递推最小二乘辨识分解

P(k ) [P-1(k -1) (k ) (k )]-1
(3)
由式(3)和矩阵反演公式(4),可得P(k)的如下递推计算式 P (k ) P (k - 1) - P (k - 1) (k )[1 (k )P (k - 1) (k )] 1
(k )P (k - 1) P (k - 1) (k ) (k ) I P (k - 1) 1 (k )P (k - 1) (k ) (5)
1.2递推算法的思想 * 递推辨识算法的思想可以概括成 新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项 即新的递推参数估计值是在旧的递推估计值的基础上 而成，这就是递推的概念. 递推算法不仅可减少计算量和存储量 ,而且能实现在线 实时辨识. * 递推算法是依时间顺序,每获得一次新的观测数据就 修正一次参数估计值,随着时间的推移,便能获得满意的 辨识结果. RLS法即为成批型LS算法的递推化，即将成批型LS算 法化成依时间顺序递推计算即可。 该工作是1950年由Plackett完成的。
ˆ (k ) 的递推计算. 下面讨论参数估计值θ
由上一讲的一般LS估计式 该乘积为标量
ˆ (k ) (ΦΦ )-1 ΦY P(k )ΦY θ k k k k k k
有
ˆ (k ) ΦY (k ) P -1 (k )θ k
(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1
θ [-a1 , , - ana b1 , , bnb ]
1 θLS (Φ Φ ) Φ L L LYL
ˆ (k ) 和 θ ˆ ( k - 1) 设在k-1时刻和k时刻,系统的参数估计结果为 θ
首先,假定在第k-1次递推中,我们已计算好参数估计值 在第k次递推时,我们已获得新的观测数据向量(k-1)和 y(k),则记 Φ k-1=[(0), (1), ..., (k-2)]T Φ k=[(0), (1), ..., (k-1)]T=[φ (k-1)T φ (k-1)]T Yk-1=[y(1), y(2), ..., y(k-1)]T
即
利用公式
ˆ (k ) ΦY (k ) P -1 (k )θ k
ˆ (k ) P(k )[Φ (k -1)][Y (k -1) y(k )] θ k 1
P(k )[Φ k 1Y (k -1) (k -1) y(k )] ˆ (k -1) (k -1) y(k )] P(k )[P 1 (k -1)θ ˆ (k -1) (k -1) y(k )} P(k ){[P 1 (k ) - (k -1) (k -1)]θ
-1 [Φ Φ ( k ) ( k )] k -1 k -1
[P-1(k -1) (k ) (k )]-1
(3)
为便于逆矩阵递推算式的推导,下面引入如下矩阵反演公 式(设A和C为可逆方阵) (A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1 (4) 该公式可以证明如下:由于 (A+BCD)[A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1] =I-B(C-1+DA-1B)-1DA-1+BCDA-1 -BCDA-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1 =I-B[I-C(C-1+DA-1B)+CDA-1B](C-1+DA-1B)-1DA-1 =I 因此,矩阵反演公式(4)成立.
常ຫໍສະໝຸດ Baidu最小二乘辨识的递推算法
主要内容
1.思想及原理 2.matlab仿真 3.应用
1.递推最小二乘法的思想及原理
1.1递推最小二乘法的引入 *最小二乘一次完成算法的缺陷 （1）数据量越多，系统参数估计的精度就越高，为了获得满 意的辨识结果，矩阵的阶数 T 常常取得相当大。这样矩阵 求逆的计算量很大，存储量也很大。 （2）每增加一次观测量，都必须重新计算 ，（ T）-1。 （3）如果出现列相关，既不满秩的情况， T 为病态矩阵 ，则不能得到最小二乘估计值。
P(k ) I -G(k) (k ) P(k -1)
(7) (8)
其中
ˆ (k -1) P(k ) (k -1)[ y(k ) - (k -1)θ ˆ (k -1)] θ
(6)
利用公式P(k)=[P-1(k-1)+(k-1)T(k-1)]-1
将式(5)和(6)整理可得如下RLS估计算法表示
ˆ (k ) θ ˆ (k -1) G (k )[ y (k )- (k )θ ˆ (k -1)] θ
nb
i
已知系统的输入u(k)和输出y(k),求参数ai,bi的估计值。 可以得到向量形式的线性方程组： Y=+e Y=[y(1), y(2), ..., y(L)]T =[(0), (1), ..., (L-1)]T,
(k - 1) [ y (k - 1), , y (k - na ) u (k - 1), , u (k - nb )]
*下面讨论无加权因素时的一般LS法的递推算法的推导. 即将成批型算法化等效变换成如下所示的随时间演变递推 算法. 时不变SISO系统数学模型：A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+e(k)
A( z ) 1 ai z
1 i 1
na
i
B( z ) bi z
1 i 1
T Yk=[y(1), y(2), ..., y(k)]T=[Yk y ( k )] 1
仔细考察上述LS法,可以知道,该算法进行递推化的关键是算法中的矩 阵求逆的递推计算问题. 因此,下面先讨论该逆矩阵的递推计算.
-1 P(k ) (Φ Φ ) k k
(2)
将Φ k展开,故有
-1 P(k ) ([Φ ( k )][ Φ ( k )] ) k -1 k -1