大学物理机械波

第十章 机械波

10.1机械波振动

物体在一定的平衡位置附近的往返运动称为机械振动。

10.1.1简谐振动的描述

一、简谐振动方程

在光滑的水平面上，质量不计的轻弹簧左端固定，右段与质量为m 的物体相连，构成一个震动系统，物体为弹簧振子。

物体所受的弹簧弹力的方向始终指向平衡位置，称为回复力。有胡克定律可知

F=-kx

弹簧振子的位移与时间关系的形式为

x=Acos(ωt+φ)

于是，把这种运动参量随时间按正弦或余弦函数规律变化的振动，叫做简谐振动，式子称为简谐振动方程。

由位移，速度和加速度的微分关系可得，简谐振动物体的速度v 和加速度a 分别为

V=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)

a=(dx)^2/d(x^2)=-ω^2Acos(ωt+φ)

简谐振动物体的位移随时间的变化曲线，称为振动曲线。

二、震动的特征物理量

（1） 振幅A ：指振动物体离开平衡位置的最大位移。

（2） 周期T ，频率V 与圆周率W ：物体完成一次全振动所经历的时间为振动周

期，用T 表示；单位时间内物体所做的完全振动的次数为振动频率，用V 表示；单位时间内物体所做的完全振动的次数的2倍

W 表示，国际单位是rad/s.三

者关系为 ：ν=1/T, T=2 π/ω, W=2π ν 。

（3） 相位和初相位 A=2^/2^02^0W V X φ=arctan(-ν0)/(ωx0) 三、旋转矢量

沿着逆时针方向匀速振动矢量A 代表了一个X 方向的简谐振动，这个矢量称

为旋转矢量。

四、简谐振动的能量

整个振动系统的能量应包括弹簧振子的振动能量Ek 和震动引起的弹性能量

Ep.

设弹簧振子在平衡位置的势能为0，他的任意时刻的是能与动能为

Ek=1/2kx^2=1/2m ω^2A^2π(cos(ωt+φ))^2

Ep=1/2kx^2=1/2m ω^2A^2π(sin(ωt+φ))^2

则系统能量为

E=Ek+Ep=1/2mw^2A^2=1/2kA^2

简谐振动的总能量是守恒的，在振动过程中动能与势能相互转换。

10.1.2 受迫振动和共振

实际物体的振动都是非简谐振动。

在周期外力作用下进行的振动称为受迫振动。

如果物体或建筑在外界驱动下做受迫振动，当驱动力频率W接近或等于物体或建筑的Wd时，其受迫振动的振幅更大，这种现象叫做共振。

共振条件ω=ωd。但是，不论ω>ωd还是ω<ωd时，物体或建筑的振幅就都比共振时小得多。

共振的弊端。

10.1.3机械波的形成

机械振动在弹性介质中传播形成机械振动。

10.2 机械波的描述

10.2.1 机械波的分类与特征物理量

一、机械波的种类

横波：媒质的振动方向与波动的传播方向相垂直的机械波，称为横波。

纵波：弹簧上各处的振动方向与震动传递的方向是平行的，这种机械波称为纵波。

二、机械波的特征物理量

（1）波长λ：在波的传播方向上两个相邻的振动完全相同的质点之间的距离。

（2）周期T：波传播一个波长所需的时间。

（3）频率ν：单位时间内传播的完整波形的数目。

（4）波速u：单位时间内波动传播的距离，则有 u=λ/T 或 u=λV 机械波在不同的介质中的传播速度不同，波速取决于介质的特性，弹性波的波速取决于介质的密度及弹性模量两个因素。

三、机械波的几何描述

波线：波的传播方向带箭头的线。

波面：不同波线上相位相同的点所构成的曲面。

波前：处于最前面的波面。（一列博波的波面有任意多个，但波前只有一个）

平面波：波面是平面的机械波。

球面波：波面是球面的机械波。

波面与波线相互垂直。

10.2.2 平面简谐波的波函数

简谐振动在介质中传播而形成的机械波，称为简谐波，当波源做简谐运动在均匀，无吸收的介质中传播而形成的简谐波，称为平面简谐波。

一、波函数

Y=Acos[2π(t/T-x/λ)+φ] 可以代表波动区域内中所有质点的运动，该式称为简谐波的波函数。

定义k=2/λ, 则可以改为 y=Acos[k(ut-x)+φ] 沿Ox轴正向传播的波动，称为右行波，若波动沿轴OX轴负方向传播，称为左行波，其波函数应为：

y=Acos[w(t+x/u)+φ]

二、波图形

质点介质位置为横坐标，指点的振动位移为纵坐标，可作出在不同时刻所有质点的位移曲线，称为波形图。

三、波的能量

在波动传播的区域，播的能量应该包括媒质中所有质点的振动动能和弹性介质的形变势能，可以证明在dV体积的媒质中，波动的总能量为dW=(ρdV)A^2*w^2(sin(t-x/u)^2)^2 波动的能量不守恒，波动是能量传递一种形式。随着波

动的传播，能量也不断从振源向介质中传递，若要维持波动，就必须不停地给振源补充能量。

10.2.3地震产生的波动

汶川地震

10.3 机械波的传播规律

10.3.1 衍射现象与惠更斯原理

当机械波遇到带小孔或小缝等障碍物后，波动后可以继续在障碍物后的区域传播，这种现象称为波的衍射现象。

介质中波动传到各点都可以看做是发射子波的波源，在其后的任意时刻，这些波的包络就是新的前波，这成为惠更斯原理。

10.3.2 衍射现象与波的叠加

一、播的干涉现象

在波的传播过程中，当频率相同，振动方向相同和相位差恒定的两列水波相遇时，在交叠区域，某些地方振动始终加强，而另一些地方振动始终减弱，从而使水

面出现稳定的，规则的，凹凸的图样。这种现象称为干涉现象。

当频率相同，振动方向相同和相位差恒定的波源，称为相干波源。

二、波的叠加原理

当几列机械波相遇时，相遇区域中任一点振动为各列波单独存在时在该点引起的振动位移的矢量和。相遇后，它们任然保持各自原有的特征不变，并按原来的方向继续前进，好像没有遇到过其他波一样。

三、干涉的相长，相消条件

S1和S2为相干波源，他们激发的机械波的波函数分别为

y1=A1cos(ωt-(2πx/λ)+φ1)

y2=A2cos(ωt-(2πx/λ)+φ2)

两列波传播到P点时，引起的P点振动为：y=y1+y1=Acos(ωt+φ)

则P的合振幅为

2

1

2

2

^

2

^1A

A

A

A+

+*(cos∆φ)^(1/2)

其中∆φ为想干波在P点的相位差，且∆φ=φ2-φ1-2π（r2-r1）/λ

因此，相干波引起的合振动的振幅和相位差都不随时间变化，干涉图样是稳定的。

P点振动的初相位φ为

Φ=arctan[(A1sin(φ1-2πr1/λ)+A2sin(φ2-2πr2/λ))/(A1cos(φ1-2πr1/λ)+A2cos(φ2-2πr2/λ))]

(1)∆φ=±2kπ(k=0,1,2,.....) 时,A=A1+A2,想干区域中对应点的振幅始终最

大，这种现象称为干涉相长。

(2)当∆φ=±（2k+1）π(k=0,1,2,.....) 时，A=

2

1A

A-

,想干区域中对应点的

振幅始终最小，这种现象称为干涉相消。

若φ2=φ1，有∆φ=2π（r2-r1）/ λ

(1)当波程差δ= r2-r1=±2k（λ/2）时，干涉加强，称为干涉相长条件。

(2)当波程差δ= r2-r1=±（k+1）（λ/2）时，干涉减弱，称为干涉相消条