实变函数证明题大全
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数[精华]
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1、单调渐张集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1-],则。
2、闭集减开集的差集是集。
3、若则。
4、设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成一列的极限函数。
5、康托尔集是一个集，其测度为。
6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。
7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可积的充要条件是f(x) 。
8、可数集合在无限集中具有最小的。
二、判断题（20分,每小题2分）：1、复数集的基数最大。
（）2、连续函数一定是可测函数。
（）3、任意多个开集的交集一定是开集。
（）4、康托尔集与有理数集的测度相等。
（）5、若|f(x)|在可测集E上可测，则f(x)必在E上可测。
（）6、几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。
（）7、L积分是一种绝对收敛的积分。
（）8、E的界点一定是E的聚点。
（）9、单调增加函数的间断点只有有限个。
（）10、设f(x)在E上（L）可积，则f(x)在E上必有限。
（）三、构造题（12分）：1（6分）、在[0，1]上构造一个具有有限正测度的闭集。
2（6分）、构造一可列集E，使其导集，其开核。
四、简答题（16分，每小题4分）1、有界变差函数与连续函数的关系是怎样的？2、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？3、说明可测函数类比连续函数类广。
4、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系。
五、计算题（18分，每题9分）：1、求极限。
2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 1，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为直径所作圆周之上半圆，计算f(x)在[0，1]上的L积分。
六、证明题(16分每题8分)1、设在E上，且几乎处处成立于，n=1,2,…，则几乎处处有f n(x)收敛于f(x)。
2、若E为直线上一有界可测集，且mE=p>0,则对于任意小于p的正数q，恒存在E的可测子集E0，使mE0=q。
一、填空题（每空2分，共20分）：1、单调递降集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1+],则。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
实变函数几道试题及笔者的解法
2
3 2 3
∴ 2
∴
[ 0 ,1]
[ 0 ,1]
f ( x)dx 4
3
k2x f ( x)dx 0 。 四、已知 f ( x) 是 [0,1] 上的有限可积函数，证明： lim 2 2 k 1 k x [ 0 ,1]
证明：令 f k ( x)
[ 0 ,1]
1
3
| f k ( x) |dx
lim
3
k [ 0 ,1]
| f k ( x) |dx 0 ，∴ mE{x | 3 | f k ( x) | } 0(k )
∴ 3 | f k ( x) | 0 又∵ mE{x | 3 | f k ( x) | } mE{x || f k ( x) | }
2k 2
，显然 Gk 是开集，令 G
UG
k 1
k
，则 G 也是开集。
mG m(U Gk ) mGk
k 1 k 1 k 1
2
k 1
2
1，
又 G R ，∴ mG mR 。 综上，集合 G 即为满足题意的集合。 三、已知 P0 是 [0,1] 上的 cantor 集， x [0,1] ，当 x P0 时， f ( x) e ，当 x P0 且 x 在 第 k 个分割区间时， f ( x) k
ex
1 。问 f ( x) 在 [0,1] 上是否可积，如果可积请求出其积分。 3k
解：∵ Po 是 [0,1] 上的 cantor 集，所以 mP0 0
记 Po 的余集为 P 1 ，定义 g ( x )
实变函数课后习题答案
第一章习题1.证明：(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右； （2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明： (1)();(2)().IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-(1)ccI IA B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明：左（）右；(2)()c cI I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭左右.111111.{},,1.{}1.n n n n n nnA B A B A A n B B A n νννννν-===⎛⎫==- ⎪⎝⎭>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，证明：用数学归纳法。
当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，1211,,,kkk B B B B A νννν===两两互不相交，而且，111111111kk k kkkk k n k B A A B A BA B νννννννν++=++====+=-==-⇒下证，当时命题成立，因为而，所以11211+1111111111111,,,;k k k k k k k k k kk k k k k B B B B B B B B B B A A A A A A A νννννννννννννννν++=++===+++====⎛⎫=∅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。
{}21214.0,,(0,),1,2,,n n n A A n n A n-⎛⎫=== ⎪⎝⎭设求出集列的上限集和下限集。
实变函数参考答案
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
实变函数课后答案
实变函数课后答案以下是十道实变函数的课后试题及答案：1.计算函数f(x)=2x+3在x=4处的取值。
答案：f(4)=2(4)+3=112.证明函数f(x)=x^2在定义域内是增函数。
答案：对于任意x1<x2，在区间(x1,x2)内有f(x1)<f(x2)。
证明：f(x2)-f(x1)=x2^2-x1^2=(x2+x1)(x2-x1)>0，其中x2+x1>0且x2-x1>0。
因此，f(x)=x^2在定义域内是增函数。
3. 求函数f(x) = ln(x)的定义域。
答案：由于ln(x)的定义域是(0, +∞)，所以函数f(x) = ln(x)的定义域是(0, +∞)。
4.求函数f(x)=，x-3，的值域。
答案：由于，x-3，的值域是[0,+∞)，所以函数f(x)=，x-3，的值域是[0,+∞)。
5.计算函数f(x)=e^x在x=2处的导数。
答案：f'(x)=e^x，所以f'(2)=e^26. 计算函数f(x) = sin(x)在x = π/4处的导数。
答案：f'(x) = cos(x)，所以f'(π/4) = cos(π/4) = 1/√27.证明函数f(x)=x^3是奇函数。
答案：对于任意x，f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，所以函数f(x)=x^3是奇函数。
8. 证明函数f(x) = sin(x)在定义域内是周期函数。
答案：sin(x)的周期是2π，对于任意实数x，有sin(x + 2π) = sin(x)，所以函数f(x) = sin(x)在定义域内是周期函数。
9.求函数f(x)=e^x的反函数。
答案：令y = e^x，解得x = ln(y)，所以函数f(x) = e^x的反函数是f^(-1)(x) = ln(x)。
10.计算函数f(x)=1/x在x=2处的极限。
答案：lim(x→2)(1/x) = 1/2。
【实变函数】证明（一）
【实变函数】证明（⼀）证明11-1若E是开集，则E c是闭集。
设{x k}∈E c使得x k→y。
若y∈E，则因E是开集，存在某B r(y)⊂E，从⽽有x k∈B r(y)，这与x k∈E c⽭盾。
1-2Cantor集是完全不连通的完备集。
由Cantor集的构造，我们知道对于C k，其每⼀个⼩区间的长度⼩于13k。
不连通性：对任何x<y∈E，它们之间的距离为d(x,y)>0，故必定存在某k，使得d(x,y)>13k，也就是说[x,y]⊈，⾃然存在某z\in [x,y]使得z\notin C_k，于是z\notin C。
没有孤⽴点：对任何x\in E，我们知道它必然存在于某个闭区间列中，⽽由Cantor集的构造过程，我们知道在第k步保留的闭区间某侧的\dfrac{1}{3^{k-1}}距离以内，必存在另⼀个与之相对称的闭区间。
现对任何\delta>0，必定存在某个k使\delta>\dfrac{1}{3^{k-1}}，因此在第k步中分划出两个闭区间套，其中⼀个最终包含x，另⼀个将最终包含另⼀个y\in E，⽽d(x,y)<\dfrac{1}{3^{k-1}}<\delta。
1-3\mathbb{R}^2上的开圆盘不能表⽰为开矩形的不交并。
设开圆盘为O，有开矩形列G_k使得\displaystyle{O=\bigcup_{k=1}^{\infty}G_k}。
显然G_1\ne O，因此必定存在⼀个点x\in O，使得\forall \delta>0，有B_{\delta}(x)\cap G_1\ne \varnothing。
这样由于G_k两两不交，x将不能够包含在其他的开集G_k中。
1-4若f(x)是定义在开集G\subset \mathbb{R}^n上的实值函数，则f的连续点集是G_{\delta}集。
引⼊f在x的振幅为\omega_f(x)，即\omega_f(x)=\lim_{h\to 0}\left(\sup_{B_h(x)}f-\inf_{B_h(x)}f \right),则f在x处连续等价于\omega_f(x)=0，故连续点集为\bigcap_{k=1}^{\infty}\left\{x\in G:\omega_f(x)<\frac{1}{k}\right\}.事实上每⼀个这样的集合都是开集，所以连续点集是G_{\delta}集。
实变函数答案(魏勇版)
11.证明：若f ( x)在[a, b]上单增，则 f ( x)在[a, b]上 可测. 证明：由于 f ( x)在[a, b]上单增，所以 f ( x)在[a, b]上 的间断点至多可数 .设E是f ( x)在[a, b]上的间断点集， . 从而f ( x)在[a, b] E上可测; 又f ( x)在E上可测, 故 f ( x)在[a, b]上可测.
x, x (0,1] E0 f ( x) ， x, x E0
则对a R1, (0,1]( f a)或为或为单元素集 {a}, 即 (0,1]( f a)恒可测.但(0,1]( f 0) E0不可测, 从而f ( x)
在(0,1]上不可测 .
(2). 由(3)知对r Q, E( f r )可测，更推不出 f ( x)在 E上可测.
N 1 n N n N
m* En 0( N ),
n N
于是m* ( lim En ) 0, 故 lim En可测，且m( lim En ) 0.
n n n
10.证明： (1). f ( x)在E上可测 r Q, E( f r )可测. (2).若对r Q, E( f r )可测，f ( x)是否在E上可测？ (3).若对a R1, E( f a)可测，f ( x)是否在E上可测？ 证明： (1“ ). ”显然成立 . ( [
记c max{ K1, K2 ,, KN ,1 K}, 则对n，x E0， 有 fn ( x) c.
么？ 解：由于对 a 0,
[0,1 （ ] f a） [0,1 （ ] f 0 ） E 不可测，所以 f ( x)在[0,1]不可测. 但 f ( x) 1 ，x [0,1] ；所以 f ( x) 在[0,1]可测.
实变函数精选习题
实变函数精选习题实变函数是数学分析的重要组成部分，是许多学科的基础。
在学习实变函数的过程中，习题是必不可少的。
通过解习题可以检验自己对于知识点的掌握程度，加深对于概念的理解，提高解题能力。
下面是我认为比较好的几道实变函数习题：1. 设函数f(x)在[a,b]上有连续的一阶导数，且f(a)=f(b)，证明：存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)+f(ξ)=0。
这是一个比较经典的实变函数的证明题，需要运用到中值定理、积分中值定理等概念。
首先根据拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(a,b)使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
然后对于函数g(x)=e^x*f(x)，可以通过求导证明g(x)严格单调递增，即g'(x)=e^x*[f'(x)+f(x)]>0。
由于g(a)=g(b)，因此应该存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f'(ξ)+f(ξ)=0，证毕。
2. 设f(x)是[0,1]上的连续函数，且f(0)=f(1)，证明：对于任意的0≤a<b≤1，都存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=f(ξ+(1-b+a))。
这是一个比较有趣的实变函数的证明题，需要利用到周期函数的性质。
首先定义函数g(x)=f(x)-f(x+(1-b+a))，易知其是一个以(1-b+a)为周期的周期函数。
同时由于f(x)在[0,1]上连续，因此g(x)也是一个在[0,1]上连续的函数，并且g(0)=g(b-a)，g(1-(b-a))=g(1)，因此根据介值定理，在[0,b-a]和[1-(b-a),1]中都存在ξ使得g(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+(1-b+a))，证毕。
3. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，证明：存在ξ∈(0,1)使得f''(ξ)+2f(ξ)=0。
实变函数参考答案(习题一)
旧版书习题一2.证明：（i ）右边=⊂--))(())((D B C D B A 左边 （ii ）右边=⊃--))(())((D B C D B A 左边3.解：等式右边=)()()(C C C A B A C B A --=- ，我们猜想C C A C =-，即A C ⊂为等式成立的充要条件。
由上充分性是显然的，再注意到由原等式，我们有A CB AC B A C ⊂--=-⊂)()( ，故而必要性也成立。
4.证明：（i ）因为1inf lim ,..,inf lim 100inflim =⇔∈≥∀∈∃⇔∈⇔=n nnA nn n nA A x n n t s N n A x χχ，所以等式成立。
（ii ）因为1sup lim ..,,sup lim 1sup lim =⇔∈≥∃∈∀⇔∈⇔=nknnA nn k n nA A x t s k n N k A x χχ，所以等式成立。
5.证明：先证明}{n B 互不相交。
事实上，Φ=-⊂>∀⊂≥∀n m n m m n n B B A A B n m A B n 故而,,,,1。
再证明集合等式。
等式左边。
等式右边时，时显然成立，当==-=-=≥===-===-=nj j ni i j j ij j ni i j j i A A A A A n n 11111111)()(216.证明：（i ）左边⊃右边是显然的，下证另一边也成立。
右边。
故于是左边，则∈-≤∃>-∈∀x a x f nt s n a x f x ,)(1..,,0)(（ii ）以E 为全集，左边=ca x f E x a x f E x a x f x E })(|{})(|{})(|{->-∈=-≤-∈=≥∞=∞=+-<-=+-≥-=11)(}1)(|{)}1)(|{(n cn i na x f x E na x f x E右边=->=∞= 1}1)(|{n na x f x E7.证明：将需证的等式记为M=F=P 。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数复习题
一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。
2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。
3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。
4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。
证明:{}n B 就是一 列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。
5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。
证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。
6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。
7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。
8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。
9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。
求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。
10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。
证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，使得1()n m E E n-<， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。
证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上的开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。
故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。
实变函数试题库参考答案
实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是（ ） A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是（ ） A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是（ ） A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
实变函数第三章复习题及解答
第三章 复习题一、判断题1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。
（× ） 3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。
（× ） 4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。
（√ ）5、设A B ⊆，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。
（× ）7、**11()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。
（√ ）8、设E 为nR 中的可数集，则*0m E =。
（√ ）9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。
（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。
（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。
（√ ）12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。
（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。
（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。
（√ ）15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。
（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。
（√ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。
（√ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。
（√ ）19、若E =∅，则*0m E >。
（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。
（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。
（√ ）22、在nR 中必存在测度为零的无界集。
（√ ）23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A −=。
（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n mR =+∞。
（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E −≥12mE mE −。
实变函数的复习资料
实变函数的复习资料实变函数的复习资料一、集合1、证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。
2、证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，nn（inf{xn} limxn）。
nn3、证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。
n n 1n n 1114、证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。
n 1n 1nn5、证明：任何无限集必与其一个真子集对等。
6、证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。
7、证明：有理数全体成一可数集。
8、证明：开区间(0,1)是一不可数集。
9、证明：无理数全体成一不可数集。
二、点集1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。
2、证明： A A A。
3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。
4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。
5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。
6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。
并举例说明开集的任意交不一定是开集。
7、证明开集与闭集的对偶性。
8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。
9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220f 1(G) {x|f(x) G}是开集。
三、测度论n1、若E {(0,0, ,0)} R，求mE。
***2、证明：若A B，则mA mB。
3、若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。
4、若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。
6、证明：凡外测度为零之集皆可测。
实变函数
《实变函数》证明题 1、,nA C ⊂，则()A C A C ⊂。
证明：设()x A C ∈,由闭包的定义，0r ∀>,()(){}()\r B x A C x ≠∅，故(){}()()(){}()\\r r B x A x B x AC x ⊃≠∅，再由定义可知x A ∈。
同理，x C ∈，因此x A C ∈，即()A C A C ⊂. 2、设2f 是可测函数，且集[]0X f >可测，则f 可测。
证明：对a ∀∈，分两种情况讨论：（1）0a ≥.则[]22X f a X f a ⎡⎤≥=≥⎣⎦，由2f 可测，可知22X f a ⎡⎤≥⎣⎦为可测集，从而[]X f a ≥为可测集。
（2）0a <.则[][][]00X f a X f X a f ≥=>≤≤，此时[]0X a f ≤≤=220X f a ⎡⎤≤≤⎣⎦，由于2f 可测及[]0X f >可测可知，[]X f a ≥为可测集。
综上，f 可测。
证毕。
3、(),1,2,n A A n =是集合，则()11\\n n n n A A A A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭。
证明：111\cc n n n n n n A A A A A A ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11\cn n n n A A A A ∞∞====。
4、设()1f x L ∈，则()()0X f n n μ≥→→∞。
证明：因为()1f x L ∈，所以X f <∞⎰，令()n X X f n =≥，则注意到nn X X ∞==，所以nnn X X Xn X n f f μ=≤≤<∞⎰⎰⎰，所以1n XX f n μ≤⎰，令n →∞，则0n X μ→，即()0X f n μ≥→5、()'''A C A C =证明：设()'x A C ∈,由导集的定义，0r ∀>,()(){}()\r B x A C x ≠∅，故(){}()\r B x A x ≠∅或者(){}()C\rB x x ≠∅，所以'x A ∈或'xC ∈，故''x A C ∈，即()'''A C A C ⊂。
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1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。
证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理就是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E ,使得1()n m E E n-<, 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒,由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞=,..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 就是可测函数。
证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >就是直线上的开集,设11[](,)nn n E f c αβ∞=>=U ,其中(,)n n αβ就是其构成区间(可能就是有限个,nα可能为-∞nβ可有为+∞)因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><I U U 因为g 在2E 上可测,因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。
故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 就是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>就是一开集,而{|()}E x f x a =≥总就是一闭集。
证明:若00,()x E f x a ∈>则,因为()f x 就是连续的,所以存在0δ>,使任意(,)x ∈-∞∞,0||()x x f x a δ-<>就有, 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以就是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则,由于()f x 连续,0()lim ()n n f x f x a →∞=≥,即0x E ∈,因此E 就是闭集。
4、(1)设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==L 求出集列{}n A 的上限集与下限集证明:lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞,则存在N,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即2n x A ∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得lim n n x A →∞∈,又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈,则存在N,使任意n N >,有n x A ∈,因此若21n N ->时,211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得,此不可能,所以lim n n A φ→∞=(2)可数点集的外测度为零。
证明:证明:设{|1,2,}i E x i ==L 对任意0ε>,存在开区间i I ,使i i x I ∈,且||2i iI ε=所以1ii IE ∞=⊃U ,且1||i i I ε∞==∑,由ε的任意性得*0m E =5、设}{n f 就是E 上的可测函数列,则其收敛点集与发散点集都就是可测的。
证: 显然,{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏、 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测,所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测。
从而,对任一自然数k ,1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测。
故 011[lim lim ]n nx x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏ 可测。
既然收敛点集0E 可测,那么发散点集0E E -也可测。
6、设qR E ⊂,存在两侧两列可测集{n A },{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m (n A -n B )→0,(n→∝)则E 可测、证明:对于任意i ,i n n B B ⊂∞=1I ,所以 E B E B i n n -⊂∞=-1I又因为 E A i ⊂ ,i i i A B E B -⊂-所以对于任意i ,)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（I )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=令i →∝ ,由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n I 所以E B n n -∞=1I 就是可测的又由于n B 可测,有n n B ∞=1I 也就是可测的所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞=I I 就是可测的。
7、设在E 上()()n f x f x ⇒,而()()n n f x g x =..a e 成立,1,2n =K ,则有()()n g x f x ⇒设[]n n n E E f g =≠,则110n n n n m E mE ∞∞==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑U 。
σ∀>1n n n n E f g E E f f σσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤⊂⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭U U 所以1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤≤+⎡-≥⎤=⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭U因为()()n f x f x ⇒,所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤⎡-≥⎤≤⎡-≥⎤=⎣⎦⎣⎦即 ()()n g x f x ⇒8、证明:()A B A B '''⋃=⋃。
证明:因为A A B ⊂⋃,B A B ⊂⋃,所以,()A A B ''⊂⋃,()B A B ''⊂⋃,从而()A B A B '''⋃⊂⋃反之,对任意()x A B '∈⋃,即对任意(,)B x δ,有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集,从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立,即x A '∈或x B '∈,所以,x A B ''∈⋃,()A B A B '''⋃⊂⋃。
综上所述,()A B A B '''⋃=⋃。
9、证明:若()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈),则()()f x g x =..a e 于E 。
证明:由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥U ,而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥⊂-≥⋃-≥,所以,111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥,由()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒(x E ∈)得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=,1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=。
所以,1[]0mE x f g k-≥=,从而[()()]0mE x f x g x ≠=,即()()f x g x =..a e 于E 。
10、、证明:若()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒(x E∈),则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±(x E ∈)。
证明:对任意0σ>,由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-,所以,由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得,1()()2n f x f x σ-≥与1()()2n g x g x σ-≥至少有一个成立。
从而11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥,所以,11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。
又由()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒(x E ∈)得,1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=,1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=。
所以,lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=,即()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±(x E ∈)。
11、若()()n f x f x ⇒(x E ∈),则()()n f x f x ⇒(x E ∈)。
证明:因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-,所以,对任意0σ>,有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥⊂-≥,[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。
又由()()n f x f x ⇒(x E ∈)得,lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=。
所以,lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=,即()()n f x f x ⇒(x E ∈)。
12、证明:1R 上的连续函数必为可测函数。
证明:设()f x 就是1R 上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数a ,11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈就是开集,从而就是可测集。