电磁场的矢势和标势

c2
k
A0
因此有：
E B AikA tA A tiki A横 A iA 横
其中： (kA0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2 0
2Ac12
2A 1 t2 c2
t
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势
，
则只有 0
2A c12 2tA 20
其解的形式为
t
()
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹的规方范程( 与静A电1场相同0。)
c2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
A (A ) A ( )
A
A
(
B
)
(A
)
t
t t
( ) A ( )
t A
E
t t
t
由此可见，(A. )和 (A. ) 描述同一电磁场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge)
库仑规范条件为A0，即规定 A是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E的纵
特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D0E
EA BA
Baidu Nhomakorabea
t
出发推 导2A 矢势c12A 和2t2A 标势(所A满c足12的t方)程，0得j 到：
2A
t
0
a) 采用库仑规范 (A0)
上述方程化为
22Ac1202tA2 c12
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A 的纵和向矢部势A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
场场部部分分完 由全A 描由述（描即述（ A 即具有无具源有性无）旋。性由)，横
Et A
t
可见，
项对应库仑场
E库
，
A t
对应着感应
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
洛仑兹规范条件为
A C12
0
t
，即规
定 A是一个有旋有源场（即 A包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
ikA横ikA纵
E
ikA横 A
0（对于单色平面波而言）
ik i A
t
c2 ik (
k
A)
i A
i c 2
k (k A) k 2 A
i
c2
k
(k
A)
c2
k
B
c nˆ
B
如果取 AA横，即只取 A具有横向分量，那么
有
kA kA 横 0
从而得到：
B 0
H
j
D t
针对磁场
B0
引入
B A
A的物理意义可由下式看出：
Adl
L
Bds
S
即在任一时刻，矢量 A沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
对于电场 E不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得：
E B ( A ) A
2
2A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
其解的形式为：
A
i (k x t )
e0
i(kxt) A e0
由Lorentz规范条件
A
1
0，即得
ik
A
1 c2
c2 t
(i )
0
c2
k
A
这表明，只要给定了 A ，就可以确定单色平面电 磁波，这是因为：
BAikAik(A横A纵)
方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应
的，这是因为矢势 A可 以加上一个任意标量函数
的的梯梯度度，在结E果不影响BA，而中这对个E任要意发标生量影函响数，但
将
EA
t 中的与此融合也作相应的
t
变换，则仍可使 E保持不变。
设为任意的标量函数，即 (x ,t)，作下
述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，很容易证明：
t t
t
EAt0
EA
t
是标势不 是静电势
即
EA
t
电磁场和势之间的关系如下
B
E
A
A t
注意： a) 当 A与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t
0
时,且
E
b) 绝对不要把 EA 中的标势
t
与电势 (E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
况下， E 不再是保守力场，不存在势能的概念，
A A 0ei(k x t)
由库仑规范条件得到
即保证了 A 只有 横向A 分 i量k ，A 即 0 AA横 ，从而得到
E B A ik A t A A tik i A横 A iA 横
(A0)
通过例子可看到：
用，库可仑直规接范由的电优荷点分是布：它求的出标，势它的矢描势述库A 仑只作有
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中A ，和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
种等虽价然的方E式和，B但，由以于及EA、和B和是描A 、述电之磁间场是的微两分
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流 分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来 描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
1、用势 A,描述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D
E
B t
D 0 E , B 0 H .