贝叶斯决策模型及实例分析

贝叶斯决策模型及实例分析一、贝叶斯决策的概念贝叶斯决策，是先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准则来确定最优方案的决策方法。

风险型决策是根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率（称为先验概率），然后采用期望效用最大等准则来确定最优决策方案。

这种决策方法具有较大的风险，因为根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率没有经过试验验证。

为了降低决策风险，可通过科学试验（如市场调查、统计分析等）等方法获得更多关于自然状态发生概率的信息，以进一步确定或修正自然状态发生的概率；然后在利用期望效用最大等准则来确定最优决策方案，这种先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准则来确定最优方案的决策方法称为贝叶斯决策方法。

二、贝叶斯决策模型的定义贝叶斯决策应具有如下内容贝叶斯决策模型中的组成部分：)(,θθPSAa及∈∈。

概率分布SP∈θθ)(表示决策者在观察试验结果前对自然θ发生可能的估计。

这一概率称为先验分布。

一个可能的试验集合E，Ee∈，无情报试验e0通常包括在集合E之内。

一个试验结果Z取决于试验e的选择以Z0表示的结果只能是无情报试验e0的结果。

概率分布P(Z/e,θ)，Zz∈表示在自然状态θ的条件下，进行e试验后发生z结果的概率。

这一概率分布称为似然分布。

一个可能的后果集合C，Cc∈以及定义在后果集合C的效用函数u(e,Z,a,θ)。

每一后果c=c(e,z,a,θ)取决于e,z,a和θ。

.故用u(c)形成一个复合函数u{(e,z,a,θ)}，并可写成u(e,z,a,θ)。

三、贝叶斯决策的常用方法3.1层次分析法(AHP)在社会、经济和科学管理领域中，人们所面临的常常是由相互关联，相互制约的众多因素组成的复杂问题时，需要把所研究的问题层次化。

所谓层次化就是根据所研究问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照各因素之间的相互关联影响和隶属关系将所有因素按若干层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。

3.1.1层次分析模型最高层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的目标。

中间层：表示为实现目标所涉及的因素，准则和策略等中间层可分为若干子层，如准则层，约束层和策略层等。

最低层：表示事项目标而供选择的各种措施，方案和政策等。

3.1.2层次分析法的基本步骤(l) 建立层次结构模型在深入分析研究的问题后，将问题中所包括的因素分为不同层次，如目标层、指标层和措施层等并画出层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系。

(2) 构造判断矩阵判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重要性的认识。

在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。

(3) 层次单排序及其一致性检验判断矩阵的特征向量W经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值。

利用判断矩阵的最大特征根，可求CI和CR值，当CR<0.1时，认为层次单排序的结果有满意的一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。

(4) 层次总排序计算某一层次各因素相对上一层次所有因素的相对重要性的排序权值称为层次总排序。

由于层次总排序过程是从最高层到最低层逐层进行的，而最高层是总目标，所以，层次总排序也是计算某一层次各因素相对最高层（总目标）的相对重要性的排序权值。

设上一层次A包含m个因素A1,A2,…,A m其层次总排序的权值分别为a1,a2,…,a m；下一层次B包含n 个因素B1,B2,…,B n，它们对于因素A j(j=1,2,…,m)的层次单排序权值分别为：b1j,b2j,…,b nj（当B k与A j无联系时，b kj=0），则B层次总排序权值可按下表计算。

层次总排序权值计算表层次总排序的一致性检验，这一步也是从高到低逐层进行的。

如果B 层次若干因素对于上一层次某一因素A j 的单排序一致性检验指标为CI j ，相应的平均随机一致性指标为RI j ，则B 层总排序随机一致性比率为∑∑===mj jjmj jjRI aCIa CR 11类似地，当CR<0.01时，认为层次总排序结果具有满意的一致性；否则，需要重新调整判断矩阵的元素值。

3.2 盈亏转折分析法（又称平均值法）该方法的关键在于找出盈亏平衡的状态转折点θb ，在此状态转折点上各行为等价（即有相同的收益和费用，各行为的优劣一样）。

故只能用于求解两行为问题。

下面只对收益型问题推导该算法公式。

费用型问题可以依此类推。

假设在第i 个状态θj 发生时两行为的收益函数分别为),...,2,1(,222111m i b m Q b m Q i i i i =+=+=θθ式中，Q ij >=0，θi >=0，其概率p i >=0(i=1,2,…,m;j=1,2)。

且设问题有解，即θb >0存在。

在不失一般性的情况下，又为叙述方便，还设m 1>m 2（否则可调换两行为顺序标号），则必有b 1<b 2。

根据盈亏转折点θb 的概念，有下式成立：Q i1=Q i2；m 1θb +b 1=m 2θb +b 2所以2112m m b b b --=θ。

另一方面，状态θj 的均值记为θ，并有∑==mi ii P 1θθ行为j(j=1,2)的期望收益额∑==+=+=mi jj j i j i j j j b m b m p EMV 1)2,1()(θθ要判断两行为的优劣，必须比较它们的期望收益值的大小。

由于))(()(1)()()()()]()[()()(2121122121211121211212111221121b m i mi i i i mi i i m i mi i i i i m m m m b b m m b b m m b b p p m m b b m m p b m p b m p EMV EMV θθθθθθθθ--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⨯-+-=-+-=-+-=+-+=-∑∑∑∑∑=====加加上一开始假定的条件m 1>m 2所以有下列结论：当∑<-===>bj i i ib Q Q p EVPI EMV EMV θθααθθ)(,,121*1*时，；当∑>-===<bj i i ib Q Q p EVPI EMV EMV θθααθθ)(,,212*2*时，；当时，b θθ=两行为期望收益额相等（二者之差值为零），故它们等价，无优劣之分。

费用型决策依此类推，结论正好同收益型决策问题相反：设行为j(j=1,2)在状态θi 发生时的费用支付函数V ij =m j θi +b j (i=1,2,…,m;j=1,2)，且设θi >0，θb >0存在和m 1>m 2等其它条件不便，则当bθθ<时，有∑>-===bj i i iV V p EVPI EMV EMV θθαα)(,,211*1*当∑<-===>bj i i ib p EVPI EMV EMV θθααθθ)V V (,,121*1*时，有当时，b θθ=行为1.和2.同等优劣。

3.3 后验分析法如果获得了一些新的有关状态概率的情报，例如从市场信息中心购买某商品的下一年需求量信息，由专家调查、抽样检验等途径得到状态（如次品率）的样本概率等，并用它来修正原来的状态概率（即修正先验概率），就得到后验概率。

用后验概率进行贝叶斯决策，这就是后验分析法。

修正概率过程中需要消耗人力、物力和财力。

为了考虑这些因素，后验分析法增加了“抽样情报期望金额”(EVSI)和“抽样情况净收益”(ENGS)两个指标。

3.4 决策树法为了使决策方法形象化，把计算过程画成树形结构，称之为决策树。

它由节点和分支组成，它可适用于任何一种决策方法形象化。

其中节点分条件节点、决策节点和状态节点。

分别用菱形、正方形和圆形标记。

条件节点表示需要的条件费用（其值等于菱形内部的数字）。

决策节点生成各行动方案，并将最优方案的期望金额（收益或费用值）记入其内部。

状态节点生成各状态，其内数字表示某一方案期望金额（收益或费用值）。

决策节点和状态节点分别引出决策分支和状态分支，旁边的数字分别表示决策方案和状态概率。

四、实例分析4.1 层次分析法在个人理财方面的应用 4.1.1 问题的提出假设某个体有余款2万元，现理财方式有储蓄和投资两大方向，投资又分为购买股票、债券和开放式基金，分别用x i (i=1,2,3,4)表示。

对于理财来说最终目的是收入增加而风险最小。

而影响收益的因素有利率，经营者素质及企业收益能力，影响风险的主要因素主要有政治、政策风险、通货膨胀以及其它风险。

P(y i )是每种因素发生的概率，并设它们相互独立。

决策的后果是在未来一年后余款的改变，试选择一种最佳理财方案并证明你的有关结论。

4.1.2问题分析及建模每个决策者对收益和风险大小有不同的考虑，对于求稳的决策者来说，其首先考虑的是风险大小带来的损失问题，然后才考虑收益的问题，一般来说，高风险常常伴着高收益。

有的决策者追求高收益是其考虑的首要目标，对于风险却存在冒险心理，鉴于此，在投资2万元情况下，出现五种可能：al ：表示可能造成2千元的损失 a2：表示可能0.5千元的损失a3：表示收益甚微，可视为无收益也无损失 a4：表示可能收益0.5千元 a5：表示可收益2千元其中对于利率带来的两种影响：收益或损失。

来年的利率变动的概率为0.1，不变为0.9，当利率改变时造成收益的概率为0.4，造成损失的概率为0.6。

如下示：利率变化的概率0.1不变化的概率0.9损失的概率0.6受益的概率0.4综上考虑：利率变动不造成收益损失的概率为0.9+0.4*0.1=0.94；利率变动造成损失的收益概率为0.1*0.6=0.06同理，政治及政策造成的两种影响的概率分别为：不造成收益损失概率为：0.8+0.2*0.5=0.9；造成收益损失概率为：0.2*0.5=0.1其它风险造成的两种影响的概率分别为：不造成收益损失的概率为：0.6；造成收益损失的概率为：0.4将各种因素对投资收益和损失列表（表1）如下：4.1.3 建立层次结构对于yl ，y2，y3，y4，为方便讨论，我们采用T.L Saty 等人提出的一种有效地处理这类问题的实用方法，即层次分析法 层次分析如下： 4.1.4 形成判断矩阵依据Saty 等人提出的1-9作为尺度的方法通过两两比较得到正互反阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15712/15/1133/15/17/13/115/17/113518/125781w表2 判断矩阵标度说明4.1.5 计算矩阵的特征向量和最大特征值利用软件Matlab 计算出w 0特征向量：w 0=(0.8744，0.2670，0.0613，0.1179，0.3870)，最大特征λ=5.4350。