抛物线经典性质总结
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2
124p x =;
3. 212y y p =-;
4. '90AC B ∠=;
5. ''90A FB ∠=;
6. 123222()2sin p
p
AB x x p x α=++=+=;
7. 112
AF BF P +=;
8. A 、O 、'B 三点共线；
9. B 、O 、'A 三点共线；
10. 2
2sin AOB P S α=；
11. 23()2AOB
S P
AB =（定值）；
12. 1cos P
AF α=-；1cos P BF α=+；
13. 'BC 垂直平分'B F ；
14. 'AC 垂直平分'A F ；
15. 'C F AB ⊥；
16. 2AB P ≥；
17. 1
1
'('')22CC AB AA BB ==+；
18. AB 3
P K =
y ； 19. 2
p 22y tan =x -α; 20. 2A'B'4AF BF =⋅;
21. 1C'F A'B'2
=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00
性质深究
一)焦点弦与切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有
何特殊之处？
结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-0,2p 在准线上． 证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、AB 是抛物线px y 22
=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有
结论6P A ⊥PB ．
结论7PF ⊥AB ．
结论8 M 平分PQ ．
结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．
结论2PF FB FA =
结论11PAB
S ∆2min p =
二)非焦点弦与切线
思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，
也有与上述结论类似结果：
结论12 ①p y y x p 221=，2
21y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．
结论14 PFB PFA ∠=∠
结论15 点M 平分PQ
结论16 2
PF =
相关考题
1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，
（1）证明：AB FM ⋅的值；
（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．
2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；
（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；
（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．
3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， （1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）
（2）取n n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：
122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）