4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.

(2)商数关系：sin α

cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式

概念方法微思考

1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．

2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？

提示 所有诱导公式均可看作k ·π

2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k

是奇数还是偶数．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α

cos α

恒成立．( × )

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1

3.( × )

题组二 教材改编

2．若sin α＝55，π

2

<α<π，则tan α＝ . 答案 －1

2

解析 ∵π

2

<α<π，

∴cos α＝－1－sin 2α＝－25

5，

∴tan α＝sin αcos α＝－1

2

.

3．已知tan α＝2，则sin α＋cos α

sin α－cos α的值为 ．

答案 3

解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1

2－1

＝3.

4．化简cos ⎝⎛⎭

⎫α－π2sin ⎝⎛⎭

⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．

答案 －sin 2α

解析 原式＝sin α

cos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.

题组三 易错自纠

5．已知sin θ＋cos θ＝4

3

，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －

2

3

解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7

18

.

又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝2

9

，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－

2

3

. 6．若sin(π＋α)＝－1

2，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 1

2

解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝1

2，

则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝1

2，

cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12

.

同角三角函数基本关系式的应用

1．已知α是第四象限角，sin α＝－12

13

，则tan α等于( )

A ．－513 B.513 C ．－125 D.125

答案 C

解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，

所以cos α＝1－sin 2α＝5

13，

故tan α＝

sin αcos α＝－12

5

. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－1

3

，则sin α＋cos α的值为 ．

答案 －

105

解析 由tan α＝－13，得sin α＝－1

3cos α，

将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得

109

cos 2

α＝1， 所以cos 2α＝9

10，易知cos α<0，

所以cos α＝－31010，sin α＝10

10

，

故sin α＋cos α＝－

10

5

. 3．若角α的终边落在第三象限，则

cos α1－sin 2α＋2sin α

1－cos 2

α

的值为 ． 答案 －3

解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，

故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α

－sin α

＝－1－2＝－3.

4．已知sin θ＋cos θ＝7

13，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .

答案 －12

5

解析 方法一 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60

169，

因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝17

13

，

联立⎩⎨⎧

sin θ＋cos θ＝7

13

，

sin θ－cos θ＝17

13

，解得⎩⎨⎧

sin θ＝1213

，

cos θ＝－5

13

，

所以tan θ＝－125

.

方法二 因为sin θ＋cos θ＝713

， 所以sin θcos θ＝－60

169

，

由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－5

13.

又sin θcos θ＝－60

169<0，θ∈(0，π)，

所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－5

13.

所以tan θ＝sin θcos θ＝－12

5

.

方法三 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60

169，

所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ

＝－60

169.