1|01||)(|x xA x f =-=-. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x .13. 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.(1) ;233+-x x （2）ln ;x （3）.11sin )1(--x x (1)233+-x x 是比1-x 较高阶的无穷小量; (2)ln x 是关于1-x 的等价无穷小量； (3) 11sin)1(--x x 与1-x 不能比较. 111sin )1(lim1--⋅-→x x x x 11sin lim 1-=→x x 不存在. 所以，11sin )1(--x x 与1-x 不能比较.。