正多边形和圆及圆的有关计算
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31 .解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝131312222++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】321：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q 分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )．A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D. 3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ， ∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ． ∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ．（1）求弧BE 所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（AB）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048= 3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，∴S△OCD=12DC•OD=12×23×2=23，则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=8-233π．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。
正多边形和圆及正多边形的有关计算
中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。
今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。
初三数学正多边形和圆公式
初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。
一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。
2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。
4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。
2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。
(完整word版)正多边形和圆及圆的有关计算
正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形. 定理：把圆分成n(n ＞3）等分：（l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。
正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心. 若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算. 3、画正多边形（1)用量角器等分圆 (2）用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形). 正五边形的近似作法（等分圆心角) 4、圆周长、弧长(1）圆周长C ＝2πR ；(2）弧长180Rn L π=5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积:2R S π=；（2)扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180R n L π=。
所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得.如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
平面几何中的正多边形与圆的周长
平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。
正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。
本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。
一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。
设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。
例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。
需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。
当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。
二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。
圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。
根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。
1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。
例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。
2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。
例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。
需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。
当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。
三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。
当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。
这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。
而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。
而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。
正多边形和圆
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
．
14．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，若 AB＝5，AC＝4，则 BD
的长为
．
15．如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB
＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
．
三．解答题
-5-
16．已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为弦作⊙O，交 BC 的延长线于点 D，且 DC
（） A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1） 求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3，a4，a6，则 a3：a4：
C．3
D．4
10．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且 OD∥
AC，若∠B＝38°，则∠ODC 的度数为（ ）
A．46°
B．48°
C．52°
D．58°
二．填空题
11．如图，已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，且∠C＝90°，AB
圆的内接正多边形周长公式
圆的内接正多边形周长公式在我们的数学世界里，圆和正多边形总是有着千丝万缕的联系。
今天咱们就来好好唠唠圆的内接正多边形周长公式。
先来说说啥是圆的内接正多边形。
想象一下，有一个圆，然后在圆里面画一个正多边形，这个正多边形的每个顶点都刚好在圆上，这就是圆的内接正多边形啦。
那圆的内接正多边形周长公式到底是啥呢？其实啊，它跟圆的半径、正多边形的边数都有关系。
假设这个圆的半径是 r ，内接正 n 边形的边长是 aₙ ，那周长 Cₙ 就等于 n×aₙ 。
那这个边长 aₙ 咋算呢？这里就得用到点三角函数的知识啦。
咱们以正 n 边形的其中一条边为例，把圆心和这条边的两个端点连起来，就得到一个等腰三角形。
这个等腰三角形的顶角就是 360°÷n ，然后从圆心向这条边作垂线，就把这个等腰三角形分成了两个直角三角形。
在这个直角三角形里，这条边的一半就等于 r×sin(180°÷n) ，所以这条边的长度 aₙ 就是 2×r×sin(180°÷n) 。
这样一来，圆的内接正 n 边形的周长公式 Cₙ 就可以写成 Cₙ = 2×n×r×sin(180°÷n) 。
记得我之前教过一个班，有个特别调皮的小男生，叫小明。
一开始他对这个圆的内接正多边形周长公式那是一脸懵，觉得太复杂太难懂了。
我就跟他说：“小明啊，你想想咱们学校的圆形花坛，假如要在花坛周围围一圈正六边形的篱笆，那篱笆的长度不就得用这个公式算嘛。
”他眨巴眨巴眼睛，好像有点开窍了。
后来我又给他举了个例子，假如这个圆形花坛的半径是 5 米，要围一个内接正八边形的篱笆，那咱们就先算边长。
根据公式，边长就是2×5×sin(180°÷8) ，算出来约等于 3.06 米。
那周长就是 8×3.06 = 24.48 米。
专题11 正多边形以及与圆有关的计算
专题11 与圆有关的计算一、正多边形和圆1. 正多边形的定义：各条边 ，并且各个 也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴ 正多边形的中心：正多边形的 的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ．⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角．⑷ 正多边形的边心距： 到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个 的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形 的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是 图形，也是轴对称图形，其 就是对称中心.【例 1】⑴求正三角形的边心距、半径和高的比。
⑵若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为3r ，4r ，6r ，求346::r r r 。
边心距二、与圆有关的计算 1、弧长的计算如果弧长为 l ，圆心角度数为 n ，圆的半径为 r ，那么，弧长 l ＝ 。
【推导】：【例 2】⑴将下表补充完整。
⑵【易错】若弦AB 将圆的周长分为1:5的两部分，则弦AB 所对的圆周角为 。
⑶图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A. 甲先到B 点B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定⑷如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针A 3A 2A 1GFE D CBAB DOA2、扇形面积计算方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积S=。
【推导】：方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r，那么扇形面积S=。
【推导】【例 3】将下表补充完整。
人教版九年级数学上册《正多边形和圆形》圆PPT精品课件
正多边形和圆
学习目标
1.理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角
之间的关系.
（重点）
2.会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画
某些正多边形.
（难点）
新课导入
知识回顾
圆内接四边形的性质：
1.对角互补； 2.四个内角的和是360°； 3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角)．
新课讲解
证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点 得到五边形ABCDE. ∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A,
知识点
∴AB=BC=CD=DE=EA, BC⌒E=3A⌒B=C⌒DA.
∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC= BC 4 =2（m）,利用勾股定理，
22
可得边心距r= 42 22 2 3(m).
亭子地基的面积S=
1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
新课讲解
正n边形的一个内角的度数是多少？中
心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有 什么关系？
新课导入
课时导入
下面这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你 能从这些图案中找出类似的图形吗?
新课讲解
知识点1 圆内接正多边形
正三 角形
三条边相等，三个角 相等（60度）.
正方形
四条边相等，四个角 相等（900）.
新课讲解
什么叫做正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
第1部分 第6章 第3节 与圆有关的计算
弧长的相关计算 抓住弧长公式 l＝n1π80r，若求弧长 l，则设法求出 n 或 r，若已知弧 长 l，则根据公式可求 n 或 r.
(2019·庐江模拟)如图，AB 是⊙O 的直 径，BC 是⊙O 的弦，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D. 若 AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧A︵D的长等 于π ．
1．(2017 安徽，13，5 分)如图，已知等边△ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的⊙O 与边 AC，BC 分 别交于 D，E 两点，则劣弧D︵E的长为 π ．
【解析】连接 OD，OE，∵在等边三角形 ABC 中，∠A＝∠B＝60 °，又 OA＝OB＝OE＝OD＝3，∴△OBE，△ODA 都是等边三角形，
圆柱和圆锥的侧面积和全面积
1．圆柱 设圆柱的高为 h，底面半径为 R，则有： (1)S 圆柱侧＝⑧ 2πRh ； (2)S 圆柱全＝2πRh＋2πR2.
2．圆锥 设圆锥的母线长为 l，底面半径为 R，高为 h，则有： (1)S 圆锥侧＝⑨ πlR ； (2)S 圆锥全＝πlR＋πR2； (3)圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥底面圆的周长等于其侧面 展开图扇形的弧长，圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径．
莱洛三角形 4．(2019·泰州)如图，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛 三角形．若正三角形边长为 6cm，则该莱洛三角形的周 长为 6π ． 【解析】3×601π80×6＝6π(cm)．
圆与正多边形的相关计算(冷考) (注：安徽中考近五年未单独考查)
弧长、扇形面积的有关计算(常考)
利用等腰直角三角形的性质得到 AB＝ 2R，利用圆锥的侧面展开图为
一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 2πr＝
2020-2021学年苏科版数学中考复习专题练习—正多边形与圆及圆中有关计算(含答案)
正多边形与圆及圆中有关计算一、学习目标1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并会进行有关计算；2．会用弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式计算有关问题；3．体会方程思想和转化思想．二、题型训练题型一、正多边形与圆【例题1】如图，等边△ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．22∶3B．2∶3C．23∶2D．3∶2【例题2】如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【例题3】如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM·BE.【题小结】转化思想，正多边形转化为等腰三角形或直角三角形、三角形面积的转化、相等的线段之间的转化．借题发挥：1.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD2.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．借题发挥1借题发挥2ab借题发挥3例题3例题1例题23.如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若∠ADB ＝18°，则这个正多边形的边数为 ． 题型二、圆中与弧长、面积有关的计算 【例题4】如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，⌒FA 1,⌒A 1B 1，⌒B 1C 1，⌒C 1D 1,⌒D 1E 1，⌒E 1F 1，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．【例题5】在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π－32C ．π－34D ．3π2【题小结】弄清旋转的本质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．借题发挥：1．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为⌒AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE 为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 2．若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 3.如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC ⊥OA ，CO 交AB 于点P ，交⊙O 于点D ，且CP ＝CB ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠A ＝30°，OP ＝1，求图中阴影部分的面积．题型三、与圆锥有关的计算【例题6】已知圆锥的底面半径为1cm ，高为3cm ，则它的侧面展开图的面积为＝ cm 2．【例题7】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．【题小结】转化及方程思想：立体图形与平面图形的相互转化，由圆锥有关的公式列出方程解决问题. 借题发挥： 例题4 借题发挥1 例题5 借题发挥3A B C'C B'。
圆与正多边形的面积比较与计算
圆与正多边形的面积比较与计算圆和正多边形是几何学中常见的图形，它们的面积计算和比较是我们要探究的重点。
在此文中，我们将介绍如何计算圆和正多边形的面积，并比较它们的大小。
一、圆的面积计算圆的面积计算公式是：S = π × r²。
其中，S代表圆的面积，π代表圆周率，r代表圆的半径。
假设给定一个圆的半径为r = 5cm，那么该圆的面积计算为：S = π × 5² = 25π cm²。
这里的π可以精确到小数点后任意位数，一般取3.14或3.14159作为圆周率的近似值。
二、正多边形的面积计算对于正多边形，我们可以通过将其划分为若干个等边三角形来计算面积。
正多边形的面积计算公式是：S = 0.5 × a × p。
其中，S代表正多边形的面积，a代表正多边形的边长，p代表正多边形的周长。
假设给定一个正五边形的边长为a = 6cm，那么该正五边形的周长为p = 5 × 6 = 30cm。
将正五边形划分为五个等边三角形，每个三角形的底边长为a = 6cm，高的长度可以通过勾股定理计算得到。
假设高的长度为h = 4.37cm，那么每个三角形的面积为0.5 × 6 × 4.37 = 13.11cm²。
由此可得正五边形的面积为13.11 × 5 = 65.55cm²。
三、圆与正多边形的比较为了比较圆和正多边形的面积大小，我们可以选取相同的半径和边长来进行比较。
假设给定一个半径为r = 5cm的圆和一个边长为a = 6cm的正六边形。
根据前述计算方法得到圆的面积为25π cm²，正六边形的面积为6 × 6 ×sin(π/3) = 18√3 cm² ≈ 31.18cm²。
由此可见，当半径和边长相等时，正多边形的面积要大于圆的面积。
这是因为正多边形由多个等边三角形组成，而圆则没有尖角，因此正多边形所能包围的区域相对较大。
圆内接正多边形的边心距公式
圆内接正多边形的边心距公式假设有一个半径为r的圆，圆心为O。
而正多边形是一个具有n个边的多边形，每个内角为α度。
我们的目标是求正多边形的边心距。
首先，我们可以将正多边形分解为n个等腰三角形。
每个等腰三角形的顶角为α/2度，而顶角对应的边长为r。
以正多边形中的一个等腰三角形为例，假设三角形的底边为AB，顶角为C，C对应的边长为r。
我们可以通过几何性质得出以下结论：1.三角形OBC是等边三角形，因为OC=BC=r。
2.三角形OAB是直角三角形，因为OA=OB=r，而AOB为正多边形的边长。
根据这些结论，我们可以得出正多边形的边心距公式。
首先，我们考虑正多边形的边心距与正多边形的边长之间的关系。
由上面的结论可知，三角形OAB为直角三角形，根据勾股定理，我们可以得出：AB²=OA²+OB²由于OA=OB=r，所以AB²=r²+r²=2r²而AB为正多边形的边长，我们设AB为s。
所以：s²=2r²s=√(2r²)s=r√2接下来，我们考虑正多边形的边心距与半径的关系。
BC=r,OC=r而BC对应的边心距为d，所以d=BC=r综上所述，对于一个半径为r的圆内接正n边形，正多边形的边心距d与半径r的关系为：d=r这就是圆内接正多边形的边心距公式。
总结起来，圆内接正多边形的边心距公式为d=r，其中d表示边心距，r表示圆的半径。
无论正多边形的边长多大，都不会改变边心距与半径的关系。
这个公式在解析几何中具有一定的应用，特别是在计算正多边形的边心距时。
它简化了计算过程，提供了一个方便的方法来得出正多边形边心距的数值结果。
同时，这个公式还具有一些习题的应用，可以通过给定边心距或半径来求解正多边形的其他几何属性，如边长、内角等。
通过圆内接正多边形的边心距公式，我们能够更好地理解和计算正多边形的几何性质，丰富了解析几何的相关知识。
正多边形和圆
正多边形和圆介绍在几何学中，正多边形和圆是两个重要的概念。
正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。
本文将介绍正多边形和圆的特征、性质和相关公式。
正多边形定义正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
常见的正多边形有三角形、四边形（正方形）、五边形、六边形等。
正多边形的内角都可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
性质1.边长相等：正多边形的所有边长都相等，即正多边形的每条边长度相等。
2.内角相等：正多边形的所有内角都相等，即正多边形每个内角的度数相等。
3.对称性：正多边形具有n个对称轴，其中n为边数。
每个对称轴将正多边形分为两个对称的部分。
4.外角和：正多边形的外角和等于360°，即正多边形的所有外角之和为一个圆的周角。
5.外接圆：正多边形的外接圆是指将正多边形每个顶点都切在圆上的圆。
外接圆的半径等于正多边形中心到任一顶点的距离。
公式1.正多边形的面积：正多边形的面积可以通过边长和高计算，公式如下：面积 = 边长 × 高 / 22.正多边形的周长：正多边形的周长等于所有边长之和，即边长 × 边数。
圆定义圆是平面上所有点到圆心距离都相等的图形。
圆由圆心、半径和弧组成，其中圆心为圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离，弧是圆上两点之间的弯曲部分。
性质1.圆心角：圆心角是指圆心所对的弧所对应的角。
圆心角的度数等于对应弧所占据的圆心角度的一部分，即圆心角 = 弧度 / 弧长 × 360°。
2.弧长：圆上的弧长可以通过圆心角的度数计算，公式如下：弧长 = 圆心角度数 / 360°× 圆周3.面积：圆的面积可以通过半径计算，公式如下：面积= π × 半径²其中，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。
初三数学.正多边形和圆与圆中的计算.教师版
中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题中考内容与要求正多边形和圆与圆中的计算弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定义示例剖析正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正方形正六边形正八边形正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．HOFEDCBA边心距中心角半径中心正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心. 正偶数边正多边形有两类对称轴；正奇数边正多边形只有一类对称轴．知识互联网模块一正多边形和圆知识导航T 2T 1O【例1】 ⑴ 小亮从A 点出发前进10m ，向右转15︒，再前进10m ，又向右转15︒……这样一直走下去，他第一次回到出发 点A 时，一共走了_________m ．⑵ 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中 阴影部分的面积为（ ）A.23π-B. 323π-C. 232π-D. 3232π-（2012咸宁）⑶ 正八边形的一个内角等于_________，它的中心角等于___________． ⑷ 若正ABC △外接圆的半径为R ，则ABC △的面积为_____________．⑸ 半径为2cm 的圆内接正方形的对角线长为__________cm ，面积为____________2cm ．⑹ 正六边形的边长为a ，半径为R ，边心距r 的比::a R r =__________________．（西城区教研）【解析】 ⑴ 240；⑵ A ；⑶ 135︒，45︒；⑷ 233R ；⑸ 4，8；⑹ 2:2:3.【例2】 如图，有一个圆O 和两个正六边形12T T ，．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称12T T ，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）． ⑴ 设12T T ，的边长分别为a b ，，圆O 的半径为r ，求:r a 及:r b 的值； ⑵ 求正六边形12T T ，的面积比12:S S 的值．【解析】 ⑴ 3:1:r a r b ==，； ⑵ 22221233333366S a a S b b =⨯==⨯=，由⑴:3:2a b =，∴22123::4S S a b ==．能力提升夯实基础模块二 圆中的计算15°15°AF ODE定 义示例剖析设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）R n°hRh lR常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【例3】 ⑴ 一圆弧的圆心角为300︒，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆周长，该圆弧所在圆的半径为________．（北大附中单元练习）⑵ 半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为_________．（北大附中月考）⑶从纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片（如图），圆的半径为2，扇形的圆心角等于︒120.若用它们恰好围成一个圆锥模型，则此扇形的半径为 ． （2012广西河池）⑷ 图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发， 以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A. 甲先到B 点B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定（北大附中单元练习）【解析】 ⑴36cm 5；⑵ 6；⑶ 5π103+；⑷ C 夯实基础知识导航321GFE D CBA【例4】 ⑴ 一个扇形的弧长为20πcm ，面积为2240πcm ，则该扇形的圆心角为_________度．（北大附中单元练习）⑵ 如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周（2012北海）⑶ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°.把△ABC 绕 点A 按顺时针方向旋转60°后得到△''C AB ，若AB =4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）（2012辽宁锦州） A.32π B. 35π C. 2π D. 4π⑶C ．【例5】 ⑴ 现有30%圆周的一个扇形纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______．（清华附中月考）⑵ 用半径为9，圆心角为︒120的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西）⑶ 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）A. 4πB. 42πC. 8πD. 82π（2011浙江宁波）→40cmB DOAB CA⑷ 如图，已知圆锥的底面圆半径为1，母线长OA 为3，C 为母线OB 的中点， 在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬到点C 的最短路线长为___________．（北大附中月考）【解析】 ⑴ 18︒；⑵26；⑶ D ；⑷33【例6】 ⑴ 如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )（2012贵州遵义）⑵ 如图，PA PB 、分别与O ⊙相切，切点分别为A B 、，3PA =，60P ∠=︒， 若AC 为O ⊙的直径，则图中阴影部分的面积为__________．（清华附中月考）⑶ 如图，半圆的半径为2cm ，点C D 、三等分半圆，则阴影部分的面 积为_______________．（二中分校月考）⑷ 如图，在平面直角坐标系中，已知D ⊙经过原点O ，与x 轴、y 轴分 别交于A B 、两点，B 点坐标为()023，，OC 与D ⊙相交于点C ，30OCA ∠=︒，则图中阴影部分的面积为___________．（北大附中月考）⑸ 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，分 别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． （2012青海省）【解析】 ⑴ 如图， 221cm S S AOB ==∆阴影，故选C.⑵1π2；⑶ 22πcm 3；⑷ 2π23-⑸ 如图，设各个部分的面积为：54321S S S S S 、、、、，能力提升DC OC AOxy OBACDCBBCAF ODCBAE F O DCBA AB C DO FF ODCBA∵两个半圆的面积和是：432451S S S S S S +++++， △ABC 的面积是543S S S ++， 阴影部分的面积是：421S S S ++∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积为4252242124-=÷⨯-÷⨯+÷⨯πππ【例7】 如图，已知在O ⊙中，43AB =，AC 是O ⊙的直径，AC BD ⊥于F ，30A ∠=°．⑴ 求图中阴影部分的面积；⑵ 若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．【解析】 ⑴ 法一：过O 作OE AB ⊥于E ，则1232AE AB ==． 在Rt AEO △中，30BAC ∠=°，cos30=°AEOA．∴cos30AEOA ==︒2343=． 又∵OA OB =，∴30ABO ∠=°．∴60BOC ∠=°．∵AC BD ⊥，∴BC CD =．∴60COD BOC ∠=∠=°．∴120BOD ∠=°．∴2π360n OA S ⋅==阴影212016π4π3603⋅=．法二：连结AD ．∵AC BD ⊥，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD ．∴AB AD =，BF FD =，BC CD =．∴260BAD BAC ∠=∠=°，∴120BOD ∠=°． ∵1232BF AB ==，sin60AF AB °=3sin 60436AF AB =⋅=⨯=°．∴222OB BF OF =+．即222(23)(6)OB OB +-=，解得4OB =．∴13S S ==圆阴影16π3．法三：连结BC ．∵AC 为O ⊙的直径，∴90ABC ∠=°．探索创新S 5S 4S 32S 1B∵43AB =，∴438cos3032AB AC ===︒．∵30A ∠=°，AC BD ⊥，∴60BOC ∠=°， ∴120BOD ∠=°．∴221201π4π=3603S OA =⋅=⨯⋅阴影16π3．⑵ 设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ，∴1202ππ4180r =⋅．∴43r =．⑴如图，把1O ⊙向右平移8个单位长度得2O ⊙，两圆相交于A B 、，且12O A O A ⊥，则图中阴影部分的面积是____________． ⑵ 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积是（ ） A.6π B .5π C.4π D.3π【解析】⑴8π16-；⑵A. .B '第09讲精讲：阴影部分面积的求解方法总结； 【探究一】作差法；【变式1】如图所示，正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割成四个弓形，其中一个弓形的面积是 .【解析】弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积差的四分之一，为()222r -π.【探究二】等积变换法；【变式2】如图，ABCD 为⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，且CD 为直径.如果⊙O 的半径等于r ，∠ACB =15°，那么图中阴影部分的面积等于 .C【解析】122r π【探究三】重叠法；【变式3】如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，以每边为直径向形内作半圆，求中间阴影部分的面积.【解析】阴影部分的面积可以看成四个同样的半圆重叠面积减去正方形的面积，为()222a -π【探究四】割补法；【变式4】如图所示，ABCD 是面积为1的正方形，△PBC 为正三角形，求△PBD 的面积.【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，则△PBD 被分割为两部分：△PBO 与△POD ，且POC POD PBO S S S ∆∆∆==，所以413-=-=∆∆∆BOC PBC PBD S S S . 【探究五】移位法；【变式5】如图所示，两个半圆，大半圆的弦CD 平行于直径AB ，且与小半圆相切.已知CD =24，试求大半圆中，挖去小半圆后剩余部分的面积.【解析】为了方便计算，我们讲小半圆移动，使它与大半圆是同心圆，此时，有MD =12，则S =72π【探究六】方程组法；【变式6】已知正方形ABCD 的边长为1，分别以A 、B 、C 、D 四点为圆心，以1为半径画弧，求所得四个扇形的公共部分的面积.【解析】由对称性，用x 、y 、z 分别表示曲边形的面积，如图所示，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=++-=+=++43662412423ππππz y x z y z y x ， 解得331π+-=xOBADCE训练1. 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，， ∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长， ∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==．∵EF 是外切正六边形的边长， ∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，， ∴323CE OC ==， ∴43EF =，∴263436683EOFS S ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△．训练2. 如图，等腰三角形ABC 的顶角36A ∠=︒．O ⊙和底边BC 相切于BC 的中点D ，并与两腰相交于E F G H ，，，四点，其中点G F ，分别是两腰AB AC ，的中点．求证：五边形DEFGH 是正五边形．【解析】 连接GD ，FD∵D F G ，，分别是BC AC AB ，，的中点，∴DG AC ∥，DF AB ∥，∴36BGD FDG CFD A ∠=∠=∠=∠=︒， ∴72B C ∠=∠=︒，∴72DGF DFG BDG CDF ∠=∠=∠=∠=︒， ∴72BHD CED ∠=∠=︒， ∴36BDH CDE ∠=∠=︒， ∴36HDG EDF ∠=∠=︒，∴108HDE DEF EFG FGH GHD ∠=∠=∠=∠=∠=︒， 且DE EF FG GH HD ====， ∴五边形DEFGH 是正五边形．思维拓展训练(选讲)O H GFE BAABDE FGH O训练3. ⑴ 如图，ABC △是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆1O 的直径，半圆2O 过C 点且与半圆1O 相切，则图中阴影部分的面积是______________．⑵ 如图，四边形ABCD 是菱形．10cm AB =，60ABC ∠=°， 分别以ABCD 的四条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________． 【解析】 ⑴ 2536a ；⑵ 50π-训练4. 请阅读下列材料：问题：如图⑴，一圆柱的底面半径为5，高AB 为5，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC ．如下图⑵所示：设路线1的长度为1l ，则()22222221552525l AC AB BC ==+=+π=+π．路线2：高线AB +底面直径BC ．如上图⑴所示：设路线2的长度为2l ，则()()2222510225l AB BC =+=+= ∵222221225252252520025(8)0l l -=+π-=π-=π-> ∴2212l l >，∴12l l >所以要选择路线2较短．⑴ 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB 为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：221l AC ==___________________； 路线2：()222l AB BC =+=__________． ∵2212_____l l ，∴ 12_____l l （填>或<）所以应选择路线____________（填1或2）较短．⑵ 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线较短．【解析】 ⑴ 22222221525l AC AB BC ==+=+π=+π，()()22225249l AB BC =+=+=∴2212l l < ∴12l l <所以要选择路线1较短．⑵ 2222221(π)l AC AB BC h r ==+=+，()()22222l AB BC h r =+=+∴()()()()222222212π2π44π44l l h r h r r r r h r r h ⎡⎤-=+-+=--=--⎣⎦O 1∴当244hr=π-时，2212l l=；当244hr>π-时，2212l l>；当244hr<π-时，2212l l<．知识模块一正多边形和圆课后演练【演练正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 60︒234 16 3正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 60︒120︒ 2 23 1 63334 90︒90︒2 2 1 8 46 120︒60︒ 2 2 312 63【演练2】O⊙的内接多边形周长为3，O⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．6B．8C．10D．17【解析】C实战演练知识模块二 圆中的计算 课后演练【演练3】 一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150︒，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________．【解析】 扇形的弧长15060π50π180l =⨯=，它作为圆锥的底面周长∴2π50πR =，∴25cm R =．【演练4】如果矩形纸片的两条邻边分别为18cm 和30cm ，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱底面半径．【解析】 如果将长为18cm 的边转化成圆柱的底面周长，设底面半径为cm r ，则2π18r =，所以底面半径9πr =；如果将长为30cm 的边转化成圆柱的底面周长，设底面半径为cm R ，则230R π=，所以底面半径15πR =．故这个圆柱的底面半径为9cm π或15cm π．【演练5】如图1，在O ⊙中，AB 为O ⊙的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=︒．⑴ 求AOC ∠的度数；⑵ 在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与O ⊙相切时，求PO 的长； ⑶ 如图2，一动点M 从A 点出发，在O ⊙上按逆时针方向运动一周，当MAO CAOS S =△△时，求动点M 所经过的弧长．图2图1【解析】 ⑴ ∵OA OC =，60OAC ∠=︒，∴AOC △是等边三角形，∴60AOC ∠=︒．⑵ ∵CP 与O ⊙相切，∴90OCP ∠=︒，∵60AOC ∠=︒，∴28PO AO ==． ⑶ 如图，① 作点C 关于直径AB 的对称点1M ．易得1M AO CAO S S =△△，160AOM ∠=︒ ∴14π460π1803AM =⨯=， ∴当点M 运动到1M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为4π3．② 过点1M 作12M M AB ∥交O ⊙于点2M ，易得2M AO CAO S S =△△．∴112260AOM M OM BOM ∠=∠=∠=︒，∴248π2π33AM =⨯=或24π8120π1803AM =⨯=，∴当点M 运动到2M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为8π3．③ 过点C 作3CM AB ∥交O ⊙于点3M ，易得3M AO CAO S S =△△，∴360BOM ∠=︒，∴234π16240π1803AM M =⨯=或23816π2π33AM M =⨯=，∴当点M 运动到3M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为16π3． ④ 当点M 运动到C 时，M 与C 重合，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为4π20300π1803⨯=或16420πππ333+=．ODBA测试1. 已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长． 【解析】 如图，设CD 是内接正六边形的一边，AB 为外切正方形的一边，C 是切点，连结OA OB OC OD 、、、． ∵CD 是内接正六边形的一边，∴60COD ∠=︒，COD △是正三角形，∴26366COD S S CO ==⨯△ 设O ⊙的半径为r ，则23333r =，∴2r =，∵AB 是外切正方形的一边，∴90AOB ∠=︒，OA OB =， ∴2222AB OC r ===．测试2. ⑴ 半径为5的弧长等于半径为2的圆周长，则这条弧所对的圆心角的度数是______________．⑵ 若一扇形的弧长为12π，圆心角为120︒，则扇形的面积为_____________．【解析】 ⑴ 设弧所对圆心角的度数为n ，则5π22π180n=⨯， ∴144n =︒．⑵ 设扇形的半径为R ，则120π12π180R=，∴18R =∴212018π108π360S ⨯==扇形．测试3. 如图，有六个等圆按图()()()a b c 、、三种样式摆放，使相邻两圆互相外切，圆心连线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S P Q ，，，则（ ）(c )(b )(a )A. S P Q >>B. S Q P >>C. S P Q >=D. S P Q ==【解析】 D课后测。
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正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理：1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。
正n 边形的每个中心角等于n360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
2、正多边形的有关计算 正n 边形的每个内角都等于nn180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。
正五边形的近似作法(等分圆心角)4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180R n L π=5、圆扇形，弓形的面积（l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180R n L π=。
所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形 （3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。
如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。
（4）圆柱和圆锥的侧面展开图a 、圆柱的侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到的图形是一个圆柱。
（如图所示）AB 叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD ， C ’D ’，…都叫圆柱的母线。
圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。
圆柱的两个底面是平行的。
圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。
∴S 侧面=2πRh圆柱的轴截面是长方形一边长为h ，一边长为2RR 是圆柱底半径，h 是圆柱的高。
如图所示b 、圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。
如图所示，把Rt △OAS 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。
旋转轴SO 叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。
连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA 、SA ’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。
圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形SAB半径是母线长，AB 是2πR 。
（底面的周长），所以圆锥侧面积为S 侧面=πRL.二、典型例题：1. 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ） A.20112πB. 20113πC. 20114πD. 20116π2. 如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3)a a ≥内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）A.2a π-B. 2(4)a π-C. πD. 4π-3. 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π4. 以数轴上的原点O 为圆心,3为半径的扇形中,圆心角90AOB ∠=,另一个扇形 是以点P 为圆心,5为半径,圆心角60CPD ∠=,点P 在数轴上表示实数a ,如图, 如果两个扇形的圆弧部分(AB 和CD )相交,那么实数a 的取值范围是__________.5. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m 。
（结果用π表示）6. 如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为___________.7. 如图，将边长为a 的正六边形A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为___________.8. 如图3，自行车的链条每节长为2.5cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm ，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为________.9. 如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是__________.10. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝6.将扇形OAB沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．11.阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．如图，已知正四边形ABCD 的外接圆O ⊙，O ⊙的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积为2S ．以圆心O 为顶点作MON ∠，使90MON ∠=°．将MON ∠绕点O 旋转，OM ON 、分别与O ⊙相交于点E F 、，分别与正四边形ABCD 的边相交于点G H 、．设由OE OF EF 、、及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S ．（1）当OM 经过点A 时（如图①），则12S S S 、、之间的关系为：S = （用含12S S 、的代数式表示）；（2）当OM AB ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON 旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．三、巩固练习：1. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连结CE ，则阴影部分的面积是________．2. 如图所示，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA ＝2，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，阴影部分的面积为____________.3. 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为______．4. 在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 . 5. 已知圆锥的高是30 cm ，母线长是50 cm ，则圆锥的侧面积是 cm 2.6. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2“等边扇形”的面积为_______________.7. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的体积为______________.8. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC .把△ABC 绕点A 按 顺时针方向旋转45°后得到△AB ′C ′，若AB ＝2，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．9. 如图，扇形OAB ，∠AOB ＝90°，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 相切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是________．10. 如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP .若阴影部分的面积为9π，则弦AB 的长为________．11. 如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB 、OD 为直径作⊙O 1、⊙O 2.(1)求⊙O 1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D. (1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝23，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的图形面积．(结果保留根号和π)13.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD 的两个交点，且EF＝24 cm，设⊙O1的半径为x cm.(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？。