研究生数值分析高斯赛德尔(GaussSeidel)迭代法

由范数的性质立即可得
X X A X AX
r
r
r
rr
因为 X ≠0 ， 所以
A r
即A的任一特征值的模都不超过
A r
于是 (A) A r
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定理给出了一阶线性定常迭代法 X(k1) BX(k)f
收敛的充分条件，它表明只要迭代矩阵 B 的某种子 范数 B 小于1，立即可以断定该迭代过程对任给
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高斯-赛德尔迭代矩阵 B G 的特征方程为
10 2 1 2 10 1 0 2 5
即 (5002542)0
解得
10,227 501 0729,327 50 1 0 729
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于是 (BG)27501 07290.13721
因而高斯-赛德尔迭代公式是收敛的。
在例8例9中，显然 B G 比 B J 小， 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快。
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若在例8例9中要求近似解 X (k ) 的误差
X(k) X* 104
则由误差估计式知，只要 k 满足
Bk
X(1) X(0) 104
1 B
将 B J 0 . 6 , X ( 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) T , X ( 1 ) ( 0 . 3 0 0 0 , 1 . 5 0 0 0 , 2 . 0 0 0 0 ) T
因此设想一旦新分量 x1(k1),L,xi1(k1)
求出，马上就用新分量 代替雅可比迭代法中
x1(k1),L,xi1(k1)
来求 x1(k),L
,
x (k) i1
x (k 1) i
, 这就是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。
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高斯-赛德尔迭代公式如下：
x1(k1)
1 a11
2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法
研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求 X (k1)
的分量时，当计算到 x i ( k 1 ) 时,分量 x1(k1),L,xi1(k1) 都已经求得，而仍用旧分量 x1(k),L ,xi1(k) 计算
x (k 1) i
。由于新计算出的分量比旧分量准确些，
3 迭代法收敛条件与误差估计 我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念。
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定义 矩阵 ARnn 的所有特征值 i(i1,2,L,n)
的模的最大值称为矩阵 A 的谱半径,记作 ( A )
即
(A)
max 1in
i
前面,我们在应用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭
代法解一阶线性方程组时，判断各迭代公式是收敛还
得
X (k 1 ) (D L ) 1 U X (k ) (D L ) 1 b
令
BG(DL)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
fG(DL)1b
则得 X(k1) BGX(k)fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
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我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
收敛，需要考虑高斯-赛德尔迭代矩阵 BG(DL)1U
的特征方程 I BG 0
即
I(DL)1U0
将上式写成 (D L)1(D L)U0
由于
(DL)1 0
所以
(DL)U0
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
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例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
雅可比迭代过程必收敛；
高斯-赛德尔迭代矩阵
0 BG 0
0
0.2 0.04 0.056
0.1
0.12
0.068
BG 0.31 高斯-赛德尔迭代过程也收敛。
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由定理的误差估计式
X(k) X* Bk X(1) X(0) 1B
k1,2,3,L
可以看出， B 越小收敛速度越快，
且可用来估计迭代次数。
代入得 k21.18 ，故Jacobi迭代22次即可；
将 B G 0 . 3 , X ( 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) T , X ( 1 ) ( 0 . 3 0 0 0 , 1 . 5 6 0 0 , 2 . 6 8 4 0 0 ) T 代入得 k 8.76 ，故Gauss-Seidel迭代9次就可以。
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对于雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法，还 有一些使用方便的充分条件，其中主要有：
定理4 若方程组AX=b的系数矩阵 A[aij ]nn
按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件
L
ain
x (k) n
bi )
L L
xn(k1)
1 ann
(an1x1(k1)
a x (k1) n2 2
L
a x (k1) n,n1 n1
bn )
（5）
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其矩阵表示形式为 X (k 1 ) D 1 (L X (k 1 ) U X (k ) b )
现将 X (k 1) 显式化，由 (D L )X (k 1)U X (k)b
(a12
x (k) 2
a13x3(k )
L
a1n xn(k)
b1)
x2(k1)
1 a11
(a21x1(k1)
a23x3(k )
L
a2n
x (k) n
b2)
L L
xi(k1)
1 aii
(ai1x1(k1)
ai2
x (k1) 2
L
a x (k1) i,i1 i1
a x (k) i,i1 i1
10x1 2 x2 x3 3
2
x1
10 x2
x3
15
x1
2 x2
5 x3
10
解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为
xx12((kk11))
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3 0.2x1(k1) 0.1x3(k) 1.5
x3(k1) 0.2x1(k1) 0.4x2(k1) 2
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r
初始向量都收敛于方程组AX=b的唯一解 X *
在例8例9中，我们分别用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解方程组
10x1 2 x2 x3 3
2
x1
10 x2
x3
15
x1
2 x2
5 x3
10
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雅可比迭代矩阵
0 0.2 0.1
BJ
0
.2
0
0.1
0.2 0.4 0
BJ
0.61
是发散，都要计算雅可比迭代矩阵 BJ 与高斯-赛德尔
迭代矩阵 BG 的特征值.由于矩阵 A 有些算子范数(比
如
A
与
A
)远比矩阵 A 的特征值容易计算,为此给
1
出如下结论。
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定理3 矩阵A的谱半径不超过矩阵A的任何
一种算子范数 , 即
(Biblioteka Baidu) A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A 的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)