二次函数与幂函数知识梳理

二次函数与幂函数

【考纲要求】

1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2.幂函数

(1)了解幂函数的概念．

(2)结合函数1(1,2,3,1,)2

y x α

α==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质

1.过原点的直线的方程,图象,性质；

2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值

1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2

y ax bx c =++（0≠a ），

顶点式：2

()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =，

基 本 初 等 函 数

图象与性质

一次函数 二次函数

幂函数

常数函数

零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02

=++c bx ax 的根 2. 二次函数2

y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：

二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令

01

()2

x p q =+.

（1） （2） （3） （4）

（1）若2b

p a

-

<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2b

f x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；

（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2b

f x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；

（4）若2b

q a

≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.

要点诠释：

1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 (1)m

n

m

n

a

a =　，1

n

n a

a -=，m n m n m n

a a a -11==(,1)m n N n +∈>、　； (2)

()

(,1)n

n

a

a n N n =∈>　

，

(1,n

n a a n n =>为奇数）

，

(0)((0)n

n

a a a a n a a ≥⎧=⎨-<⎩

＝是正偶数）

　。 考点三、幂函数的图象与性质

1.幂函数()y x x R α

=∈在第一象限的图象特征

2.幂函数()y x x R α

=∈性质：

（1）1α>，图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如2

y x =； （2）01α<<，图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如1

2

y x =；

（3）0α<，图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如11

2

,y x y x -

-==

要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。 【典型例题】

类型一：基本函数的解析式

例1．已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图像在y 轴上截距为1，在x 轴截得的线段长为22()f x 的解析式.

【解析】

【方法一】设2

()f x ax bx c =++（0a ≠），

则1c =，且对称轴22b

x a

=-

=-，即4b a =， ∴2()41f x ax ax =++，

∵212164||22||

a a

x x a --==， ∴12a =

∴2

1()212

f x x x =

++ 【方法二】∵(2)(2)f x f x -=--，∴二次函数的图象的对称轴为2x =-，

可设所求函数为2

()(2)f x a x h =++（0a ≠），

∵()f x 截x 轴上的弦长为22， ∴()f x 的图像过点(22,0)-和

22,0)，

∴2

22)2]0a h ++=，即20a h += （1）

又∵()f x 的图像过点(0,1)， ∴41a h += （2） （1）（2）联立，解得1

2

a =

，1h =-，

∴21()(2)12f x x =

+-，即21

()212

f x x x =++. 【方法三】∵()y f x =的图象对称轴2x =-，

又12||x x -=,

∴()f x 与x

轴的交点为(2,0)

和2,0)，

故可设()(2)(2)f x a x x =+（0a ≠）， 由(0)1f =可得 1

2

a =.

∴1()(2)(2)2f x x x =

，即21

()212

f x x x =++. 【总结升华】二次函数的形式有以下三种： （1）一般形式：2

()f x ax bx c =++（0a ≠），

（2）顶点式（或称配方式）2

()()f x a x k h =-+（0a ≠），

（3）零点式（或称双根式）12()()()f x a x x x x =--（0a ≠），（前提：有根）

对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘

题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。

举一反三：

【变式】已知二次函数()=y f x

的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式

【答案】∵二次函数的对称轴为x =

2

()(f x a x b =+，

又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x

过点(2,0)+

和(2,0)，

()f x 又过点(0,1)-，

∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得122

a b ⎧=⎪

⎨⎪=-⎩，

∴21()(22f x x =

-，

即21

()12

f x x =-. 类型二：函数的图象和性质

例2. 下图是指数函数（1）x

y a =，（2）x

y b =，（3）x

y c =，（4）x

y d =的图象，则a 、

b 、

c 、

d 与1的大小关系是（ ）