积分上限函数

专题讨论 积分上限函数
一、积分上限函数的定义和性质
1.积分上限函数的定义
设()f x 在[,上连续，则对任意的]a b [,]x a b ∈，称函数()x
a
f t dt ∫为积分上限函数。

2.积分上限函数的性质
()()x
a d f t dt f x dx
=∫，即积分上限函数()x a f t dt ∫是被积函数()f x 的一个原函数。

二、含有积分上限函数的题型 1.求含有积分上限函数的极限 例1．求下列极限 （1）22
30
sin lim
ln(1)(1cos )
x x t dt
x x →+−∫
（2
）2arctan lim
x x tdt
解：（1）2
22
2
00
23
6
3
sin sin sin lim
lim
2lim
ln(1sin )(1cos )
sin 2
x x x x x t dt
t dt
t dt x x x x x x x →→==+−∫
∫∫i
220
x →
2250sin()22
2lim 63
x x x x →==i （2
）22
22
arctan arctan lim
lim 41x x x tdt x x 6
ππ→+∞⎛⎞==⎜⎟⎝⎠= 2.求积分上限函数的导数
例2．（1）设()f x 连续，求的导数2
0()()()x F x x t f t dt =−∫()F x ′； （2）设()f x 连续，求220()()x
F x tf x t =−∫dt 的导数()F x ′；
（3）求222
sin()x d xt dt dx
∫
，其中0x ≠。

解：（1）因为，
2
2
20
00
()()()[()()]()()x x x x F x x t f t dt xf t tf t dt x f t dt tf t dt =−=−=−∫∫∫
∫2
所以
22
2
2
2
2
2
00()()()2()22(1)()()x x F x f t dt xf x x x f x x x x f x f t d ′=+−=−+∫∫i i t （2）因为 22
2
2
2222000
11()()()()22x
x x t u F x tf x t dt f x t dt f x u du ==−=−−∫∫∫ 2
2202011()()()2
2x x x u t f t dt f t d u x t −=−==−∫∫t 所以222011()()()2()22
x F x f t dt f x x xf x ′⎡⎤
′===⎢⎥⎣⎦∫i 。

（3）因为222
200011sin()sin sin x
x x xt u 2
xt dt u du u du u x x t x
===
∫∫∫i ，则 2222
22000
111
sin()sin sin sin()2x x x d d 22xt dt u du u du x x dx dx x x x
⎡⎤==−+⎢⎥⎣⎦∫∫∫
i i
2242
1
sin 2sin x u du x x
=−+∫
，
从而 22
2
22
2
1
sin()sin 2sin x
x d d 4xt dt u du x dx
dx x
⎡⎤
=−+⎢⎥⎣⎦
∫∫
222
4432433
23
212
2
sin sin 22cos 4sin sin 8cos x x u du x x x x u du x x x 4x
x x
x
=−+=−+∫
∫
i i
3．积分上限函数的相关证明
例3.（1）设()f x 是连续的奇函数，证明0
()x
f t dt ∫是偶函数。

（2）设()f x 是连续的偶函数，证明0
()x
f t dt ∫是奇函数。

（3）设()f x 是以T 为周期的连续函数，证明0
()()a T T
a
f x dtx f x dx +=∫∫（其中为任意常数）
，从而a 0
()()nT T
f x dtx n f x dx =∫
∫（其中为正整数）。

n 证明：令0
()()x F x f t =∫dt ，则0
()()x
F x f t −−=∫
dt ；
因为0
()()()()()x x x t u
F x f t dt
f u du f u −=−−=−−=−−∫
∫
∫du
（1）当()f x 是连续的奇函数时，则()()f u f u =−−，从而
()()()()()()x x x x
F x f t dt f u du f u du f t dt F x −−==−−===∫
∫∫∫，
所以0
()()x
F x f t =∫dt 是偶函数。

注：因为0
()()x
d f t dt f x dx =∫，所以0()()x f x dx f t dt C =+∫∫（其中C 为任意常数），即当
()f x 是连续的奇函数时，
()x f t dt ∫
是偶函数，从而
()x f t dt C +∫
是偶函数，也即
()()x f x dx f t dt C =∫∫
+为偶函数，
所以连续的奇函数的所有原函数都是偶函数。

（2）当()f x 是连续的偶函数时，则()()f u f u =−，从而
()()()()()()x x x x
F x f t dt f u du f u du f t dt F −−==−−=−=−=−∫
∫∫∫x ，
所以0
()()x
F x f t =∫dt 是奇函数。

注：
因为0
()()x
d f t dt f x dx =∫，所以0()()x f x dx f t dt C =+∫∫（其中C 为任意常数），即当()f x 是连续的偶函数时，
()x f t dt ∫
是奇函数，但是
()x f t dt C +∫
不一定是偶函数，也即
()()x
f x dx f t dt C =∫
∫+不一定是偶函数，所以连续的偶函数的所有原函数不一定
是奇函数（只有不含常数的原函数才是奇函数）。

（3）因为00
()()()()a T T a T a
a
T
f x dx f x dx f x dx f x dx ++=++∫∫∫∫
，
而0
()()a T a T
x T u
f x dx
f u T du +−=+∫
∫
，
由()f x 是以T 为周期的连续函数，得()()f x kT f x +=（其中为整数）； k 所以0
()()()()a T a a T
a
t T u
f x dx
f u T du f u du f x dx +−=+==−∫∫
∫∫，
从而
00
()()()()()()()a T T a T T a a
T
a
a
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ++=++=+−∫
∫∫∫
∫∫∫
()T
f t dt =∫
故230
2(1)0
()()()...()()()...()nT T
T nT T T T
T
T
n T
f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt −=+++=+++∫
∫
∫
∫
∫∫∫
()T n f t d =∫t 。

注：当被积函数是周期函数，且定积分的积分区间长度是周期的整数倍时，
其定积分值只与积分区间的长度有关，与定积分的积分上、下限用什么数字表示无关。

4.利用积分上限函数证明定积分不等式
例4 设函数()f x 在[,上连续，在内可导，]a b (,)a b ()f x ′单调减少。

证明：1()()[()()]2
b
a f x dx
b a f a f b >−+∫。

证：令1()()()[()()]2
x
a F x f x dx x a f a f x =−−+∫，[,]x a
b ∈，则由已知条件，得 1111()()[()()]()()[()()]()()2
2
2
2
F x f x f a f x x a f x f x f a x a f x ′′=−+−−=−−−′
111
()()()()()()[()(222
)]x a f x a x a f x x a f f x ξξ′′′=
−−−−=−−′，其中(,)a x ξ∈； 又()f x ′单调减少，所以()()f f x ξ′′>，故1
()()[()()]02
F x x a f f x ξ′′′=−−>；
从而1
()()()[()()]2
x a F x f x dx x a f a f x =−−+∫在[,上单调增加，
]a b 又，故，即()0F a =()()0F b F a >=1
()()[()()]2b a f x dx b a f a f b >−+∫。