高考数学典型题一题多解系列三

第11题 一道根式函数题的6种解法

设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题）

解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+

011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ，

故t 的取值范围是⎤⎦

解法二：（三角换元法）注意到

))()211x +

=-≤≤，

可用三角换元法，如下：

2sin ,0,2πααα⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦

得 2sin 4t πααα⎛

⎫==+ ⎪⎝⎭

由

32sin 24

4

424π

π

ππαα⎛

⎫≤+

≤

≤+≤ ⎪⎝

⎭

t ∴的取值范围是⎤⎦

解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有

cos sin cos sin 2222t θθ

θθ⎫⎫==+=+⎪⎪⎭⎭

以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问

题的，

解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手．

解法四：（双换元法）,u v x ==消去得：

2

2

2u v +=，问题转化为方程组2

2

02

u v t

u v u v +=⎧≤≤≤≤⎨+=⎩在条件下有解时，

求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时，

求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。

解法五：（构造等差数列）由t =22

t

=⨯，

2t

成等差数列。

22

t t

d d =-=+，

消去x 得2

22222,442t d t d =+=-，由20d ≥知

22444t d =-≤，得2t ≤。

0。

222

d d ≤≤-

≤≤

221

444422

t d ∴=-≥-⨯=2t ≤≤

解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α，

则112cos 2t p q t αα=⋅=+=∴≤

由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。

01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。

通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何

法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。 数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。

第12题 特值压缩法求解参数取值范围

已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，

而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分 （Ⅱ）解法一：（按部就班分类讨论法） 由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，

设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），

()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，

有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，

（1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =

1x 取最小值1()F x ，

而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，

∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].

解法二：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视。当然不具备一般性。但对于一些题目可以减少讨论步骤。

设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），