第四讲：基本不等式(张启津)
3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)
1 1 1 即 ＋ ＋ ≥9. a b c
证法二：∵a，b，c 为正实数，
1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋ c＝(a＋b＋c)a＋b＋ c
b c a c a b ＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋ c＋ c＋1
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋ c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
• 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( • A．ab≤4 B．ab≥4 • C．ab≤1 D．ab≥1
a＋b 解析： 由 a，b∈R ，∴ 2 ≥ ab，
＋
)
∴ ab≤1，∴ab≤1.
• 答案： C
a－c 3．已知 a＞b＞c，则 a－bb－c与 2 的大小关系是 ________． 解析： ∵a－b＞0，b－c＞0， a－b＋b－c a－c ∴ a－bb－c≤ ＝ 2 . 2
≥ • 1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－
b)2 ≥ 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立 a＝b 呢？当且仅当 时，取等号． • 2．还记得等差中项和等比中项吗？ a＋b • 两个正数a与b的等差中项为 ，正的等 ab 2 比中项为 . 5 • 例如，2与8的等差中项为 ，正的等比中项为 4，？
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝ －1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
x y x ④由 xy＜0，得y、x均为负数，但在推导过程中将整体y
x y y ＋x提出负号后，－y、－x均变为正数，符合均值不等式
《3.1 基本不等式》课件4-优质公开课-北师大必修5精品
-3-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
2.基本不等式
������+������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成 2 ������+������ 立.我们称上述不等式为基本不等式,其中 称为 a,b 的算术平均数, ������������称 2
(1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么
解析:选项 A,B,C 忽略了利用基本不等式求值的前提条件,只有选项 D 是正确的. 答案:D 反思运用基本不等式时,必须保证在 a,b 均为非负数的前提下使用.
-6-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 下列不等式:①x+ ≥2;② ������ + ≥2;③若 0<a<1<b, 则 logab+logba≤-2;④若 0<a<1<b,则 logab+logba≥2.其中正确的是( A.②④ B.①② C.②③ D.①②④ 解析:①因为式子 x+ ≥2 中 x 的取值范围没有规定,所以当 x>0
《3.1 基本不等式》课件4
-1-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.理解掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式证明不等式.
-2-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 【做一做 1】 已知 x,y∈R,下列不等关系中正确的是( ). A.x2+y2≥2|xy| B.x2+y2≤2|xy| C.x2+y2>2|xy| D.x2+y2<2|xy| 解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立. 答案:A
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
第4讲 基本不等式PPT课件
知识与方法回顾
知识梳理 辨析感悟
探究 一 利用基本不等式证明 简单不等式
例1 训练1
技能与规律探究
探究二 利用基本不等式 求最值
例2 训练2
探究三 基本不等式的实际
例3 训练3
经典题目再现
第1页
返回概要
结束放映
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
获取详细资料请浏览：
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
条件最值的求解通常有两种方法： 一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，
然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或
积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
规 律 方
第10页
返回概要
结束放映
获取详细资料请浏览：
训练 2 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( c )．
∴1a＋b1＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ab＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ba＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝31时，取等号．
第8页
返回概要
结束放映
利用基本不等式求最值
获取详细资料请浏览：
考点
例 2 (1)(2013·山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0,则当xzy取
a2＋b2 2 .( )
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )
第4页
返回概要
结束放映
3．利用基本不等式求最值的理解
获取详细资料请浏览：
(6)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为 4.( ) (7)(2014·福州模拟改编)若 x＞－3，则 x＋x＋4 3的最小值为 1.( )
03609_《基本不等式》PPT课件
9
一元一次不等式的应用举例
1 2
一元一次不等式在生活中的应用
例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用
例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
一元一次不等式的综合应用举例
3
通过具体例子展示一元一次不等式在数学和生活 中的综合应用，包括如何建立不等式模型、如何 求解不等式等问题。
培养逻辑思维
学习和掌握基本不等式有 助于培养学生的逻辑思维 能力和数学素养。
5
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
性质
当且仅当$a_i - a_{i-1} = k(b_i - b_{i-1})$（$i = 1, 2, ldots, n$，$k$为常数）时，等号成立。
2024/1/24
26
排序不等式和切比雪夫不等式的应用举例
2024/1/24
排序不等式的应用举例
在比较两组数据的加权平均值大小时，可以利用排序不等式快速判断。例如，在 评价两个班级学生的成绩时，如果一个班级的高分学生多而另一个班级的低分学 生多，则可以根据排序不等式判断哪个班级的平均成绩更高。
致、耐心的品质。
2024/1/24
6
02
一元一次不等式
2024/1/24
7
一元一次不等式的概念
基本不等式 课件
【精彩点拨】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋6y＝36 的前提 下求 xy 的最大值．
【自主解答】 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
(1)4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3. (2)12x(1－2x)＝14·2x·(1－2x)． (3)x22＋x 1＝x＋2 1x. (4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)1x＋9y.
【自主解答】 (1)∵x<－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
利用基本不等式求最值 探究 1 由 x2＋y2≥2xy 知 xy≤x2＋2 y2，当且仅当 x＝y 时“＝”成立，能说 xy 的最大值是x2＋2 y2吗？能说 x2＋y2 的最小值为 2xy 吗？
【提示】 最值是一个定值(常数)，而 x2＋y2 或 2xy 都随 x，y 的变化而变化， 不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)求最值， 必须保证一端是定值，方可使用．
≥2
ab·a1b＝2，故③正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2
yx x·y
＝2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故④错误．
【答案】 (1)p>q (2)③
不等式的证明
已知 a，b，c 为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca. 【精彩点拨】
教材整理 2 基本不等式的应用
《基本不等式》教学课件优秀课件
《基本不等式》教学课件优秀课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五章《数的奇偶性》中的基本不等式。
具体内容包括：1. 理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质；2. 学会运用基本不等式解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 学生能够理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质；2. 学生能够运用基本不等式解决实际问题；3. 学生能够培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：理解并掌握基本不等式的性质；2. 教学重点：学会运用基本不等式解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：课本、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过一个简单的实际问题引出基本不等式的概念，激发学生的学习兴趣；2. 概念讲解：教师通过PPT课件或板书，详细讲解基本不等式的定义和性质；3. 例题讲解：教师通过PPT课件或板书，讲解几个典型例题，引导学生掌握基本不等式的运用方法；4. 随堂练习：教师给出几个练习题，让学生现场解答，巩固所学知识；5. 作业布置：教师布置几个相关作业题，让学生课后巩固。
六、板书设计1. 基本不等式的定义；2. 基本不等式的性质；3. 典型例题的解答过程；4. 随堂练习的题目和答案。
七、作业设计1. 请用文字和图形解释基本不等式的概念；2. 请举例说明如何运用基本不等式解决实际问题；3. 请完成课后练习题：第1题、第2题、第3题。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，为下一步教学做好准备；2. 拓展延伸：教师可以给学生推荐一些相关的学习资源，让学生课后拓展学习，提高自己的数学素养。
重点和难点解析一、教学内容1. 基本不等式的定义：重点解析基本不等式中的“任意两个正数”和“乘积为定值”这两个关键点，让学生充分理解基本不等式的含义；2. 基本不等式的性质：重点讲解基本不等式的不等关系和等号成立的条件，使学生能够熟练掌握并运用；3. 基本不等式的应用：通过实际问题，让学生学会如何运用基本不等式解决问题，培养学生的实际应用能力。
基本不等式说课课件
在这个课件中，我们将详细介绍基本不等式的定义、证明、性质以及在不等 式证明中的应用，同时探讨基本不等式的例题和拓展应用。
基本不等式的定义
基本不等式是数学中的一种基础概念，用于描述两个数之间的大小关系。它可以帮助我们比较和推导不等式， 解决各种实际问题。
基本不等式的证明
基本不等式的证明是通过数学推理和逻辑推导，使用已知的数学定理和性质来验证不等式的准确性和有效性。
基本不等式是数学证明中常用的 有力工具，可以简化证明过程， 使结论更加明确和严谨。
优化问题
现实生活中的应用
基本不等式可以帮助我们优化各 种实际问题，如最大值、最小值、 最优解等问题的求解。
基本不等式可以应用于经济、工 程、物理等领域的实际问题，帮 助我们做出合理的决策和推论。
基本不等式的例题
1
例题二
2
求取不等式5x + 2(1-x) ≥ 2 的解集。
3
例题一
证明：对任意实数a和b，有a+b ≥ 2√(ab)。
例题三
已知函数y = x²- 4x + 4，求证在定义域范 围内，y ≥ -3。
基本不等式的拓展应用
1 多元不等式
2 数学建模
基本不等式还可以推广到 多个变量之间的不等关ຫໍສະໝຸດ ， 如二元不等式、多元不等 式等。
基本不等式是数学建模中 常用的基础工具，可以帮 助我们分析和解决各种实 际问题。
3 不等式链
基本不等式可以通过逻辑 推导建立不等式链，从而 形成更复杂的不等式体系。
结论和要点
基本不等式是数学中重要的概念和工具，它在数学推理、不等式证明和实际 问题中起着关键的作用。掌握基本不等式的定义、证明方法、性质和应用， 对于学习和应用数学知识都具有重要意义。
《基本不等式》课件教学课件
柯西不等式
推广了算术平均数和平方的平均数的比较 不等式，$\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{2}{p}} \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|\right)^2$
利用基本不等式求极值
利用基本不等式求极值的条件
满足基本不等式的条件，即等号成立的条件
基本不等式可以用于解决一些实际问题。
详细描述
在解决一些最优化问题时，可以利用基本不等式来求解。例如，在解决一些投资 组合优化问题时，可以利用基本不等式来求解最优投资组合比例。
05
基本不等式的扩展与推广
基本不等式的推广形式
平方平均不等式
推广了算术平均数和几何平均数不等式， $|\sum_{i=1}^n x_i|^2 \le \sum_{i=1}^n |x_i|^2$
3
中世纪欧洲
欧洲中世纪时期，数学家们逐渐开始研究不等 式的性质和应用。
基本不等式的发展
19世纪数学
19世纪数学家开始研究函数和微积分，基本不等式开始得到 更广泛的应用和发展。
现代数学
基本不等式在现代数学中有着广泛的应用，是数学学习和研 究中不可或缺的一部分。
基本不等式的应用
数学解题
基本不等式在数学解题中有着广泛的应用，可以帮助解决各种不等式问题。
教学手段
利用多媒体教学设备，结合板书，通过问题引导、小组讨论、实例分析等多种形 式进行教学，使学生更好地理解和掌握基本不等式的内容。
02
基本不等式的历史背景
基本不等式的起源
1 2
早期文明
在古代文明中，人们已经有了不等关系的意识 ，并开始使用一些简单的比较方法来比较数值 大小。
基本不等式4 北师大版精品课件
基本不等式在实际问题中的应用
讲授新课
练习1. 某单位决定投资3200元建一长方 体的仓库，高度已定,它的后墙利用旧墙 不花钱，正面用铁栅，每米造价40元， 两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平 方米造价20元.问：仓库面积S的最大允许 值是多少？为使仓库面积S达到最大，而 实际投资又不超过预算，那么正面铁栅 应设计为多长？
B a
b
其中 ,则学生看黑板的视角为 P
由tan a , tan b ,由此可得,
H
tan
因为x ab
x
x
tan tan
1 tan tan
2 x ab 2 ab
ab
x x
1
ab x2
,当且仅当x
ab
x ab x
100平方米 15米
讲授新课
练习2. 某商品计划两次提价,有甲、乙、丙
三种方案,其中p q 0. 第一次提价 第二次提价
甲
p%
q%
乙
q%
p%
丙
pq% 2
pq% 2
经两次提价后,哪种方案的提价幅度最大？
为什么？
丙
讲授新课
练习3.某人购买小汽车,购车费用为10万元, 每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9万元,年维修费是0.2万元,以后逐年递增 0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年 平均费用最少？
3.4基本不等式：
ab a b 2
复习引入
1．基本不等式： (1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ;
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
《基本不等式》课件
《基本不等式》课件《基本不等式》课件一、教学目标1、理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法。
2、能够运用基本不等式解决数学问题，提高数学思维能力。
3、培养学生对数学的兴趣和热爱，增强自主学习能力。
二、教学内容1、基本不等式的概念和性质2、基本不等式的证明方法3、基本不等式的应用三、教学重点和难点1、教学重点：掌握基本不等式的证明方法和应用。
2、教学难点：理解基本不等式的概念和性质，能够灵活运用基本不等式解决数学问题。
四、教学方法1、讲授基本不等式的概念和性质，以及证明方法。
2、通过例题和练习题加深学生对基本不等式的理解，提高运用能力。
3、针对学生的不同情况，进行个性化辅导和讲解。
五、教学步骤1、导入新课：回顾已学知识，引出基本不等式，介绍基本不等式的背景和意义。
2、讲授新课：讲解基本不等式的概念和性质，以及证明方法。
通过例题和练习题加深学生对基本不等式的理解，提高运用能力。
3、课堂互动：提问学生，引导学生思考和解决问题，提高学生的课堂参与度。
4、小结：回顾本节课的重点和难点，帮助学生巩固所学知识。
5、布置作业：根据教学内容布置相应的练习题和思考题，加深学生对基本不等式的理解和掌握。
六、教学评估1、课堂表现：观察学生的课堂参与度、思考问题的能力和学习态度等方面进行评估。
2、作业完成情况：检查学生的练习题和思考题完成情况，了解学生对基本不等式的掌握程度。
3、考试成绩：通过单元测试和期末考试等方式，评估学生对基本不等式的掌握和应用能力。
七、教学资源1、教材：《数学分析》等教材中有关基本不等式的内容。
2、教学工具：黑板、白板、笔、教学PPT等教学工具。
3、多媒体资源：教学视频、网络资源等多媒体资源。
八、教学注意事项1、注意激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学生的学习动力。
2、针对学生的不同情况，进行个性化辅导和讲解，关注学生的个性发展。
3、在应用基本不等式解决数学问题时，要注意问题的前提条件和适用范围，确保结果的准确性和可靠性。
基本不等式教学课件.doc
基本不等式教学课件教会学生了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，下面是为大家收集整理的基本不等式教学课件，欢迎阅读。
基本不等式教学课件【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；及其在求最值时初步应用【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】一、课题导入基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。
二、讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。
2.总结结论：一般的，如果（结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导）3．思考证明：（让学生尝试给出它的证明）4．特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：①从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：（略）②理解基本不等式的几何意义探究：对课本第98页的“探究”（几何证明）注:在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5、例：当时，取什么值，的值最小？最小值是多少？6、课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将进一步学习它们的应用).7、作业：课本第100页习题[a]组的第1、2题板书设计课题: 3.4基本不等式一、两个不等式二、例题及练习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习 2：若关于 x 的不等式 (1 k 2 ) x ≤ k 4 ＋4 的解集是 M， 则对任意实常数 k ，总有（ ） A.2∈M，0∈M； B.2 M，0 M； C.2∈M，0 M； D.2 M，0∈M．
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 2 p； 1 2 (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 s. 4 备注：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数， 和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、 三相等”.当条件明显具备时，应创造条件.
2ab 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则 a b 等号.
1 1 练习 1： [2010· 四川卷] 设 a>b>0，则 a ＋ab＋ 的 a（a－b） 最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2
（2010 四川理数） （12）设 a b c 0 ，则
1 1 2a 10ac 25c 2 的最 ab a(a b)
2
小值是 （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5
第四讲：基本不等式
（2010 浙江数） （15）若正实数 x, y 满足 2 x y 6 xy ， 则 xy 的最小值是 。
[2010· 重庆卷] 已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8， 则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 9 C. 2 11 D. 2
1.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
2
2
（2010 浙江数） （15）若正实数 x, y 满足 2 x y 6 xy ， 则 xy 的最小值是 。
[2010· 重庆卷] 已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8， 则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 9 C. 2 11 D. 2
2 2
（2011 浙江理 16）设 x, y 为实数，若 4 x y xy 1, 则 2 x y 的最大值是 ．