最新导数及其应用复习小结
导数及其应用复习小结
∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a
b
或∫ f ( x)dx = F( x)|b = F(b) − F(a) a
(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数)
(1)匀变速运动的路程公式. (1)匀变速运动的路程公式. 匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间 a,b］上的定积分， 在时间区间［ 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分， 即 s = ∫a v ( t ) dt.
割 线 T 切 线 x
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定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 为常数. 如果在某个区间内恒有 f ′(x) = 0 ,则 f (x)为常数 返回 则
函数的极值 1)如果 如果b (x)=0的一个根 (x)>0， 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， (x)=0的一个根，并且在b左侧附近f (x)>0 右侧附近f (x)<0 那么f(b)是函数f(x) (x)<0， f(b)是函数f(x)的一个极大值 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 如果a (x)=0 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根 ， 并且在 a 的左侧附近 (x)= 的一个根， 并且在a (x)<0 (x)>0 f’(x)<0 ， 在 a 右侧附近 f’(x)>0 ， 那么是 f(a) 函数 (x)< (x)> f(x)的一个极小值 的一个极小值. f(x)的一个极小值. 导数等于零的点不一定是极值点． 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（ 函数的最大（小）值与导数
导数知识点总结及应用
导数知识点总结及应用导数是微积分中的基本概念，是描述函数变化率的工具。
它具有广泛的应用，不仅在数学中起着重要作用，也在其他学科中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将总结导数的基本知识点以及其应用。
一、导数的定义和性质导数可以通过极限的计算来定义，假设函数f(x)在点x_0处有定义。
那么f(x)在x_0处的导数可以定义为：f'(x_0)=lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)导数的计算方法有很多，其中最基本的有以下几种：1.使用导数定义的极限计算法；2.利用导数的基本性质：线性性、乘法法则、链式法则等。
导数具有以下基本性质：1.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点连续；2.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点的函数值变化率为f'(x_0)。
二、导数的应用1.函数的极值与图像的凹凸性导数的一个重要应用是用于确定函数的最大值和最小值。
根据函数的图像和导数的符号，可以判断函数的增减性以及极值点。
具体来说，函数在极值点的导数为零，并且在极值点的导数变号。
另外，导数的符号还可以用来确定函数图像的凹凸性。
如果函数的导数在其中一区间上恒大于零，则函数在这一区间上是严格递增的，图像是凸的。
如果函数的导数在其中一区间上恒小于零，则函数在这一区间上是严格递减的，图像是凹的。
2.切线与法线函数的导数可以用来确定函数图像上任意一点处的切线和法线。
在其中一点x_0处，函数图像上的切线的斜率等于函数在该点处的导数值，即切线的斜率为f'(x_0)。
切线的方程可以通过点斜式来确定。
3.函数的近似计算函数的导数可以用来近似计算函数在其中一点处的函数值。
根据导数的定义，函数在该点的导数等于函数在该点的函数值变化率。
所以，如果已知其中一点的导数，可以通过导数乘以函数值变化的增量来估计函数值的增量。
4.曲线的弯曲程度导数还可以用来衡量曲线的弯曲程度。
导数章末小结
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(2)利用导数求函数的极值，一般步骤为 ①确定f(x)的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③检验f′(x)＝0的根两侧f′(x)的符号．若两侧符号异号，
则此点为极值点，否则，此根不是函数f(x)的极值点．
(3)利用导数求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法 ①先求f(x)在(a，b)内的极值； ②最小的就是最小值． 返回
第 三 章
导 数 及 其 应 用 章 末 小 结
核心要点归纳
阶段质量检测
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一、导数的几何意义
利用导数的几何意义求切线方程，常见的类型有两种，
一是求“某点处的切线方程”，则此点一定为切点．二是求 “过某点的切线方程”，则此点不一定为切点，若不是切点， 可设出切点为(x0，y0)，再由导数几何意义求解．
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点击下图进入“阶段质量检测”
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四、导数的实际应用
求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量间的函数关 系式y＝f(x)； (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值
大小，最大者为最大值，最小者为最小值；
(4)回归实际问题．
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二、导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝ 1 x ，y＝x的导数；
2
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数． 三、导数在研究函数中的应用 (1)利用导数求单调区间，步骤为 ①求导数 f′(x)； ②解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； ③写出单调增区间，减区间．
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
最新导数及其应用小结
导数及其应用小结导数及其应用小结课标要求（1）导数概念及其几何意义① 了解导数概念的实际背景.② 理解导数的几何意义.（2）导数的运算① 能根据导数定义，求函数«Skip Record If...»的导数.② 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：«Skip Record If...»(C为常数)；«Skip Record If...», n∈N+；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»;«Skip Record If...»;«Skip Record If...»;«Skip Record If...»;«Skip Record If...».法则1 «Skip Record If...»．法则2 «Skip Record If...».法则3 «Skip Record If...» .（3）导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.（4）生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.知识结构知识小结1．导数的概念(1)如果当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»有极限，就说函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处存在导数，并将这个极限叫做函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的导数(或变化率)，记作«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»的几何意义是曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的；瞬时速度就是位移函数«Skip Record If...»对的导数；加速度就是速度函数«Skip Record If...»对______________的导数.(2)如果函数«Skip Record If...»在开区间«Skip Record If...»内的每一点都可导，其导数值在«Skip Record If...»内构成一个新函数，这个函数叫做«Skip Record If...»在开区间«Skip Record If...»内的导函数，记作或 .2．几种常见函数的导数(1) «Skip Record If...»(C为常数)；(2)«Skip Record If...», n∈N+；(3)«Skip Record If...»；(4)«Skip Record If...»;(5)«Skip Record If...»;(6)«Skip Record If...»;(7)«Skip Record If...»;(8) «Skip Record If...».3．可导函数的四则运算法则法则1«Skip Record If...»(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2 «Skip Record If...».(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 «Skip Record If...»(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)4．函数的单调性函数«Skip Record If...»在某个区间«Skip Record If...»内，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为；若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为；若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为。
导数知识点总结及应用[整理]
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20XXKnowledge Points知识点汇编《导数及其使用》知识点总结一、导数的概念和几许含义1.函数的均匀改变率：函数在区间上的均匀改变率为：。
2.导数的界说：设函数在区间上有界说，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作。
函数在处的导数的本质是在该点的瞬时改变率。
3.求函数导数的根本过程：（1）求函数的增量；（2）求均匀改变率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则.4.导数的几许含义：函数在处的导数便是曲线在点处的切线的斜率。
由此，能够使用导数求曲线的切线方程，详细求法分两步：（1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
当点不在上时，求通过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确认切点。
特别地，假如曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，依据切线界说，可得切线方程为。
5.导数的物理含义：质点做直线运动的位移S是时刻t的函数，则表明瞬时速度，表明瞬时加速度。
二、导数的运算a.常见函数的导数：（1）(k, b为常数)；（2）(C为常数)；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（α为常数）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。
2. 函数的和、差、积、商的导数：（1）；（2）（C为常数）；（3）; （4）。
3. 简略复合函数的导数：若，则，即。
三、导数的使用1. 求函数的单调性：使用导数求函数单调性的根本办法：设函数在区间内可导，（1）假如恒，则函数在区间上为增函数；（2）假如恒，则函数在区间上为减函数；（3）假如恒，则函数在区间上为常数函数。
使用导数求函数单调性的根本过程：①求函数的界说域；②求导数；③解不等式，解集在界说域内的不间断区间为增区间；④解不等式，解集在界说域内的不间断区间为减区间。
导数知识点总结及其应用
导数知识点总结及其应用导数是微积分中的重要概念，它是描述函数变化率的工具，可以帮助我们求解曲线的斜率、最值、凹凸性等问题。
在数学和物理中，导数有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动、变化以及求解最优化问题等方面。
本文将对导数的定义、性质、求导法则以及其应用进行详细的总结和讨论。
一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，可以理解为函数图像在该点处的斜率。
在数学上，导数可以通过极限的概念和定义得出。
给定函数f(x)，则f(x)在x=a处的导数定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，h表示自变量的增量。
这个定义可以直观地理解为f(x)在x=a处的切线斜率。
当h趋于0时，极限就表示函数在点a处的斜率，也就是导数。
二、导数的性质1. 可导性函数在某一点可导意味着该点附近存在唯一的切线，也就是说函数在该点处光滑连续。
一般来说，几乎所有的函数都有导数，也就是可导的。
2. 连续性若函数在某一点可导，则该点处是连续的。
但反之不一定成立，即函数在某点处连续不一定可导。
3. 导数运算规则（1）常数导数若f(x)=c，c为常数，则f'(x)=0。
（2）幂函数导数若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^{n-1}。
（3）和差导数若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。
（4）积导数若f(x)=g(x)·h(x)，则f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)。
（5）商导数若f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}，则f'(x)=\frac{g'(x)·h(x)-g(x)·h'(x)}{(h(x))^2}。
导数及其应用复习小结
o
2
x
的速度行驶， 8.汽车以 v 0 = 36 km / h 的速度行驶， 到达某处 时需要减速刹车， 时需要减速刹车 ，设汽车以等减速度 a = 5 m / s 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少 m ? 刹车， 问从开始刹车到停车，
答案：f ( x)在（0,1） 在（ ,2） f ( x)极小值 = 1 ↓ 1 ↑
( 2 ) 求 g ( x )的值域 .
1 值域为： , )并作函数大致的图象 (−∞ e
函数的单调性
练习. 练习
求下列函数的单调区间：
x+2 (1) y = ; x (3) y =
x ; (2) y = 2 x −9
答案：m ≥ − 1 2
技巧：恒成立问题 技巧：恒成立问题——分离变量求值域法 分离变量求值域法
题型二：利用导数求单调区间极值、 题型二：利用导数求单调区间极值、值域
例题 2：已知函数
强调： 强调：定义域
ln x f ( x ) = x − ln x ， g ( x ) = x (1) 求 f ( x ) 在（ 0，2）上单调 区间和极值 .
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
f ( x) f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) (3)[ ]′ = 2 g ( x) g ( x)
3、复合函数的求导法则： 、复合函数的求导法则：
y = y •u
' x ' u
4、积分运算： 、积分运算：
1、常见的导数公式： 、常见的导数公式：
记牢是前提！ 记牢是前提！
1.C ′ = o n n −1 2.( x )′ = nx
高中数学选修1-1第三章复习小结
1 ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： 2
1 y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 4
针对训练： 求曲线 f
x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
注：导数等于零的点不一定是极值点．
六、函数的最大值与最小值：
1.定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域) 内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最 小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m. 2.存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与
x 0
x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则此极限称为
x 0
x
x 0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|x x ；
0
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导， 就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个 确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)
《导数和应用》知识点总结
《导数和应用》知识点总结导数是微积分中的重要概念，它是用来描述函数变化率的工具。
本文将总结导数的定义、性质以及它在数学、物理和经济等领域中的应用。
一、导数的定义在数学中，导数是描述函数变化率的概念。
对于一个函数f(x)，在x 点处的导数表示函数在这一点的变化率。
导数的定义如下：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中f'(x)表示f(x)在x点处的导数，h表示一个无限小的增量。
二、导数的性质1.导数的存在性：如果函数f(x)在x点处可导，则它在这一点的导数存在。
2.导数的基本运算法则：- 常数法则：如果c是一个常数，且f(x)是可导函数，则(cf(x))' = cf'(x)。
-和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，并且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
3.链式法则：如果函数f(x)和g(x)分别是可导函数，则复合函数(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。
4.导数的求解法则：- 幂函数法则：对于f(x) = axⁿ，其中a是常数，n是自然数，有f'(x) = anxⁿ⁻¹。
-指数函数法则：对于f(x)=eˣ，有f'(x)=eˣ。
- 对数函数法则：对于f(x) = ln(x)，有f'(x) = 1/x。
- 三角函数法则：对于f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，有f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。
导数知识点总结与应用
导数知识点总结与应用一、导数的定义导数的定义是一个函数在某一点的变化率，通俗地说就是函数在某一点的斜率。
数学上我们用极限的概念来定义导数，设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim (Δx→0) (f(x0+Δx)- f(x0))/Δx如果这个极限存在的话，我们就称这个导数为存在的。
导数在几何意义上就是函数在某一点的切线的斜率。
二、导数的意义导数不仅仅是一个数学概念，更是反映了函数在不同点的变化情况。
导数告诉我们了函数在某一点的变化率，也就是函数在该点上的速度。
导数在物理中也有广泛的应用，比如在求物体的速度、加速度等等。
在经济学中，导数也有广泛的应用，比如在边际收益、边际成本等等。
三、导数的常用性质1、导数的和差规则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的和、差的导数就可以用下面的关系式来表示：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)2、导数的数乘规则：设函数f(x)在点x0具有导数，那么它的数乘k的导数可以用下面的关系式来表示：(k*f(x))' = k*f'(x)3、导数的积法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的积的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)4、导数的商法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，并且g(x0)≠0，那么它们的商的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^2四、高阶导数由导函数可以得到二阶导数，三阶导数···，n阶导数的定义分别为f''(x) = [f'(x)]'f'''(x) = [f''(x)]'···f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'几何意义上就是函数在该点的曲率、弯曲程度。
导数及其应用知识归纳
数为０的点不一定是极值点。
（3 ）利用导数求函数极值的步骤：
一．检查 f ‘ ( x ）在方程根左、右值的符号 若左正右负，则 f ( x ）在这个根处取得极大值； 若左负右正，则 f ( x ）在这个根处取得极小值； 若同正同负，则 f ( x ）在这个根处无极值．
一． 求 f ‘ ( x ) ； 二． 求 f ‘ （x ）＝０的根；
《导数及其应用》 知识归纳
击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
二、本章内容总结
（一）导数的概念 本章介绍导数和定积分的概念、求法以及应用． 可过分地记为 ‘’导数值’’与’’导函数’’以示区别!
导数来源于各种实际问题，它描述了非均匀变化过程的变 化率．例如变速直线运动的瞬时速度、质量分布不均匀的 细直杆的线密度、曲线切线的斜率等等 ·
3 ．函数的最值
（2 ）利用导数求最值的步骤：
一． 将 f ( x ）的各极值与 f ( a ) , f （b ）比较，确定 f （x ）的最大值和最小值． 一．求 f （x ）在（ a , b ）内的极值；
（1）在闭区间［a ，ｂ］上连续的函数
f ( x ) ，在 ［ a ，ｂ］上必有最大值和最小值．两种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
（六）导数的应用
１利用导数判断函数的单 调性
2 函数的极值
（l ）设函数 f ( x ）在点
A
x 。的附近有定义，如果对
附近所有的点都有：
（2 ）可导函数 f ( x ）在
B
极值点处的导数为０，但导
导数小结与复习
3、求导法则 f x g x f x g x f x g x f xgx f xgx
cf x
cf x
f x g x f x g x f x g x 0 g x 2 g x
变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好垂直于直 线y=11x－1，则P点坐标为 ____________, 切线方程为_____________________．
5.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
2
3.已知
f x x 2xf
2
则 1,
f 1 ( -2
f 0 ( -4 )
)
4.已知曲线C：y=x3－x+2和点(1,2) 求在点A处的切线方程？
变式1：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 或(－ 1, 2) 线y=11x－1，则P点坐标为 (1,2) ____________, y=2x 或 y=2x+4 切线方程为_____________________ ．
f x 3ax2 2bx c ,所以
m 3 m 3 3 2 a , b m, c 2m . f x x x 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f 1 5 ,即 2m 5 ,得 m 6 . 两年北京导 3 2
所以 a 2, b 9, c 12 .
数题,感想如 何?
• 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
最新导数及其应用(知识点总结)
导数及其应用 知识点总结1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式：①'C 0=； ②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．9、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x)（3）求方程f ’(x)=0的根（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
《导数及其应用》知识点总结
《导数及其应用》知识点总结一、导数的定义与运算1.导数的定义：导数表示函数在其中一点上的变化率，定义为函数在该点处的极限值。
设函数y=f(x)，则函数f(x)在点x=a处的导数记为f'(a)，可以表示为以下三种形式：（1）f'(a) = lim(x→a) [f(a)-f(x)] / (a-x)（2）f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)] / h（3）f'(a) = dy / dx，_(x=a)2.导数的运算法则：（1）和差法则：(u±v)'=u'±v'（2）数乘法则：(ku)' = ku'（3）乘法法则：(uv)' = u'v+uv'（4）商法则：(u/v)' = (u'v-uv') / v²（5）复合函数求导法则：(f[g(x)])'=f'(g(x))*g'(x)二、导数的几何意义1.切线与法线：函数在其中一点处的导数就是函数在该点处的切线的斜率，切线方程为y-f(a)=f'(a)(x-a)。
函数在其中一点处的导数的倒数就是函数在该点处的法线的斜率，法线方程为y-f(a)=-(1/f'(a))(x-a)。
2.函数的单调性与极值：若函数在一段区间上的导数大于0，则函数在该区间上单调递增；若函数在一段区间上的导数小于0，则函数在该区间上单调递减。
函数在一个点处的导数为0，则该点为函数的驻点；函数在驻点上的导数为正，则该点为函数的极小值点；函数在驻点上的导数为负，则该点为函数的极大值点。
三、导数的应用1.函数的极值与最值：（1）求函数的极值点：将函数的导数等于0的解作为候选点，再通过计算二阶导数或进行导数的符号表来判断是否为极值点。
（2）求函数的最值：将函数的极值点和函数在定义域的两端计算的值进行比较，得出最大值或最小值。
导数的应用知识点总结
导数的应用知识点总结一、导数的定义与几何意义。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，就说f(x)在区间(a,b)内可导。
这时对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，这样就构成了一个新的函数f^′(x)，称它为函数y = f(x)的导函数，简称导数，记作y^′或f^′(x)或(dy)/(dx)等。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
二、导数的基本公式与运算法则。
1. 基本公式。
- (C)^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′ = nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′ = a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)2. 运算法则。
- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v + uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)三、导数在函数单调性中的应用。
1. 函数单调性与导数的关系。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。
导数及其应用复习小结
x1
x2
lim Vf (x) lim f(x2 ) f (x1)
Vx x 0
x2 x1
x2 x1
lim Vf (x) f ' (x) Vx x 0
导数
• 例1 .已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则
f (1 x) f (1 x)
lim
x
3x
()
A.3
B.
3 2
1
C. 3
D.
2 3
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
（Ⅱ）f x 3ax2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
3a 2b c 0,得 12a 4b c 0, 解得 a 2,b 9, c 12 .
a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一.
（ Ⅱ ） 设 f x mx 1x 2 mx2 3mx 2m , 又
故 f x x3 3x2 9x 2,因此 f 1 1 39 2 7 ,
即函数 f x 在区间2, 2 上的最小值为 7 ．
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 7 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
f (x) ax3 bx2 cx 在 点 x0 处 取 y
得极大值 5 ,其导函数 y f (x) 的图
A
B
C
D
解析：由函数 y＝f′(x)的图象可以看出，当 0＜x＜2 时，f′(x) ＜0，此时 f(x)单调递减，立即排除 A、B、D。答案：C
利用导数求解函数的单调区间
• 例3设函数 f (x) x ln x(x 0) ，求函数
的单调区间。
利用导数求解极值和最值
• 例4.已知函数 f (x) x3 ax2 bx，在区间
2023年导数及其应用知识点总结
导数及其应用 知识点总结1、函数从到旳平均变化率： ()f x 1x 2x ()()2121f x f x x x --2、导数定义：在点处旳导数记作；．()f x 0x xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(000003、函数在点处旳导数旳几何意义是曲线在点()y f x =0x ()y f x =()()00,x f x P 处旳切线旳斜率．4、常见函数旳导数公式：①； ②；③； ④；'C 0=1')(-=n n nx x x x cos )(sin '=x x sin )(cos '-=⑤；⑥； ⑦；⑧a a a x x ln )('=x x e e =')(a x x a ln 1)(log '=xx 1)(ln '=5、导数运算法则：；()1()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦ ；()2()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦．()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；(),a b ()0f x '>()y f x =若，则函数在这个区间内单调递减．()0f x '<()y f x =7、求解函数单调区间旳环节：()y f x =（1）确定函数旳定义域； （2）求导数；()y f x =''()y f x =（3）解不等式，解集在定义域内旳部分为增区间；'()0f x >（4）解不等式，解集在定义域内旳部分为减区间．'()0f x <8、求函数旳极值旳措施是：解方程．当时：()y f x =()0f x '=()00f x '=假如在附近旳左侧，右侧，那么是极大值；()10x ()0f x '>()0f x '<()0f x 假如在附近旳左侧，右侧，那么是极小值．()20x ()0f x '<()0f x '>()0f x 9、求解函数极值旳一般环节：（1）确定函数旳定义域 （2）求函数旳导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0旳根（4）用方程f’(x)=0旳根，顺次将函数旳定义域提成若干个开区间，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0旳根左右旳符号，来判断f(x)在这个根处取极值旳状况10、求函数在上旳最大值与最小值旳环节是：()y f x =[],a b 求函数在内旳极值；()1()y f x =(),a b 将函数旳各极值与端点处旳函数值，()2()y f x =()f a ()f b 比较，其中最大旳一种是最大值，最小旳一种是最小值．。
15 导数及其应用小结1
第 1 页1.4.1导数及其应用小结（1）班级： 姓名： 小组：学习目标 1. 能熟练应用导数的几何意义求解切线方程；2. 掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题；学习重点 难点重点：理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题； 难点：原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题。
学法指导 本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
课前预习函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: ，我们称它为函数 在 处的______，记作或________，即________________________。
预习评价设f （x ）为可导函数，则h h x f h x f h )()(lim 000--+→ 的值为（ ） A. )('0x f B. 2 )('0x f C. -2)('0x f D.0课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）一、导数的概念及几何意义的应用1.设f （x ）在x=x 0处可导，且1)()3(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于（ ）A.1B. 0C. 3D.312．已经曲线C ：y =x 3－x +2和点A (1,2)。
求在点A 处的切线方程？二、导数与函数的单调性及恒成立问题 3、已知a ∈R 函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．当堂检测（备注：本节课重、难点知识的检测）1.已知函数()f x =2x x e e x ---.讨论()f x 的单调性； 2．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax2.若a ＝12，求f (x )的单调区间；学后反思 0x x =()y f x ='0()f x 0000()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆。
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注：导数等于零的点不一定是极值点．
f(x1)
y f(x3)
a
x2
x4
x1
0
x3
f(a)
f(x2)
f(b)
bx
函数的最值
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和 最小值.
f(x1)
y f(x3)
a
x2
x1
0
x3
f(a)
f(x2)
f(b)
x4 bx
复合函数的导数
x
导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
积 分 a b f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
b
Sa[f(x)]dx
b
Sa[f(x)]dx
b
f
(x)dx．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x a S f ( x ) d x c f ( x
b f ( x ) d x c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
形面积S的近似值：S f (xi )x i1
(3)取极限:，所求曲边梯形的
n
面积S为
S lim n i1
f (xi)x
Oa
xi xi xi+1
b
x
x
定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.
x x 小 矩 形 面 积 和 S =i n 1f(i) xi n 1f(i)b na
aa c
yf (x)
定积分的基本性质
积分上限
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，
x a bf(x )d x I l i0i n m 1f(i) x i
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
பைடு நூலகம்
达
量
式
定积分的几何意义
当 f ( x ) 0 时 ， 积 分 b f ( x ) d 在 几 何 x 上 表 示 由 y = f ( x ) 、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
复合函数y=f(g(x))的导数和函数
y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
yxyuux; 或 fx[(x)]f(u)(x).
注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.
过p(x0,y0)的切线
返回
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方
法(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
数的平方.即:g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
当点Q沿着曲线无限接近点P即
Δx→0时,割线PQ如果有一个极限 y
y=f 割
位置PT.则我们把直线PT称为曲线
(xQ) 线
在点P处的切线.
切T
设切线的倾斜角为α,那么
线
P
当Δx→0时,割线PQ的斜率,
称为曲线在点P处的切线的斜 o
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
函数的极值
（1)如果b是f'(x)=0的一个根，并且在b左侧附近 f'(x)>0，在b右侧附近f'(x)<0，那么f(b)是函数f(x) 的一个极大值
（2)如果a是f'(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近 f'(x)<0，在a 右侧附近f'(x)>0，那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值.
n个小区间:a ,x 1 ,x 1 ,x 2 , x i 1 ,x i, ,x n 1 ,b ,
每个小区间宽度△x b a
n
(2)取近似求和:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用
高为f(xi)而宽为x的小矩形面积
y
f(xi)x近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯 n
导数及其应用复习小结
变化率与导数
①函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
f f(x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
②函数的瞬时变化率
lim
x 0
lim
x 0
f ( x) limf(x2) f (x1)
x
x2 x1
x2 x1
y yf (x)
b f ( x ) d x c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a b 时 ， 有 b f ( x ) d x 0 。 a
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
f (x) f '(x) x
导数
基本初等函数的求导公式
1.若 f(x)c,则 f'(x)0 2 .若 f(x)xn,则 f'(x)nn 1 x 3 .若 f(x)six,n 则 f'(x)co xs 4 .若 f(x) co x,则 s f'(x) sixn 5 .若 f(x ) a x,则 f'(x ) a xln a 6 .若 f(x)ex,则 f'(x)ex 8 7..若 若 ff((x x)) llno xa ,则 x g ,则 f'(fx'()x ) 1xl1n a
x
率.
即: k 切 线 f'(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
函数的单调性
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 （1)如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
（2)如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
x 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作 a b f ( x ) d x ， 即 即 a b abf f( (x x) )d d x x l ln 0 i m i n 1 i n1f i b ( ni ) a x fi m 。 (xi)