七年级数学.培优 专题09 含绝对值符号的一次方程
完整版七年级培优专题解含绝对值的一元一次方程
greatout绝对值邂逅一次方程模型①c?axb x-3?3?3 1、解方程：4x=2-2、1=+12732x-4x=24-2+12=2-2x-2-1+1=7-3x32x-3+4=a有两个解，求a的取值范围。
3、已知关于x的方程ax?b?cx?d模型②x?1?2x2x-1?x?11、x-53?2x?x?6x?63x3x4-??x5??71 2、-1 -greatout多重绝对值方程怕不怕 1.解方程：3=x-2-4解方程：2.32=2-x-已知满足的x有2个，求a3.的取值范围。
a?-1x-2多个绝对值方程怕不怕已知x-2+x+4=6,则x的取值范围是____ 1.已知x-2+x+4=8,则x=____ 2.已知x?3-x-4?5,则x?____ 3.已知x?3-x-4??7,则x的取值范围为____ 4.-2 -greatout。
5.____则x的取值范围是+3+2x-4=7,已知2x6.个。
的整数解共有_____+-52x+7=122x个。
_____的整数-1=8x的值的个数有7符合2x+-2x 7.含绝对值的方程组6x+y=,x+y=12y=_____ ，则1.已知x=___，____x+=y,-10,xx++y=x+yy=12则 2.已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则。
x+y=______3.-3 -greatout4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y的值。
22=______ a+b6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则数形结合突破绝对值y=x-1+x-2，求y的取值范围。
1.已知x-1+x-2=a分别有2.满足什么条件时，方程2a个解？无解？无数解？当-4 -greatout的取值范围。
3.已知，求y2x-1-x-y=个解？无解？无数解？满足什么条件时，方程分别有14.当a a=x-21x--5.____的最大值为≥m，恒成立，则m+x+4+x-5+若x-1+x2+x-36.____y的取值范围是且+4,x可以取所有实数，则x已知y=x+1-2-3+x但不到万不得已不要轻易用，解含绝对值的二元一次方程组时，分类讨论是万能的，小结：杀敌一千自损八百。
人教版七年级数学下册专题训练09-含绝对值符号的一次方程试题(含答案)
09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程 这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】 方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】 方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（ ）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】 已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z ++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】 解下列方程：（1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】 已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】 当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算． 能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（ ）．A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（ ）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（ ）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（ ）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（ ）．A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程： （1）142|1|32x -+=； （2）1|1|32x x -=-； （3）||21||3x x -+=； （五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（ ）． A ．1B ．xC ．1x -D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）． A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11．用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-． 又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0； 当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2． 综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2． 例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5； 当－3≤x＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1； 当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3； 故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时，有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6. 例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx ≤<⎧⎨-=⎩②当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-1 4． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002² 6． A 提示:a <b 7． C 8．A 9．B10．C 提示:用筛选法 11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3 ⑵ ｘ=4⑶43x =- 或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到 122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8 B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6.C提示由绝对值的几何意义知-2≤3X≤47.D提示用绝对值得几何意义求解8.C提示:当a＞1时,方程有一负根;当a＜1时,方程有一正根.9.提示:若b+3,b-3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=310.提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a＜3时,方程有一解;当a=±3时,方程有无穷多个解;当a>3或a＜-3时,方程无解.11.根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x⨯+⨯++====⨯-⨯⊕解得x=±2003。
含有绝对值的一元一次不等式及其解法
含绝对值的一元一次不等式及其解法
教师：李劲松
Tieling teachers’ college
含有绝对值的一元一次不等式
含有绝对值的方程
︱x︱= a (a>0)
X= a 或 -a
-a 0 a
x
由此可见，此绝对值方程表示的是： 数轴上到0点的距离为a的点的集合。
Tieling teachers’ college
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 620.12. 1601:4 9:5601: 49:56D ecembe r 16, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月16 日星期 三上午 1时49 分56秒0 1:49:56 20.12.1 6
︱x︱< a 的解集是：｛x︱-a<x<a｝
︱x︱> a (a>0)的解集是： ｛x︱x< -a 或 x > a｝
Tieling teachers’ college
Sun wenjing
例1 ︱x－2︱< 4
含有绝对值的一元一次不等式
解： 原不等式等价于： 解法2：原不等式可等价于：
-4<xபைடு நூலகம்2<4 不等式两侧同时加上2得：
︱x︱> a (a>0)
由绝对值的几何意义可知，该不等式表示的是： 数轴上到0点的距离大于a的点的集合。
-a
0
a
x
所以满足该不等式的x取值集合为：
｛x︱x<-a 或 x>a｝
Tieling teachers’ college
含绝对值号的一元一次方程
含绝对值号的一元一次方程题目特点：一元一次方程中的未知数含有绝对值号。
解题关键：去绝对值号，化为一元一次方程求解。
解题方法：分类讨论，分x ≥0和x ＜0两种情况讨论。
讨论时，要注意方程的解是否符合题意。
解题关键：去绝对值号。
所用知识：0||0x x x x x ⎧=⎨-<⎩?。
,,||(),.x a x a x a x a a x x a -⎧-=⎨--=-<⎩… 例1 方程|3x|=15的解的情况是（ ）A 、有一个解，是5B 、无解C 、有无数个解D 、有两个解，是±5解：①当x ≥0时，去绝对值得：3x=15，解得：x=5；②当x ＜0时，去绝对值得：-3x=15，解得：x=-5。
故方程有两根，分别为x=5和x=-5．故选D ．点评：这是绝对值方程，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例2 若关于x 的方程||21x x =+的解为负数，则x 的值为（ ）A 、14-B 、13-C 、12- D 、-1 分析：分x ≥0和x ＜0两种情况讨论去绝对值即可．解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，解得x=-1，不符合预设的x ≥0，舍去．②当x ＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得13x =-．故选B ．例3 方程2|x-5|=6x 的解为（ ）A 、x=52-或54x =B 、x=52或54x =-C 、54x =D 、52x =- 分析：首先考虑去掉绝对值，这是要考虑x 的取值范围，即x ＞5和x ＜5，又有方程2|x-5|=6x 可知，x ＞0，由上可知方程的解．解：（1）当x ≥5时，2（x-5）=6x ，∴4x=-10，解得x=52-，与x ＞5矛盾，舍去； （2）当x ＜5时，2（5-x ）=6x ，∴8x=10，解得x=54；故选C 。
点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算题，充分考察了绝对值的几何意义．难易适中．例4 方程|21|45x x -=+的解是（ ）A 、x=-3或23x =-B 、x=3或23x =C 、23x =- D 、3x =- 分析：分210x -…和210x -<两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解：①当2x-1≥0，即x ≥12时，原式可化为：2145x x -=+，解得，x=-3，舍去； ②当2x-1＜0，即x ＜12时，原式可化为：1245x x -=+，解得，23x =-，符合题意． 故此方程的解为23x =-．故选C ．练习：1．方程|2x-6|=0的解是（）A、3B、-3C、±3D、132．方程|3x|=15的解的情况是（）A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±5 3．方程|2007x-2007|=2007的解是（）A、0B、2C、1或2D、2或04．若|x-2|=3，则x的值是（）A、1B、-1C、-1或5D、以上都不对5．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A、-2B、0C、23D、不存在6．已知|3x|-y=0，|x|=1，则y的值等于（）A、3或-3B、1或-1C、-3D、37．关于x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）A、43B、43-C、34D、34-8．已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-12|-1=0，则m的值是（）A、10或25B、10或25-C、-10或25D、-10或25-9．方程|x|=5的解是x= ，|x-2|=0的解是，3|x|=-6的解是，|x+2|=3的解是。
含绝对值的一次方程
含绝对值的一次方程的解法绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程。
在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值的符号，从而转化为不含绝对值的方程。
如果x a =，（a 是常数）当0a 时，x a =± 当0a =时，0x =当0a 时，此方程无解1．含绝对值的一次方程的解法 （1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法： ①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c bx a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解． （3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． （6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法： 解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和()()ax b ex f cx d +=-+-+； ③解②中的两个绝对值方程． 例题：1. 解方程235x +=答案：1x =或4x =- 2. 解方程 3434x x -=-答案：43x ≥3. 解方程 143x x -+-=答案：14x ≤≤4. 若010x ，则满足条件3x a -=的整数a 的值有___个，它们的和等于___.(第10届初一希望杯)答案：当03x 时，则有33,12x x a a -=-==、 当310x ≤时，则有33,0123456.x x a a -=-==、、、、、、 则a 的值有9个，它们的和等于24。
初中数学培优专题学习专题09 含绝对值符号的一次方程
专题09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】 方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】 方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（ ）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】 已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】 解下列方程： （1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】 已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】 当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算．能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（ ）． A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（ ）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（ ）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（ ）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（ ）． A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程： （1）142|1|32x -+=； （2）1|1|32x x -=-； （3）||21||3x x -+=； （五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（ ）． A ．1B ．xC ．1x -D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（ ）． A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）． A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11． 用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值． （北京市“迎春杯”竞赛试题）。
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题09 含绝对值符号的一次方程_答案[精品]
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专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x ≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x ≤1且－1≤y ≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx ≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m ≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =- 或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到 122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a , x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x=±2003。
初中数学培优专题学习专题09 含绝对值符号的一次方程_答案
专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =-或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x =±2003。
七年级培优竞赛讲义——第9讲：绝对值与一元一次方程
第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．【例题讲解】例1.方程5665-=+x x 的解是(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．例2.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有()．(希望杯邀请赛试题)A ．5B ．4C ．3D ．2思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．例3.解方程：413=+-x x ；(天津市竞赛题)思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．例4.解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．例5.已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．※巩固训练※1．方程1)1(3+=-xx 的解是；方程1213+=-x x 的解是．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是()．A ．一2B ．0C ．32D ．不存在6．方程055=-+-x x 的解的个数为()．(“祖冲之杯”邀请赛试题)A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个7．已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是()(山东省竞赛题)A ．5210或B ．5210-或C ．5210或-D ．5210--或8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于()．(重庆市竞赛题)A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有个，它们的和是．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于()．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是()．A ．m>n>k B ．n>k>mC ．k>m>nD ．m>k>n 17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有()个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值．(“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22．(1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．第九讲绝对值与一元一次方程参考答案。
3含绝对值的一次方程
含绝对值的一次方程绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程。
在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值的符号，从而转化为不含绝对值的方程。
如果x a =，（a 是常数）当0a 时，x a =± 当0a =时，0x =当0a 时，此方程无解 1．含绝对值的一次方程的解法 （1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法： ①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c bx a -=或c b x a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解． （3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b cx +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题：1. 解方程235x +=答案：1x =或4x =- 2. 解方程 3434x x -=-答案：43x ≥3. 解方程 143x x -+-=答案：14x ≤≤4. 若010x ，则满足条件3x a -=的整数a 的值有___个，它们的和等于___.(第10届初一希望杯)答案：当03x 时，则有33,12x x a a -=-==、 当310x ≤ 时，则有33,0123456.x x a a -=-==、、、、、、 则a 的值有9个，它们的和等于24。
七年级培优专题：一次方程组的解法;含绝对值二元一次方程组
一次方程组的解法方法1：整体考虑例1：解方程组：（1） （2）32(2)522x x y x y --=⎧⎨-=⎩①②7233()1723x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩①②跟踪训练：解方程组： （1），（2）2(2)3(1)133(2)5(1)10x y x y +--=⎧⎨++-=⎩．431032255213225x y x y x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩方法2：引元设参例2：解方程组353278x y x yx y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩跟踪训练2：解方程组：① ②25322y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的值求已知b ab a b a ,17211201+=+=+方法3：加减不消元例3：解方程组83581641283591641835921641x y x y +=⎧⎨+=⎩①②跟踪训练3：解方程组：361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩方法4：叠加叠乘例4：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-=+-+=-++6543d c b a d c b a d c b a d c b a 跟踪训练4：的值，求已知a 6ea ,4de ,3cd ,2bc ,1ab =====方法5：倒数拆分例5：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+71328123y x xy y x xy 跟踪训练5：设a,b,c 均为非零实数，并且ab=(a+b),bc=3(b+c),ca=6(c+a),求a+b+c 的值。
方法6：类比变形e a例6：若方程组的解是, 求方程组的解．111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩跟踪训练6：若方程组的解是, 求方程组的解的解．111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩25x y =-⎧⎨=⎩11111222222222a x b y a b c a x b y a b c -=-+⎧⎨-=-+⎩无数解和无解分析：例7：的值。
人教版 七年级数学上册 一元一次方程培优专题-绝对值方程(解析版)
一元一次方程培优专题——绝对值方程例题1. 解方程：235x +=【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为235x +=或者235x +=-，解得1x =或4x =- 【答案】1x =或4x =-例题2. 解方程1121123x x +--+-=【解析】原方程整理得：1315x +=，即1315x +=或者1315x +=-，所以原方程的解为85x =或185x =- 【答案】85x =或185x =-例题3. 已知：当m n >时，代数式()2223m n -+和225m n +-的值互为相反数，求关于x 的方程1m x n -=的解．【解析】因为代数式()2223m n -+和225m n +-的值互为相反数， 所以()22222350m n m n -+++-=，所以()22230m n -+=，2250m n +-=，进而222235m n m n ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以1,2m n =±=±，因为m n >，当1m =时，2n =-；当1m =-时，2n =-； 当12m n ==-，时，方程为12x -=-，该方程无解；当1m =-，2n =-时，方程为12x --=-，解得1x =-或3x =．【答案】1x =-或3x =例题4. 解方程4329x x +=+【解析】解法一： 令430x +=得34x =-，将数分成两段进行讨论：①当34x ≤-时，原方程可化简为：4329x x --=+，2x =-在34x ≤-的范围内，是方程的解． ②当34x >-时，原方程可化简为：4329x x +=+，3x =在34x >-的范围内，是方程的解． 综上所述2x =-和3x =是方程的解． 解法二：依据绝对值的非负性可知290x +≥，即92x ≥-．原绝对值方程可以转化为①4329x x +=+，解得 3x =，经检验符合题意．②43(29)x x +=-+，解得2x =-，经检验符合题意．综合①②可知2x =-和3x =是方程的解． 【答案】2x =-或3x =例题5. 解方程4329x x +=+【答案】3x =或2x =-例题6. a 为有理数，23a a =-，求a 的值．【解析】解法一： 要想求出a 的值，我们必须先化简23a a =-．采用零点分段讨论的方法． 令0a =，230a -=得32a =．①当32a ≥时，由原式可得23a a =-，求得3a =，在32a ≥的范围内； ②当302a ≤<时，由原式可得32a a =-，求得1a =，在302a ≤<的范围内； ③当0a <，由原式可得23a a -=-+，求得3a =，不在0a <的范围内． 综上可得a 的值为3或1．解法二：依题意，a 的绝对值和23a -的绝对值相等，可以得出两者相等或互为相反数，即23a a =-或(23)a a =--解得3a =或1a =．【答案】3a =或1a =例题7. 解方程2131x x -=+【解析】根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得到2131x x -=+或2131x x -=--，解得20x x =-=，． 【答案】2x =-或0x =例题8. 解方程134x x -+-=【解析】令10x -=，30x -=得1x =，3x =，它们可以将数轴分成3段： ①当1x <时，原方程可化简为：(1)(3)4x x ----=，0x =在1x <的范围内是原方程的解； ②当13x ≤<时，原方程可化简为：1(3)4x x ---=，此方程无解；③当3x ≥时，原方程可化简为：134x x -+-=，4x =在3x ≥的范围内是原方程的解；综上所述，原方程的解为：0x =或4x =．【答案】0x =或4x =例题9. 解方程154x x -+-=【解析】由绝对值的几何意义可知15x ≤≤． 【答案】15x ≤≤例题10. 解方程：2123x x +--=【解析】零点为：12x =-，2x =，它们可将数轴分成三段： ①当12x <-时，原方程变形为：(21)(2)3x x -+--=，6x =-在12x <-的范围内，是方程的解；②当122x -≤<时，原方程变形为：(21)(2)3x x +--=，43x =在122x -≤<的范围内，是方程的解；③当2x >时，原方程变形为：(21)(2)3x x ---=，0x =不在2x >的范围内，不是方程的解．综上所述原方程的解为：6x =-或43x =．【答案】6x =-或43x =例题11. 解方程：方程93352x x x ++-=+ 【解析】对x 的值分4段讨论： ①若3x <-，则原方程化为93352x x x --+-=-+，解得2x =，与3x <-矛盾； ②若30x -≤<，则原方程化为93352x x x ++-=-+，解得29x =-； ③若03x ≤<，则原方程化为93352x x x ++-=+，解得29x =；④若3x ≥，则原方程化为93352x x x ++-=+，解得2x =-，与3x ≥矛盾．综上所述方程的解为29x =±．【答案】29±例题12. 解绝对值方程：35162x x ---= 【解析】35162x x ---=或6-，即3572x x -=-或3552x x -=+ ①当70x -≥时（即7x ≥），3502x ->，3572x x -=-化为3572x x -=-，解得9x =-； ②当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x ->（即53x ≥），3552x x -=+，解得15x =；③当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -<（即5<3x ），3552x x -=--，解得1x =-．再来检验这三个解9x =-（舍去）、15x =、1x =-．【答案】15x =或1x =-例题13. 解方程：3548x -+=【解析】3548x -+=或8-（舍），即354x -=，所以354x -=或4-，即39x =或31x =，故3x =或13x =．【答案】3x =或13x =例题14. 求方程314x x -+=的解．【解析】解法一：13103x x +==-，；310x x -+=，12x =-，14-，这3个零点将数轴分成4段，我们分段讨论研究 可以得到结果为：32x =或54x =-，但其实这么做是没必要的．我们来看看解法二． 解法二：①当13x ≤-时，方程可化为：414x +=-，54x =-，在13x -≤范围内，是方程的解；②当13x >-时，方程可化为214x --=：当214x --=时，得52x =-，5123-<-，52x =-不是解， 舍去；当214x --=-时，得32x =，∵3123>-，∴32x =是方程的一个解．综上可得，原方程的解为32x =或54x =-．【答案】32x =或54x =-例题15. 当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解【解析】根据x 所在的范围，可得0x ≥，10x -≤，因此11x x x x =-=-，，按从内到外的顺序逐个去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为：1110x ---=，即10x -=，所以1x =．【答案】1。
初一数学上册综合算式专项练习题解含有绝对值的一元一次方程
初一数学上册综合算式专项练习题解含有绝对值的一元一次方程在初一数学上册中，综合算式是一个重要的学习内容。
其中，含有绝对值的一元一次方程是一个比较难的部分，需要我们通过专项练习来提高解题能力。
本文将对初一数学上册综合算式专项练习题中的含有绝对值的一元一次方程进行详细解答。
绝对值的一元一次方程是指方程中含有绝对值符号(| |)的一元一次方程。
解这类方程的关键是将绝对值拆开，得到正负两个条件，然后分别解答。
下面，我们将围绕这个思路来解答几个具体的练习题。
一、练习题解答：1. 如何解答含有绝对值的一元一次方程？对于含有绝对值的一元一次方程，我们可以通过以下步骤来解答：步骤一：将绝对值拆开，得到正负两个条件。
步骤二：分别解答这两个条件，得到两个解。
步骤三：判断这两个解是否满足原方程，若满足，则为方程的解；若不满足，则舍去。
2. 解答练习题：（1）|x-2| = 4解答：根据步骤一，可以得到两个条件：x - 2 = 4 或 x - 2 = -4解得：x = 6 或 x = -2根据步骤三，将这两个解分别代入原方程进行验证：当x = 6时，|6-2| = 4，满足原方程；当x = -2时，|-2-2| = 4，满足原方程。
所以，方程的解为x = 6或x = -2。
（2）|3x + 5| = 7解答：根据步骤一，可以得到两个条件：3x + 5 = 7 或 3x + 5 = -7解得：3x = 2 或 3x = -12x = 2/3 或 x = -4根据步骤三，将这两个解分别代入原方程进行验证：当x = 2/3时，|3×(2/3)+5| = 7，满足原方程；当x = -4时，|3×(-4)+5| = 7，满足原方程。
所以，方程的解为x = 2/3或x = -4。
通过以上两个例子的解答，我们可以看出，解答含有绝对值的一元一次方程的关键是将绝对值拆开，得到正负两个条件。
然后，分别解答这两个条件，并判断解是否满足原方程。
含绝对值符号的一元一次方程习题附答案
含绝对值符号的一元一次方程习题附答案1.已知|2-x|=4，则x的值是？解：|2-x|=4，分两种情况讨论：当2-x≥0时，有2-x=4，解得x=-2；当2-x<0时，有-(2-x)=4，解得x=-6.综上所述，x的值为-2或-6，选项C。
2.已知关于x的方程|5x-4|+a=0无解，|4x-3|+b=0有两个解，|3x-2|+c=0只有一个解，则化简|a-c|+|c-b|-|a-b|的结果是？解：首先，|5x-4|+a=0无解，说明|5x-4|≠0，即5x-4≠0，解得x≠4/5；其次，|4x-3|+b=0有两个解，说明|4x-3|=0，即4x-3=0，解得x=3/4；最后，|3x-2|+c=0只有一个解，说明|3x-2|=0，即3x-2=0，解得x=2/3.将x≠4/5，x=3/4，x=2/3代入|a-c|+|c-b|-|a-b|中，得到|a-c|+|c-b|-|a-b|=|a-0|+|0-b|-|a-b|=|a-b|-|a-b|=0，选项D。
3.方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是？解：分两种情况讨论：当x≥0时，有3x+x-2=4，解得x=1；当x<0时，有-3x+x-2=4，解得x=-2/4=-1/2.综上所述，方程|3x|+|x-2|=4的解有两个，即x=1或x=-1/2，选项C。
4.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程|x-|=0，则m的值为？解：由于|x-|=0，说明x=0，代入方程mx+2=2(m-x)中，得到2m+2=0，解得m=-1，选项A。
5.方程|2x-6|=0的解是？解：|2x-6|=0，说明2x-6=0，解得x=3，选项A。
6.若|x-1|=3，则x=？解：分两种情况讨论：当x-1≥0时，有x-1=3，解得x=4；当x-1<0时，有-(x-1)=3，解得x=-2.综上所述，x的值为4或-2，选项C。
7.方程|2x-1|=4x+5的解是？解：分两种情况讨论：当2x-1≥0时，有2x-1=4x+5，解得x=-3；当2x-1<0时，有-(2x-1)=4x+5，解得x=3/2.综上所述，方程|2x-1|=4x+5的解为x=-3或x=3/2，选项A。
初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组
含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】 解： 若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以 ｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。
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专题09 含绝对值符号的一次方程
阅读与思考
绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：
1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程
这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程
这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．
例题与求解
【例1】 方程|5|25x x -+=-的解是__________．
（四川省竞赛试题）
解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．
【例2】 方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（ ）． A ．2个
B ．3个
C ．5个
D ．无穷多个
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．
【例3】 已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z
++
的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．
【例4】 解下列方程： （1）||31||4x x -+=；
（天津市竞赛试题）
（2）|3||1|1x x x +--=+；
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
（3）|1||5|4x x -+-=．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．
【例5】 已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．
【例6】 当10m -<„时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．
（上海市竞赛试题）
解题思路：由于10m -<„，且|1|0x -…
，就有0x „，进而计算．
能力训练
A 级
1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．方程13|
2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15
x x -=+的解是_______________．
3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
4．巳知||2x x =+，那么99
19327x x ++的值为__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
5．若方程23
|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
6．满足2
()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（ ）． A ．0ab <
B ．0ab >
C ．0a b +>
D ．0a b +<
7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（ ）． A ．0a b +…
B ．0a b +<
C ．0ab <
D ．0ab …
8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（ ）．
A ．m n k >>
B ．n k m >>
C ．k m n >>
D ．m k n >>
（“希望杯”邀请赛试题）
9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（ ）． A ．不确定
B ．无数个
C ．2个
D ．3个
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（ ）． A ．0
B ．2
C ．1
D ．3
（全国初中数学联赛试题）
11．解下列方程： （1）142|
1|32x -+=； （2）1
|1|32
x x -=-； （3）||21||3x x -+=； （五城市联赛试题）
（4）|21||2||1|x x x -+--+．
（全国通讯赛试题）
12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．
（陕西省竞赛试题）
B 级
1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程
|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．
2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．
（武汉市选拔赛试题）
4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1
|1|
a a -=+__________．
5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（ ）． A ．1
B ．x
C ．1x -
D ．1x -
6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．大于2的自然数
7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（ ）． A ．0a …
B ．0a >
C ．1a …
D ．2a …
（武汉市竞赛试题）
8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）． A ．1a =
B ．1a >-
C ．1a …
D ．1a <
（全国初中数学联赛试题）
9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？
（江苏省竞赛试题）
11．
用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有
220032004||
a b a b a a
+⊕=
-，已知20042x ⊕=，求x 的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）。