高二数学讲义直线与方程

讲义：直线与方程
内容讲解：
1、直线的倾斜角和斜率：
（1）设直线的倾斜角为α()
0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝
⎭.当2
π
α=时，斜率不存在.
（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21
2121
()y y k x x x x -=≠-.
2、两直线的位置关系：
两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：
（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =
3、直线方程的形式：
（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）
（3）两点式：
11
21212121
(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）
（4）一般式：(
)
22
00x y C A B A +B += +≠
（5）截距式：
1x y
a b
+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）
4、直线的交点坐标：
设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔
≠；（2）1l ∥2l 111222
A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合
111
222
A B C A B C ⇔
==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y
间的距离公式12PP =
原点()0,0O 与任一点(),x y P
的距离OP =
6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=
的距离d =
（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C
d A +=
（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C
d B
+=
（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=
的距离d =
7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=
间的距离d =
8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为
()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈
9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：
（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012
022
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩
（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有
122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C
B
+=-且12x x =
c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y B
x x A
x x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩
典型例题
例1. 已知直线(2m 2
＋m －3)x ＋(m 2
－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．
②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．
③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2
3．
④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．
变式训练1.
（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）
A ．30° B．60° C．120° D．150°
（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）
A ．－3，4
B ．2，－3
C ．4，－3
D ．4，3
（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B
．－
7
．7
．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.
变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转0
90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）1
13
y x =+
例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方
程.
例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程
例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l： 3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.
例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.
例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.
例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PB
PA+的值为最小.
例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.
巩固训练
1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π
4
，则m的值是（）
A、3
B、2
C、-2
D、2与3
2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )
A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)
3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )
A、3x+4y－122=0
B、 3x+4y+122=0
C、 3x+4y－24=0
D、3x+4y＋24=0
4、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）
A 、(a －b,a ＋b)
B 、(a ＋b, a －b)
C 、(2a,0)
D 、(0,2a)
6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）
A 、[]
010， B 、(0，10)
C 、13313，
⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)
7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l
的方程为 （ ）
A 、x-2y-4=0
B 、x-2y+4=0
C 、2x-y+4=0
D 、x+2y-4=0
8、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）
A 、A·
B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0
C 、C ≠0
D 、A 2
＋B 2
=0
9、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）
A 、互补
B 、互余
C 、相等
D 、互为相反数
10、直线(2m 2
-5m-3)x-(m 2
-9)y ＋4=0的倾斜角为
π4
，则m 的值是（ ）
A 、3
B 、2
C 、-2
D 、2与3
11、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-
2
52x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )
A 、k ＞1
B 、0＜k ＜21
C 、k ＜21
D 、2
1
＜k ＜1
13、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2
=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )
A 、52
B 、6
C 、- 5
2
D 、-6
14、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。

15、平行线3x ＋4y －7=0与3x ＋4y ＋8=0截直线x －7y ＋19=0所得线段的长度等于____________.
16、已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为
17、 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点为(0,0)时，求此直线方程。