协方差函数

随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 ,, xn ;t1, t2 ,tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 ,, (tn ) xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
fn
(x1，x2，，xn；t1，t2，，t
n
)

n
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2;t1,t2 )

2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
若上式中的偏导存在的话。
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)


x

2
f1
(x,
t)dx

[a(t
)] 2
均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随
机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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第3章 随机过程
相关函数与协方差函数
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为 t，x1改为 x，
这样上式就变为
E (t)

xf1 ( x, t)dx
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第3章 随机过程
E (t)

xf1 ( x, t)dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
（自）相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]

x1x2 f 2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变
量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数
f2 (x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
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第3章 随机过程
相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1) a(t2 )
若a(t1) = a(t2)= 0，则B(t1, t2) = R(t1, t2) 互相关函数
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
随机过程 (t)的一维分布函数：
F1 (x1, t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1, t1)

F1(x1, t1) x1
若上式中的偏导存在的话。
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第3章 随机过程
通信原理
第3章 随机过程
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第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念
一、定义
随机过程是一类随时间作随机变化的过程 它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度
看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
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第3章 随机过程
【例】n台示波器同时观测并记录 n 台接收机（性能 相同，工作条件相同）的输出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时
B(t1,t2 ) E[ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]

[x1 a(t1 )][x2 a(t2 )] f2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值
Fn
( x1，x2，，x n；t1，t2，，t n x1x2 xn
)
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第3章 随机过程
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三、 随机过程的数字特征
均值（数学期望）：
在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值

E (t1 ) x1 f1 (x1 , t1 )dx1
式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数
间函数。
随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)}
是全部样本函数的集合。
(t)
1 (t ) 2 (t) n (t)
0
t3
第3章 随机过程
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的 数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
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第3章 随机过程
二、随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
(t)
a (t )，由各个时刻的平均值
连成的曲线
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
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第3章 随机过程
方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
推移而改变
它的一维分布函数与时间 t 无关： f1(x1,t1) f1(x1) 而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1 有关：
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
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第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
一、平稳随机过程的定义
定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与
时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和
所有实数，有
fn (x1,x2 ,,xn ；t1,t2 ,,tn ) fn (x1, x2 ,, xn；t1 ,t2 ,,tn ) 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
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第3章 随机过程
性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的