2016博士《现代数学基础》考试复习题及参考答案(1)

2016级博士生数学复习题

1. 设()||||f x x =是实Hilbert 空间H 上的泛函，证明，当0x ≠，()f x 在点x 处沿着h 方向的Gateaux 微分。P81 证明：

x

h

x x th x t th th th x x th x t x x th x th x x th x t x th x x th x t x th x x th x t x th x t x f th x f t t t t t t ,)(,,2lim )(,,lim )(lim )())((lim lim )

()(lim 002

2

0000=++-=++-++=++-+++++-+=-+=-+→→→→→→

于是，当0≠x 时，f 在x 处沿着h 方向的teaux a G )

微分为：

x

h

x h x Df ,),(=

2. 设泛函

342

, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y

x y x y f x y x y

x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪=⎩

，证明(,)f x y 在点(0,0)

处不是Frechet 微分。P84

证明：由于

R y x x y x y x ∈∀≤+,,2

1

2

43 所以f 在点（0,0）处连续，令),(ηξ=h ，则有

ηξηξη

ξηξ+=++

+=-+→→t

t t t t t t t f th f t t 24300)()()(lim )0()0(lim 因此，f 在点（0,0）处沿方向h 的teaux a G )

微分为ηξηξ+=)),(),0,0((Df ，但是，如果令2ηξ=，则有

2/1422/122)()(ξξηξ+=+=h

于是

02

1)()(lim )()

(lim ),0()0()(lim 2/1422242

3

02

/1422

4300≠=++=++-+++=--→→→ξξξξξ

ξξξηξηξη

ξηξh h h h h Df f h f

所以，f 在点（0,0）处不是chet e Fr )

可微的。

3. 设(,)k t s 为[0,1][0,1]⨯上的二元连续函数，定义以(,)k t s 为积分核的积分算子

22:([0,1])([0,1])K L L →为

1

20

()()(,)(),([0,1]).

Kf t k t s f s ds f L =∀∈⎰P42

证明：对于任意的[])1,0(,2L g f ∈，有

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==10________1010_____

__________________1

10____

________________

1

01

0______

______

1

01

01

0)(),(,)(),()()(),()()(),()()()(),()(,)(),(,ds s g s t k f dt ds s g s t k t f ds

dt t g s t k s f ds dt t g s t k s f dt

t g ds s f s t k t g ds s f s t k g Kf

则有

[]⎰∈∀=1

02)1,0(,)(),())((L f ds s f s t k t Kf

4. 求证：

1

*

20

()()(,)(),([0,1]).

K f t k s t f s ds f L =∀∈⎰

1223121

(,,)(,,,,)

23n n T x x x x x n -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅.

求

T

.P41

证明：对于任意的221),,(l x x x ∈=Λ，有

[

]

[]

x

x x x x x x x x n n x x x n n

x x x x T Tx n n n n =+++++≤++++≤⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+++++=+==2

/1223222

1

2

/1223222

/1223223221)

)()()()

()

)()()())1()32()21()

,1,,32,21(),,(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

于是1≤T ，另外，对于),0,1,0,,0(ΛΛ=n e ，则有

)(11

,0,1,

0,,0∞→→+=+=n n n n n Te n ΛΛ 所以 1=T

5. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：

4520.

xx xy yy x y u u u u u +++++=

证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。 其特征方程为

41,1==dy dx dx dy ，则,4

1,dx dy dx dy == 求得特征线是214

1

,c x y c x y =-=-，

其中c 1，c 2为任意常数，作变化 ⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=,41,x y x y ηξ

可将方程化成双曲型第一标准型：09

8

31=--ηξηu u

若再作变换，⎩

⎨⎧+=-=,,

ηξηξt s

方程就可化成双曲型第二标准型09

8

3131=++--t s tt ss u u u u .