高考数学典型题一题多解系列三
高中一题多解经典练习题3
高中一题多解经典练习题31、已知212x x f -)(=（-1)<x ，求-12()3f －的值 解法1 先求反函数 由221x y =－得221yx =－ -1<x∴ y2-1-=x 且0<y 故原函数的反函数是x2-1-)(1-=x f )(0<x ∴ -2)32-(1-=f解法2从互为反函数的函数的关系看 令32-x -2=12解得2±=x -1<x∴-2=x即 -2)32-(1-=f 2、已知)(x f 对于任意实数y x .满足)()()(y f x f y x f +=+，当0>x 时，0<)(x fa) 求证)-(-)(x f x f = b) 判断)(x f 的单调性证明 （1）令,0==y x 得)()()(000f f f += ∴ 00=)(f -令-y =x ，得0-x)()()(=+=f x f f 0∴)-(-)(x f x f =（2）设21x x <，则)()-()()]-([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <+=+= ∴ )(x f 在R 上是单调函数变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数，且满足-)()(x f yxf =)(y f（1） 求)(1f 的值（2） 若,)(16=f 解不等式215<+)(-)(xf x f 解 （1） 令1==y x ，得 )(-)()(111f f f =∴ 01=)(f -（3） 在)(-)()(y f x f yx f =中，令61==y x ,得1661-)(-)(==f f从而261636==)(-)()(f f f又原不等式可化为 )()]([365f x x f <+， 且)(x f 是),(+∞0上的增函数，∴ 原不等式等价于365<+)(x x∴ 49<<x -又 0>x 05>+x 解得 40<<x∴原不等式的解集为（0，4）考查知识点：函数的对称中心3、函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称。
全国III卷2018年高考数学一题多解含17年高考试题2017103013
1.所以
-1
2
解法三： 构造函数法：
x x2 f (x)
3, 1 2x 1, 1
3, x 2
画出 f（x）=│x+1│–│x–2│的图象和 g(x) 1 图象 两图像交点的横坐标为 x 1
7
所以不等式的解集为{x | x 1}.
1
且
g 1
2
2
1
1
1. 1
1,2 0
0
4
1, 2 2 2
1
,
，可知 x 的取值范围是
01
2
4
解法二:图象变换法：
函数 y
f (x), y
1
f (x ) 在 R 上都是增函数. 2
y
f (x) 向右平移
1 2
个单位得 y
x
f
1
的图象。
2
5
观察图象， x
0 时， (x f) 1
1
fx ) 1 (
2 1
(全国 III 卷）2018 年高考数学一题多解（含 17 年高考试题）
1、【2017 年高考数学全国三卷理 11】11．已知函数 f (x) x2 2x a(ex 1 e x 1) 有唯一零
点，则 a=
1
A．
B． 1
C．
1 2
D．1
2
3
【答案】C
函数 f (x) 的零点满足 x2 2x
a ex 1 e x 1 ，
1， 0 xx
，则满足 f (x)
1 f (x ) 1
2
2x，x 0
的 x 的取值范围是_________.
1
【答案】
, 4
【解析】
4
全国各地高考数学一题多解：高考数学一题多解——山东卷 Word版含解析
山东卷1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】D【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211abb a ≥+=即ab ≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>12,a b+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a又+<22log (a b)log 当a=b =1时等号成立.<<a b 012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2. 法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-= ,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ， 所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数. 所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<ab012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。
(北京卷)2018年数学一题多解(含17年试题)
（北京卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）1、【2017年高考数学北京理1】若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则AB =（ )。
A.}12|{-<<-x xB.{}–2<3x x < C 。
{}–1<1x x < D 。
{}1<3x x < 【答案】A【知识点】集合的交运算【试题分析】本题考查考生的运算能力．属于基础题．解析三（特殊值法）从选择支入手，令0=x ，得B A B A ⋂∉∉∈0,0,0则排除B 和C.再令23-=x ，得：B A B A ⋂∈-∈-∈-23,23,23则，排除D ，故选A.2、【2017年高考数学北京文11】已知0x ，0y ，且1x y +=，则22xy +的取值范围是__________． 【答案】]1,21[ 【知识点】直线与圆的综合，不等式的范围问题【试题分析】本题考查数形结合思想,转化与化归思想的应用，考查考生的运算求解能力．属于中档题．【解析】解析一:由已知得:122)1(,,12222222+-=-+=++-=x x x x y x y xx y 得代入，时，取得最小值，当时，取得最大值或，当2121110]1,0[,21)21(22===∈+-=x x x x x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析二：为与两坐标轴的交点分别设直线1=+y x ),0,1(),1,0(B A 上一点，为线段点AB y x P ),(，到原点的距离为则22111002222=+-+≥+=y x PO P ,1=≤AO PO 又，所以12222≤+≤y x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析三：,220,022y x yx xy y x +≤+≤>>时，由基本不等式得：当,1,20,0222=++≤+>>y x y x y x y x 根据条件）（时，可得：当；得：2122≥+y x .0,时，结果显然成立有一个为当y x .1)(20,022222=+=++≤+≥≥y x xy y x y x y x 时，另一方面，当].1,21[22的取值范围是所以y x +解法四:θθ22cos ,sin==y x 则由已知条件得：设，].1,21[2sin 21-1cos sin 2)cos (sin cos sin 2222224422∈=-+=+=+θθθθθθθy x].1,21[22的取值范围是所以y x +].1,21[],1,22[],1,22[)4sin(2∈∈∈+r r 所以：即：πθ].1,21[22的取值范围是所以y x + 3、【2017年高考数学北京理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P的坐标为()1,0，则AP的最小值为___________. 【答案】1【知识点】点与圆的位置关系，圆的极坐标方程【试题分析】本题主要考查圆的极坐标方程，点与圆的位置关系，意在考查化归与转化、运算求解能力．属于中档题． 【解析】解析一：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.1),2,1(,1)2()1(22==-+-r y x 半径圆心为即：,12)20()11(),0,1(22>=-+-=d P P 到圆心的距离点的直角坐标为点.112min =-=-=r d AP P 点在圆外，所以所以：.1的最小值为所以AP解析三：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.31,1)2(.1),2,1(,1)2()1(222≤≤≤-==-+-y y r y x 即：可得：半径圆心为即：].3,1[34)2(1)1(),31)(,(2222∈-=+--=+-=≤≤y y y y x AP y y x A 则：设.1的最小值为所以AP4、【2017年高考数学北京理15】在ABC △中，60A ∠=，37c a=.(1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.【答案】36)2(1433)1( 【知识点】正弦定理,余弦定理【试题分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．考查考生的运算求解能力与解决问题的能力.属于基础题． 【解析】(1),73,60a c A ABC =︒=∆中，因为在.14332373sin sin =⨯==a A c C 由正弦定理得：（2）解析一：.3,7==c a 所以因为A bc c b a cos 2222-+=由余弦定理,721323222=⨯⨯-+b b 得： ).(58舍或解得：-==b b.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以解析二：当7a =时，3c =，sin C 3=3，14＜c a 13cos sin 14C C ∴-2=1=. △ABC 中sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A Csin cos cos sin ⨯⨯=A C +A C313133=+214214⨯⨯ 43=7.367343721sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC 的面积所以 解析三:如图所示:.点，垂足为作过点G AC BG B ⊥.23233==AG BG ，解得：,21322=-=∆BG BC CG BCG Rt 中，在.8=+==CG AG AC b 即：.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神,也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案 .
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
高中数学一题多解例题
1、解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒（2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于 014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x2、已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列 法一：用公式qq a s n n 一一111)(=， 因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）。
高考数学一题多解一题多变测试3[最新版]
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一题多解、一题多变（课本P 102 ）证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（ 变题：1、如图所示，),,,)((4321=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的21x x ,，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ A ）A 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数。
已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f（1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果],[10∈x 时，1≤|)(|x f ，试求实数a 的取值范围。
（1）证明：略（2）实数a 的取值范围是[2,0)-二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52=523552222lg lg lg lg lg -lg ++=5522222lg lg lg lg ++=1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg2lg5)3lg 2lg5-3lg2lg 53lg2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+-=1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+=1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg =)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg +=1注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。
高中数学一题多解经典题型汇编(精品)
高中数学一题多解经典题型汇编解法一：运算法A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ⊆⇒= ，A 错误B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误C.A B A B A =⇒⊆ ，又φφ=⇒=A B C B B C U U ，C 正确D.A B A B A =⇒⊆ φ≠⇒B A C U ，D 错误解法二：特殊值法由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则A.()()A C B C B C A C U U U U ⊆⇒⊆⇒⎩⎨⎧==}3,2{}3{}3{}3,2{，A 错误B.()()U A C B C B C A C U U UU =≠=⇒⎩⎨⎧==}3,2,1{}3,2{}3{}3,2{ ，B 错误 C.φ=⇒==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确D.φ≠=⇒==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误解法三：韦恩图法如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.◆◇方法解读◇◆解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。
解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。
解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。
【典例2】已知i z i 23)1(+=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对于的点位于第 象限. 解法一：复数的四则运算法 i i i i i i i i z i z i 2232232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-+=⇒+=- i z 223223+--=∴⇒第四象限. 解法二：利用相等复数法（待定系数法）设复数bi a z +=，则bi a z -=i i b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--⇒+=--⇒+=-∴⇒+--=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒i bi a z b a b a b a 2232232232232)(3第四象限. ◆◇方法解读◇◆解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。
高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值解：由题意，令[]911822,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式qqa a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 解得213一=q （下略） 变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan 当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01x xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个 （C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
专题06三点共线 高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之三点共线篇【知识储备】 1、共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
2、A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1。
特别，当A 为线段BC 中点时，OA →＝12OB →＋12OC →。
3．向量共线的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
提示：a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0。
【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120FB F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____．【答案】2【解析】法一：由1F A AB =u u u r u u u r可得1，，F A B 三点共线且A 为线段1F B 的中点，由题意知F 1，F 2的坐标分别为(,0),(,0)-c c ，设A 点的坐标为(,）-b x x a ，B 点的坐标为11(,）x y ，由1F A AB =u u u r u u u r 可得11(,(,）=）+--+b bx c x x x y x a a， 解得B 点的坐标为2(2,）+-b x c x a ，所以1222=(22,),2,（）+-=-u u u r u u u u r b bF B x c x F B x x a a，又120FB F B ⋅=u u u r u u u u r ，则有22242(22)0++=b x x c x a （1），又2=(2)-⨯+b b x x c a a 可得4=-cx ，代入（1）式得223=b a ，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 法二：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线， 即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥ ∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB的斜率为tan 60ba=︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o从而由tan 60ba=︒=. 【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【答案】（1）3728y x =-；（2）3. 【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）法一：由题意设P 点的坐标为(,0）x ，则1122=(,),,（）--=-u u u r u u u rAP x x y PB x x y ，323AP PB =u u u r u u u r由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．法二：过A 点、B 点分别向x 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，易知AMP BNP ∆≈∆，由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．下同法一。
专题03 辅助角公式-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(原卷版)
2020年高考数学三轮冲刺解答题---圆锥曲线篇（文理通用）探索问题【例】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．【例】【2018年上海卷】设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点． （1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【例】（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a=+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPMOPN∠=∠？说明理由．【例】(2015新课标2）已知椭圆C ：2229x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【例】（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【例】（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DNON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20lx y -=和2:20lx y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．探索定值问题：【例】（2020·钦州市第三中学高三）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。
高考数学一题多解、一题多变试题解析
高考数学一题多解、一题多变试题解析（课本P 102 ）证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示，),,,)((4321=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的21x x ,，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ A ）A 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数。
已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f （1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果],[10∈x 时，1≤|)(|x f ，试求实数a 的取值范围。
（1）证明：略（2）实数a 的取值范围是[2,0)-二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52=523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++=1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++=352)lg (lg + =1一变题：课本P110 写出数列}{n a 的前5项：1-111,14n n a a a =-=- 变题：已知函数1()22,[,1]2f x x x =-+∈，设)(x f 的反函数为)(xg y =，)(,1211a g a a ==)(1-n n a g a =，求数列}{n a 的通项公式。
(全国I卷)高考数学一题多解(含17年高考试题)(2021学年)
（全国I卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(全国I卷)2０18年高考数学一题多解（含１7年高考试题））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（全国I 卷）2018年高考数学一题多解（含１7年高考试题）1、【20１7年高考数学全国I 理第５题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- ﻩﻩ B.[1,1]- ﻩﻩ C.[0,4]ﻩ D.[1,3]【答案】Ｄ【知识点】函数的奇偶性;单调性;抽象函数;解不等式．【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性,单调性以及简单的解不等式，属于简单题。
【解析】解析二:（特殊函数法）由题意,不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤,所以121x -≤-≤,化简得13x ≤≤，故选D 。
解析三:（特殊值法）假设可取=0x ,则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-,所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解,于是排除A 、B 、C,故选D 。
2、【20１7年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数,且235x y z ==,则A.235x y z <<ﻩﻩB.523z x y << ﻩC ．352y z x <<ﻩﻩＤ.325y x z << 【答案】D【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性；【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小,其中运用到了对数的运算公式,对数的单调性等。
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第11题 一道根式函数题的6种解法设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题）解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ，故t 的取值范围是⎤⎦解法二：（三角换元法）注意到))()211x +=-≤≤，可用三角换元法，如下：2sin ,0,2πααα⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦得 2sin 4t πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由32sin 244424ππππαα⎛⎫≤+≤≤+≤ ⎪⎝⎭t ∴的取值范围是⎤⎦解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有cos sin cos sin 2222t θθθθ⎫⎫==+=+⎪⎪⎭⎭以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问题的，解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手．解法四：（双换元法）,u v x ==消去得：222u v +=，问题转化为方程组2202u v tu v u v +=⎧≤≤≤≤⎨+=⎩在条件下有解时，求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时，求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。
解法五：（构造等差数列）由t =22t=⨯，2t成等差数列。
22t td d =-=+，消去x 得222222,442t d t d =+=-，由20d ≥知22444t d =-≤，得2t ≤。
0。
222d d ≤≤-≤≤221444422t d ∴=-≥-⨯=2t ≤≤解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α，则112cos 2t p q t αα=⋅=+=∴≤由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。
01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。
通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。
第12题 特值压缩法求解参数取值范围已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。
（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分 （Ⅱ）解法一：（按部就班分类讨论法） 由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，（1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].解法二：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视。
当然不具备一般性。
但对于一些题目可以减少讨论步骤。
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），由2202(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020F ke F ke -⎧-=-+---⨯--≥⎨=+--⨯-≥⎩得 2220220ke k -⎧-+≥⎨-≥⎩得21k e ≤≤， ()2[(1)]242(2)(1)x x x F x k e x e x x ke '=++--=+-，当21k e ≤≤时，由()2(2)(1)0xF x x ke '=+-=得211[,1]ln [2,0]x e e x k k-=∈⇒=∈-，当2k e =时，显然当2x ≥-时，()0F x '≥，()f x 为增函数，从而()(2)0F x f ≥-=， 当21k e ≤<时，则1ln(2,0]k∈-，所以 当1(2,ln )x k ∈-时，()0F x '<，()F x 为减函数，当1(ln ,)x k∈+∞时，()0F x '<，()F x 为增函数，所以()F x 的最小值为1ln 21111(ln )2(ln 1)(ln )4(ln )2k F ke k k k k=+---22111112(ln1)(ln )4(ln )2(ln )2ln k k k k k =+---=-- 2211(ln )2ln (ln )2ln (2ln )(ln )0k k k k k k=--=-+=-≥，所以求k 的取值范围是21k e ≤≤.第13题 分离ln x 解题已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =．（Ⅱ）解法一： 由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--． 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故()0h x '>,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾．（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]． 解法二：ln ()()1x kf x x x -+=- 2ln ln 111121()()ln ln 11111x x k k k x x x x x x x x x x x ------=--=-+-+--2221111[2ln (1)][2ln (1)()]11k x x x k x x x x x-=--⨯-=------（这一步的目的是提取因式211x -，分离出ln x ，由于211x -的符号不确定，所以分类讨论如下）令设1()2ln (1)()g x x k x x=----，于是原题等价于()0,(1,)()0,(0,1)g x x g x x >∀∈+∞⎧⎨<∀∈⎩221()(1)(1)g x k x x'=---+，若是通分，分子是一个关于x 的二次函数，讨论比较复杂，不如再次提取21(1)x+，分离参数k ，这样会转化为对号函数，可谓一举两得： 于是22221121()(1)(1)(1)[(1)]11g x k k x x x x x '=---+=+-⨯--+221212(1)[(1)](1)(1)11k k x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=+---=+---⎢⎥⎢⎥++⎣⎦ 令2()1h x x x=+，由对号函数的单调性，()h x 在(1,)+∞单调递减，当1x >时，12x x+>，从而()(0,1)h x ∈，所以当(1)1k --≥，即0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g >=恒成立； 当0k >时，(1)1k --<，所以存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g <=，不合题意. 同理可讨论当01x <<时，仍然是0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g <=恒成立；当0k >时，(1)1k --<，所以存在0(0,1)x ∈，使得当0(,1)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g >=，不合题意. 综上，0k ≤．第14题 一道含有lnx 的高考题的3种解法已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3,f x x x x f x x x'=+--=+- 又(1)2,(1)0.'=-=f f所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （2）解法一：分离ln x 法当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x (1)()ln 1a x g x x x -=-+设，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，设)1(,1)1(2)(2>+-+=x x a x x h ，因为方程01)1(22=+-+x a x 的判别式[])2(44)1(22-=--=∆a a a（i ）当2≤a 且(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，所以0)(>x h ，即0)('>x g ，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，因此0)1()(=>g x g ，即()0>f x 恒成立.（ii ）当2>a 时，令0)(=x h 得01)1(22=+-+x a x 的两根为：1211x a x a =-=-.显然21>x ，又因为121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，0)(<x h 即()0'<g x ， 所以()g x 在2(1,)x 单调递减，0)1()(=<g x g 因此0)(<x f .综上所述，a 的取值范围是(],2.-∞解法二：二次求导法因为'1ln (1)1()ln x x x a x f x x a x x++-+=+-=设)1(,1)1(ln )(>+-+=x x a x x x g 则a x x g -+=2ln )('（1）当022≥-≤a a 即时，,0ln ,1>∴>x x 所以0)('>x g ，)(x g 在),1(+∞是增函数，∴0)(,02)1()('>∴≥-=>x f a g x g所以)(x f 在),1(+∞上是增函数，0)1()(=>f x f .故0)(>x f 成立. （2）当022<->a a 即时，令0)('=x g 得12>=-a e x 所以当21-<<a e x 时，0)('<x g ，)(x g 在),1(+∞是减函数，所以02)1()(<-=<a g x g 即0)('<x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是减函数，0)1()(=<f x f ，显然0)(>x f 不恒成立.综上所述：a 的取值范围是(]2-，∞. 解法三：分离参数法0)(>x f 等价于1ln )1(-+<x x x a 恒成立，1ln )1()(-+=x xx x g 很容易证明)(x g 在),1(+∞单调递增，但)(x g 不存在最小值，故应用现有知识无法求解． 考虑洛必达法则：111(1)ln ln 1lim ()limlim 211x x x x x x xg x x →→→+++===-，所以2a ≤，即a 的取值范围是(]2-，∞. 说明：本题函数比较简单，可以避开洛必达法则，方法是利用极限定义，但是对于变形要求较高，解析如下：1111(1)ln (1)ln (11)ln1()(1)lim ()limlim lim (1).111x x x x x x x x u x u g x u x x x →→→→++-+-'====---其中，()(1)ln u x x x =+，()ln 1u x x x '=++，所以(1)2u '=。