常微分方程精品课程

§6.3 奇点本节考虑平面自治系统

⎪⎩⎪⎨⎧==)

,(),(..y x Q y y x P x

(6.18)

以下总假定函数),(),,(y x Q y x P 在区域 H y H x D <<,:, )(+∞≤H

上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.

6.3.1 相平面、相轨线与相图

我们把xOy 平面称为(6.18)的相平面,而把(6.18)的解)(),(t y y t x x ==在xOy 平面上的轨迹称为(6.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(6.18)的相图.

易于看出,解)(),(t y y t x x ==在相平面上的轨线,正是这个解在),,(y x t 三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看到,用轨线来研究(6.18)的通解常要比用积分曲线方便得多.

下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.

例 1 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=x dt

dy y

dt dx 很明显,方程组有特解.sin ,cos t y t x ==它在),,(y x t 三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图5-3(a)),它经过点)0,1,0(. 当t 增加时,螺旋线向上方盘旋.上述解在xOy 平面上的轨线是圆,12

2=+y x 它恰为上述积分曲线在xOy 平面上的投影. 当t 增加时,轨线的方向如图5-3(b)所示.

另外,易知对于任意常数α,函数)sin(),cos(αα+=+=t y t x 也是方程组的解.他的积分曲

线是经过点(0,1,α-)的螺旋线.但是,它们与解t y t x sin ,cos ==有同一条轨线.122=+y x

(a) (b)

图 5-3

同时,我们可以看出, )sin(),cos(αα+=+=t y t x 的积分曲线可以由t y t x sin ,cos ==的积分曲线沿t 轴向下平移距离α而得到.由于α的任意性,可知轨线122=+y x 对应着无穷多条积分曲线.

为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解

⎩

⎨⎧+=+=)sin()cos(ααt A y t A x 其中A ,α为任意常数.于是, 方程组的轨线就是圆族(图5-3(b)).

特别,0,0==y x 是方程的解,它的轨线是原点)0,0(O .

6.3.2 平面自治系统的三个基本性质

性质 1 积分曲线的平移不变性

设)(),(t y y t x x ==是自治系统(6.18)的一个解,则对于任意常数τ,函数

)(),(ττ+=+=t y y t x x 也是(6.18)的解.

事实上,我们有恒等式 ))(),(()

()()(τττττ++≡++≡+t y t x P t d t dx dt t dx

))(),(()

()()(τττττ++≡++≡+t y t x Q t d t dy dt t dy 由这个事实可以推出:将(6.18)的积分曲线沿t 轴作任意平移后,仍然是(6.18)的积分曲线.从而它们所对应的轨线也相同.于是,自治系统(6.18)的一条轨线对应着无穷多个解.

性质 2 轨线的唯一性

如果),(),,(y x Q y x P 满足初值解的存在与唯一性定理条件,则过相平面上的区域D 的任一点),(000y x p =,(6.18)存在一条且唯一一条轨线.

事实上,假设在相平面的0p 点附近有两条不同的轨线段1l 和2l 都通过0p 点.则在),,(y x t 空间中至少存在两条不同的积分曲线段1Γ和2Γ(它们有可能属于同一条积分曲线),使得它们在相空间中的投影分别是1l 和2l (见图5-4,这是不妨设21t t <).现在把1Γ所在的积分曲线沿t 轴向右平移12t t -,则由性质 1知道,平移后得到的Γ~仍是系统(6.18)的积分曲线,并且它与2Γ至少有一个公共点.因此,利用解的唯一性, Γ~与2Γ应完全重合,从而它们在相空间中有相同的投影.另一方面, 1Γ与Γ~

在相空间显然也有相同的投影,这蕴含1Γ和2Γ在相平面中的0p 点附近有相同的投影,而这与上面的假设矛盾.

图 5-4 性质 1和性质2说明,相平面上每条轨线都是沿t 轴可平移重合的一族积分曲线的投影,而且只是这族积分曲线的投影.

此外,由性质1同样还可知道,系统(6.18)的解),,,(),,,,(000000y x t t y y x t t x 的一个平移

),,0,(),,,0,(000000y x t t y y x t t x --仍是(6.18)的解,并且它们满足同样的初值条件,从而由解的唯一性知

),,,(),,0,(000000y x t t x y x t t x =-

),,,(),,0,(000000y x t t y y x t t y =-

因此,在(6.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻00=t 的解,并简记为

),,0,(),,(0000y x t x y x t x =, ),,0,(),,(0000y x t y y x t y =

*性质 3 群的性质

系统(6.18)的解满足关系式

),,()),,(),,,(,(00210010012y x t t x y x t y y x t x t x +=

),,()),,(),,,(,(00210010012y x t t y y x t y y x t x t y +=

(6.19)

其几何意义是:在相平面上,如果从点),(000y x p =出发的轨线经过时间1t 到达点)),,(),,,((),(001001111y x t y y x t x y x p ==,再经过时间2t 到达点)),,(),,,((1121121y x t y y x t x p =,那么从点),(000y x p =出发的轨线经过时间21t t +也到达点2p .

事实上,由平移不变性(性质 1), )),,(),,,((001001y x t t y y x t t x ++是系统(6.18)的解,而且易知它与解)),,(),,,((1111y x t y y x t x 在0=t 时的初值都等于)),,(),,,((),(00100111y x t y y x t x y x =.由解的唯一性,这两个解应该相等.取2t t =就得到(6.19).

对于固定的R t ∈,定义平面到自身的变换t φ如下:

)),,(),,,((),(000000y x t y y x t x y x t =φ.

也就是t φ把点),(00y x 映到由该点出发的轨线经过时间t 到达的点.在集合{}R :∈=Φt t φ中引入乘法运算 : 令

)),((),)((00002121y x y x t t t t φφφφ= .