高中数学必修二综合测试题(含答案)
(人教版B版)高中数学必修第二册 第五章综合测试试卷01及答案
第五章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是容量为100的样本数据质量的频率分布直方图，已知样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为（）A.10B.20C.30D.402.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对4.根据某跑步团体每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一U发生的概率为（）次试验中，事件A BA .13B .12C .23D .566.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg ，估计这时鱼塘中鱼的总质量为（ ）A .192 280 kgB .202 280 kgC .182 280 kgD .172 280 kg7.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为（）A .①③B .①④C .②③D .②④8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A .100，10B .100，20C .200，10D .200，209.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）A .25B .715C .1130D .1610.如图所示，小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为A X 和B X ，方差分别为2A s 和2B s ，则（）A .AB X X ＜，22A B s s ＞B .A B X X ＜，22A Bs s ＜C .A B X X ＞，22A B s s ＞D .A B X X ＞，22A Bs s ＜11.袋子中有四个小球，分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到时停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231131133231031320122130233由此可以估计，恰好第三次停止的概率为（ ）A .19B .318C .29D .51812.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个人能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(),p q =（）A .11,66æöç÷èøB .11,26æöç÷èøC .11,24æöç÷èøD .11,23æöç÷èø二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11: 8: 6，从中抽取200名职员作为样本，则应抽取青年职员的人数为__________.14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.15.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值为__________.16.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为1白1黑的概率等于__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.[10分]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示.（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -的值.18.[12分]为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中4a b =.（1）求a，b的值；（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；（3）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，应如何抽取？19.[12分]某地区有小学21所，中学14所，大学7所。
人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案
第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（ ）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（ ）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（ ） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（ ） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（ ）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。
人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)
人教版高中数学必修第二册第九章~第十章综合测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.现要完成下列两项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是()A.①抽签法,②比例分配的分层随机抽样B.①随机数法,②比例分配的分层随机抽样C.①随机数法,②抽签法D.①抽签法,②随机数法2.若A,B为对立事件,则下列式子中成立的是()A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=0D.P(A)+P(B)=13.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.2B.0.35C.0.3D.0.44.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位:千克)作了测量,并根据所得数据画出了频率分布直方图如图C6-1所示,则这30只宠物狗体重的平均值大约为()图C6-1A.15.5千克B.15.6千克C.15.7千克D.16千克5.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是()A.90分B.91.5分C.91分D.90.5分6.一组样本数据a,3,4,5,6的平均数是b,且不等式x2-6x+c<0的解集为(a,b),则这组样本数据的标准差是()A.1B.2C.3D.27.我国历史上有田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,双方各随机选1匹马进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为()A.23B.13C.12D.568.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例数量不超过7”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体的平均数为3,中位数为4B.乙地:总体的平均数为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体的平均数为2,总体方差为3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.给出下列四个说法,其中正确的说法有()A.做100次抛硬币的试验,结果有51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图C6-2所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则下列说法中正确的是()图C6-2A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分11.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了20名肥胖者健身前(如直方图C6-3(1)所示)后(如直方图(2)所示)的体重(单位:kg)变化情况:图C6-3对比数据,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是()A.健身后,体重在区间[90,100)内的人数较健身前增加了2B.健身后,体重原在区间[100,110)内的人员一定无变化C.健身后,20人的平均体重大约减少了8kgD.健身后,原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)跟踪调查的结果如下:甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:3,3,4,7,9,10,11,12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别采用了平均数、众数、中位数中的哪一个特征数:甲:,乙:.14.如图C6-4是容量为100的样本数据的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为.图C6-415.已知甲、乙、丙3名运动员射击一次击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,若这3人向目标各射击一次,则目标没有被击中的概率为.16.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则这两人“心有灵犀”的概率为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数012345概率0.10.16x y0.2z(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,获奖人数最少为3的概率为0.44,求y,z的值.18.(12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6个零件测量其直径,所得数据如下.甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.19.(12分)某校高一年级举行了一次数学竞赛,为了了解参加本次竞赛的学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(取正整数,单位:分)作为样本(样本量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图C6-5所示,已知成绩在[50,60),[90,100]内的频数分别为8,2.(1)求样本量n和频率分布直方图中的x,y的值;(2)估计参加本次竞赛的学生成绩的众数、中位数、平均数.图C6-520.(12分)生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.21.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图C6-6所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率的大小,并说明理由.图C6-622.(12分)2020年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分).根据调查数据制成如下表格和如图C6-7所示的频率分布直方图.已知评分在[80,100]内的居民有600人.满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及参与评分的总人数.(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100,若η<0.8,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要进行大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整.(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在[40,50),[50,60)内)中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6位居民,倾听他们的意见,并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员,求这2人中仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.图C6-7参考答案与解析1.A[解析]①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A.2.D[解析]若事件A与事件B是对立事件,则P(A)+P(B)=1.故选D.3.B[解析]∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.4.B[解析]由频率分布直方图可以计算出各组的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,故各组的频数分别为3,6,9,6,3,3,则这30只宠物狗体重的平均值为11×3+13×6+15×9+17×6+19×3+21×330=15.6(千克),故选B.5.D[解析]将这15人的成绩(单位:分)由小到大依次排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,第12,13个数据分别为90分、91分,所以这15人成绩的第80百分位数是90.5分.故选D.6.B[解析]由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=6,解得a=2,b=4,所以样本数据的方差s2=15×[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,所以标准差s=2.故答案为B.7.A[解析]依题意,记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.由题意可知,样本空间Ω={aA,bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC},共有9个样本点,其中事件“田忌可以获胜”包含的样本点为aB,aC,bC,共3个,则齐王的马获胜的概率P=1-39=23.故选A.8.D[解析]由于甲地总体数据的平均数为3,中位数为4,即按从小到大排序后,中间两个数据的平均数为4,因此后面的数据可以大于7,故甲地不一定符合.乙地总体数据的平均数为1,因此这10天的新增疑似病例总数为10,又由于方差大于0,故这10天中新增疑似病例数量不可能每天都是1,可以有一天大于7,故乙地不一定符合.丙地总体数据的中位数为2,众数为3,故数据中可以出现8,故丙地不一定符合.丁地总体数据的平均数为2,方差为3,故丁地一定符合.9.CD[解析]对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B 错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选CD.10.ABC [解析]由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,考生人数最多,故A 正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,则不及格的考生人数为4000×0.25=1000,故B 正确;由频率分布直方图可得,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C 正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D 错误.故选ABC .11.AD[解析]体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2人,故A 正确;健身后,体重在区间[100,110)内的频率没有变,但人员组成可能改变,故B 错误;健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115)-(0.1×85+0.4×95+0.5×105)=5(kg),故C 错误;因为图(2)中没有体重在区间(110,120]内的人员,所以原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少,故D 正确.故选AD .12.ACD[解析]设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立;在A 中,“2个球都是红球”为事件A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,“2个球中至少有1个红球”的概率为1-P ( )P ( )=1-23×12=23,C 正确;在D 中,2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.众数中位数[解析]对甲厂的数据进行分析:该组数据中8年出现的次数最多,故广告中采用了众数;对乙厂的数据进行分析:该组数据最中间的是7年与9年,故中位数是7+92=8(年),故广告中采用了中位数.14.80[解析]由题图知,样本数据落在区间[6,18)内的频数为100×0.8=80.15.0.009[解析]由相互独立事件的概率计算公式知,3人向目标各射击一次,目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.16.725[解析]从{0,1,2,…,9}中任意取两个数(可重复),该试验共有100个样本点,事件“|a-b|≤1”包含的样本点为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共有28个,所以所求概率P=28100=725.17.解:记事件“在竞赛中,有k 人获奖”为A k (k ∈N,k ≤5),则事件A k 彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,∴P (A 0)+P (A 1)+P (A 2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P (A 5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.18.解:(1)由题中数据可得 甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100(cm); 乙=16×(99+100+102+99+100+100)=100(cm).甲2=16×(1+0+4+0+0+9)=73, 乙2=16×(1+0+4+1+0+0)=1.(2)由(1)知两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 甲2> 乙2,所以乙机床加工零件的质量更稳定.19.解:(1)由题意可知,样本量n=80.016×10=50,y=250×10=0.004,x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03.(2)由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的众数为75分.设样本数据的中位数为m ,因为(0.016+0.03)×10<0.5<(0.016+0.03+0.04)×10,所以m ∈[70,80),所以(0.016+0.03)×10+(m-70)×0.04=0.5,解得m=71,故估计参加本次竞赛的学生成绩的中位数为71分.由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的平均数为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分).20.解:记从甲、乙机床生产的产品中取1件是废品分别为事件A ,B ,则事件A ,B 相互独立,且P (A )=0.04,P (B )=0.05.(1)设“至少有1件废品”为事件C ,则P (C )=1-P ( )=1-P ( )P ( )=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D ,则P (D )=P (A )+P ( B )=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.21.解:(1)试验的所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),( 4,3),(4,4),共16个.事件“xy≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以小亮获得玩具的概率为516.(2)事件“xy≥8”包含的样本点有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个,所以小亮获得水杯的概率为38,小亮获得饮料的概率为1-516-38=516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.22.解:(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,即10×(0.075+a)=1,解得a=0.025,设共有n人参与评分,则600 =(0.035+0.025)×10,解得n=1000,即参与评分的总人数为1000.(2)由频率分布直方图知各组的频率分别为0.02,0.04,0.14,0.2,0.35,0.25,所以η=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25100=0.807>0.8,所以该区防疫工作不需要进行大调整.(3)因为0.002×10×1000=20,0.004×10×1000=40,所以评分在[40,50),[50,60)内的居民人数分别为20,40,所以所抽取的评分在[40,50)内的居民人数为20×660=2,将这2人分别记为a,b,所抽取的评分在[50,60)内的居民人数为40×660=4,将这4人分别记为A,B,C,D.从这6人中抽取2人,试验的样本点有ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15个.而“仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内”包含的样本点有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8个,则所求事件的概率为815.。
(人教版B版最新)高中数学必修第二册 第五章综合测试01-答案
第五章综合测试答案一、 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】C 12.【答案】D 二、13.【答案】88 14.【答案】0.98 15.【答案】2.9 16.【答案】25三、17.【答案】解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ，由题意知，300.05n=，解得600n =. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为51100%83%30⎛⎫-⨯≈ ⎪⎝⎭. （2）设甲、乙两校样本平均数分别为1'x ，2'x ，根据样本茎叶图可知，121230()30'0'3''x x x x -=-(75)(55814)(241265)(262479)(2220)92=-+-+-+--+--+-+249537729215=+--++=因此12''0.5x x -=，故12''x x -的估计值为0.5.18.【答案】解：（1）依题意得(0.0080.0350.027)101a b ++++⨯=，所以0.03a b +=.又4a b =，所以0.024a =，0.006b =.（2）平均数为550.08650.24750.35850.27950.0674.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，中位数为0.50.080.247075.140.035--+≈，众数为7080752+=.（3）依题意，0.024和0.008之比为3:1，故应从分数在[)50,60的市民中抽取2人，从分数在[60,70)的市民中抽取6人.19.【答案】解：（1）学校总数为2114742++=，分层抽样的比例为16427÷=，计算各类学校应抽取的数目为12137⨯=，11427⨯=，1717⨯=故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1a ，2a ，3a ；2所中学分别记为1b ，2b ；1所大学记为c . 则应抽取的2所学校的所有结果为{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}1,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}2,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}3,a c ，{}12,b b ，{}1,b c ，{}2,b c ，共15种.②设“抽取的2所学校没有大学”作为事件A .其结果共有10种.所以102()153P A ==. 20.【答案】解：（1）测试成绩在[80,85)内的频率为1(0.010.070.060.02)50.2-+++⨯=.（2）第三组的人数是0.06510030⨯⨯=，第四组的人数是0.210020⨯=，第五组的人数是0.02510010⨯⨯=，利用分层抽样的方法，第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人.设第三组抽到的3人为1A ，2A ，3A ，第四组抽到的2人为1B ，2B ，第五组抽到的1人为C . 这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ，()2,B C .设“第四组2名同学至少有1名同学被抽中”为事件M ，事件M 包含的情况有9种，即()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()12,B B ，()1,B C ，()2,B C .所以，事件M 的概率即第四组至少有1名同学被抽中的概率为93()155P M ==. 21.【答案】解：（1）2X =就是某局双方10:10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此(2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5P X ==⨯+-⨯-=.（2）4X =且甲获胜，就是某局双方10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5(10.4)(10.5)0.4]0.50.40.1⨯-+-⨯⨯⨯=. 22.【答案】解：（1）设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得5010100300n =+，所以 2 000n =，2 000100300150450600400z =-----=.（2）8辆轿车的得分的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，把8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个分数a 对应的基本事件的总数为8，||0.5a x -，且函数2() 2.31f x ax ax =-+没有零点2|9|0.58.59.249.240a a a a -⎧⇒⇒⎨∆=-⎩＜＜. ∴事件E 发生时当且仅当a 的值为8.6，9.2，8.7，9.0，共4个.41()82P E ==∴.。
高中数学人教A版必修二 章末综合测评4 Word版含答案
圆与方程一、选择题1．(2016·葫芦岛高一检测)过点(21)的直线中被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1－2)由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1即3x －y －5＝0故选A 【答案】 A2．已知点M (ab )在圆O ：x 2＋y 2＝1外则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外则a 2＋b 2＞1圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2＜1故直线与圆相交．【答案】 B3．若P (2－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】 圆心C (10)k PC ＝0－(－1)1－2＝－1则k AB ＝1AB 的方程为y ＋1＝x －2 即x －y －3＝0故选D 【答案】 D4．圆心在x 轴上半径为1且过点(21)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a0)则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1解得a＝2故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1【答案】 A8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()【09960151】A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(22)半径为32圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2【答案】 C9．过点P(－24)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l直线m：ax－3y＝0与直线l平行则直线l与m的距离为()A．4 B．2C 85D125【解析】P为圆上一点则有k OP·k l＝－1而k OP＝4－1－2－2＝－34∴k l＝43∴a＝4∴m：4x－3y＝0l：4x－3y＋20＝0∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示正视图和侧视图都是等边三角形该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(000)(200)(220)(020)则第五个顶点的坐标可能是()图1A ．(111)B ．(112)C ．(113)D ．(223)【解析】 由三视图知该几何体为正四棱锥正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心高为3则第五个顶点的坐标为(113)．故选C【答案】 C11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－22)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (mn )则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3n ＝－3所以圆C 2的圆心坐标为(3－3)所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2故选D【答案】 D12．(2016·台州高二检测)已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0若圆O 的切线l 交圆C 于AB 两点则△OAB 面积的取值范围是( )图2 A．[27215] B．[278] C．[23215] D．[238]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|设C到AB的距离为d则|AB|＝242－d2又d∈[13]7≤42－d2≤15所以S△OAB＝|AB|∈[27215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上) 13．已知A(123)B(56－7)则线段AB中点D的坐标为________．【解析】设D(xyz)由中点坐标公式可得x＝1＋52＝3y＝2＋62＝4z＝3－72＝－2所以D(34－2)．【答案】(34－2)14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3设圆的半径为r∴r2＝32＋42＝25∴圆的方程是x2＋y2＝25【答案】x2＋y2＝2515．(2015·重庆高考)若点P(12)在以坐标原点为圆心的圆上则该圆在点P处的切线方程为________．【解析】∵以原点O为圆心的圆过点P(12)∴圆的方程为x2＋y2＝5∵k OP＝2∴切线的斜率k＝－1 2由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1) 即x ＋2y －5＝0 【答案】 x ＋2y －5＝016．若xy ∈R 且x ＝1－y 2则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)此方程表示半圆如图设P (xy )是半圆上的点则y ＋2x ＋1表示过点P (xy )Q (－1－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k 则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1解得k ＝34又k BQ＝3∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－14)B (32)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2 ∵该圆经过A 、B 两点∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10. 所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10 法二：线段AB 的中点为(13) k AB ＝2－43－(－1)＝－12∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1) 即y ＝2x ＋1由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(01)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1018．(本小题满分12分)如图3所示BC ＝4原点O 是BC 的中点点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0点D 在平面yOz 上且∠BDC ＝90°∠DCB ＝30°求AD 的长度．图3【解】 由题意得B (0－20)C (020)设D (0yz )在Rt △BDC 中∠DCB ＝30° ∴|BD |＝2|CD |＝23∴z ＝32－y ＝3 ∴y ＝－1∴D (0－13)． 又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0∴|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋()－32＝ 619．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 为何值时直线和圆恒相交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程． 【解】 (1)证明：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0 得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0 解⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过定点A (31)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25 ∴(31)在圆C 的内部故直线l 与圆C 恒有两个公共点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时有l⊥AC由k AC＝－12得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝020．(本小题满分12分)点A(02)是圆x2＋y2＝16内的定点BC是这个圆上的两个动点若BA⊥CA求BC中点M的轨迹方程并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M(xy)因为M是弦BC的中点故OM⊥BC又∵∠BAC＝90°∴|MA|＝12|BC|＝|MB|∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]化简为x2＋y2－2y－6＝0即x2＋(y－1)2＝7∴所求轨迹为以(01)为圆心以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点定点AC的坐标分别是A(－23)C(21)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2－2)求直线BC截圆E所得的弦长．【解】(1)AC的中点E(02)即为圆心半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝ 5所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34其方程为y－1＝34(x－2)即3x－4y－2＝0点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝222(本小题满分12分)如图5已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0点A(06)．(1)求圆心在直线y＝x上经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于PQ两点且圆弧PQ恰为圆C周长的14求直线m的方程．【09960152】图5【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50所以圆C的圆心坐标为C(－5－5)又圆N的圆心在直线y＝x上所以当两圆外切时切点为O设圆N的圆心坐标为(aa) 则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2解得a＝3所以圆N的圆心坐标为(33)半径r＝3 2故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14所以CP⊥CQ所以点C到直线m的距离为5当直线m的斜率不存在时点C到y轴的距离为5直线m即为y轴所以此时直线m的方程为x＝0当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y＝kx＋6即kx－y＋6＝0所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5解得k＝4855所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0即48x－55y＋330＝0故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第九章 统计 综合测试(附答案与解析)
第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（ ） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（ ） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（ ）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，31 7.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++的平均数和标准差分别为（ ）A . ,x sB .35,x s +C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（ ）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（ ）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（ ）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。
高中数学必修第二册第十章综合测试01含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第十章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为（）A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对2.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，丙是第一名的概率是（）A.15B.13C.14D.163.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（）A.13B.427C.49D.1274.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A.110B.18C.16D.155.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A.13B.12C.23D.346.某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A.15B.16C.56D.35367.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A.15B.25C.825D.9258.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A.14B.716C.12D.9169.在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（）A .34B .58C .12D .1410.设一元二次方程20x Bx C ++=，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为（ ）A .112B .736C .1336D .1936二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）11.某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为451：：，其中青年教师有120人.现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________.12.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为12，13，14且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是________.13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.14.如图10-4-6所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________. 三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率.16.[12分]某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X 1 2 3 4 5 fa0.20.45bc（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为5的2件日用品记为1y ，2y ，现从1x ，2x ，3x ，1y ，2y 这5件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率.17.[13分]某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，3名女同学1B ，2B ，3B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.18.[13分]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. （注：若三个数a ，b ，c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）第十章综合测试答案解析一、 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】B【解析】从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为42105=. 8.【答案】B【解析】四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币，抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的样本点为（0，0，0，0），（0，0，0，1），（0，0，1，0），（0，0，1，1），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，1，1，1），（1，0，0，0），（1，0，0，1），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（1，1，0，0），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1），共有16种情况.若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况，所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1427++=（种），故所求概率716P =. 9.【答案】C【解析】分析题意可知，共有（0，1，2），（0，2，5），（1，2，5），（0，1，5），4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率12P =. 10.【答案】D【解析】因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况。
新课标高中数学必修二综合试题及答案
高中新课标数学必修②测试卷(4)班别 _____ 姓名 ____________ 座号 ____ 分数______一. 选择题 （每小题4分，共48分）1. 直线0x a ++=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ D ）.A.030 B. 060 C. 0120 D. 0150 2. 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ B ）.A. 34110x y --=B. 34110x y --=或3490x y -+=C. 3490x y -+=D. 34110x y -+= 或 3490x y --= 3. 下列说法正确的是（ C ）.A. 经过定点0P （0x ，0y ）的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示.B. 经过不同两点1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）的直线都可以用方程112121y y x x y y x x --=--表示.C. 经过定点0P （0，b ）且斜率存在的直线都可以用方程y kx b =+表示.D. 不过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示. 4. 无论m 为何值，直线1(2)y m x +=-总过一个定点，其中m R ∈，该定点坐标为（ D ）. A.（1，2-） B.（1-，2） C.（2-，1-） D.（2，1-） 5. 若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 的值为（ A ）.A. 7-B. 17--或C. 6-D. 133-6. 一条直线与一个平面内的（ D ）都垂直，则该直线与此平面垂直.A. 无数条直线B. 两条直线C. 两条平行直线D.两条相交直线 7. 下列四个命题中错误的个数是（ B ）. ① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直A. 1B. 2C. 3D. 48. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ C ）.A. 3B.343R π3D. 39R 9. 下列命题中错误的是（ B ）. A. 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ=，则l ⊥γD. 若α⊥β，aβ=AB ，a //α，a⊥AB ，则a ⊥β10. P 为ABC 所在平面外一点，PB PC =，P 在平面ABC 上的射影必在ABC 的（ A ）.A. BC 边的垂直平分线上B. BC 边的高线上C. BC 边的中线上D. BAC ∠的角平分线上11. 圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 224420x y x y +-+-=的位置关系是（ A ）. A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 12. 直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ C ）.A. 1，1-B. 2-C. 1-D. 1 二. 填空题（每小题4分，共20分）1. 圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为， 2. 过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线的方程是 250x y +-= 3. 过点A （0，1），B （2，0）的直线的方程为 220x y +-= .4. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为2，则它的表面积是5. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，异面 直线1A D 与1D C 所成的角为 060 度；直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为 030 度.三. 解答题（第1、2题各9分，第3题14分，共1. 求经过两条直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点P ，且垂直于直线3l ：210x y --=直线l 的方程.1解：由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得22x y =-⎧⎨=⎩∴ 点P 的坐标是（2-，2） ∵ 所求直线l 与3l 垂直，∴ 设直线l 的方程为 20x y C ++= 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，得2C =∴ 所求直线l 的方程为 220x y ++= 2. 已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-），且圆心在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C的圆的标准方程. 解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率 ()56110AB k ---==-，因此线段AB 的垂直平分线'l 的方程是11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即 50x y ++=圆心C 的坐标是方程组 5010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，的解.解此方程组，得 32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. 圆心为C 的圆的半径长所以，圆心为C 的圆的标准方程是3. 如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面ABC .②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 解：①证明：∵EF 是SAC 的中位线，∴EF ∥AC ，B又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .②证明：∵SA SC =,AD DC = ∴SD ⊥AC ， ∵BA BC =,AD DC = ∴BD ⊥AC ,又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D =，∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴平面SBD ⊥平面ABC .。
高中数学人教A版必修二 章末综合测评2 Word版含答案
点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错． 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章 平面向量及其应用 综合测试(附答案与解析)
第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（ ）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（ ） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（ ） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（ ）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（ ）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（ ） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-， （1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明： （1）BE CF ⊥； （2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。
(人教版A版)高中数学必修第二册 第九章综合测试试卷03及答案
第九章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查C ．从某连队200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从l0个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）2．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m 跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）A ．l20名学生B ．1200名学生C ．120名学生的成绩D ．1200名学生的成绩3．简单随机抽样和分层随机抽样之间的共同点是（ ）A ．都是从总体中逐个抽取的B ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的机会相等D ．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取4．某市有大型、中型与小型商店共1 500家，它们的数量之比为l:5:9，用分层随机抽样的方法抽取其中的30家进行调查，则中型商店应抽取（ ）A ．10家B ．18家C ．2家D ．20家5．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ）A ．88.5B ．89C ．91D ．89.56．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图9-4-1，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则（）A ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＜B ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＞C ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＜D ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＞7．某校高中三个年级的人数扇形统计图如图9-4-2所示，按年级用分层随机抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本量为（）A ．24B ．30C ．32D ．358．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635790033709160162038827757495032114919730649167677873399746732274861987164414870862888851916207477011l 163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．499．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取女生的人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．2111．如果一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 1+2，…n + ）A ，2s B +，2sC +，23s D +212．在去年某地区的足球比赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法：①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球，其中正确的有（）A．l个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种福利彩票的中奖号码是从1~36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，从36个号码中选出7个号码，适宜的抽样方法是________．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”、现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的相关记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2这三地肯定进入夏季的地区有________个．16．某校为了解本校中、老年教师的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从中年教师中抽取20人，从老年教师中抽取10人参加体检，经医院反馈信息知某项体检指标：中年教师均值为90，方差为4，老年教师均值为96，方差为6．据此估计该校中、老年教师该项指标的方差为________．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）某电视台举行颁奖典礼，邀请来自三个地区的20名演员演出，其中从30名A地区演员中随机挑选10人，从18名B地区演员中随机挑选6人，从10名C地区演员中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的演员，并确定他们的表演顺序．18．（12分）某市组织了一次普法知识竞赛，从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，统计如下：甲单位职工的成绩（分）8788919193甲单位职工的成绩（分）8589919293根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定．19．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？20．（12分）某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护仍是百姓最为关心的问题，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,56，得到的频率分布直方图如图9-4-3所示。
新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)
新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。
(北师大版2019课标)高中数学必修第二册 第六章综合测试(含答案)
第六章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是（ ）A .各个面都是三角形的几何体是三棱锥B .以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C .棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D .圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2.在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是棱DD 1上的动点，则过A ，Q ，B 1三点的截面图形不可能的是（ ） A .等边三角形 B .矩形 C .等腰梯形 D .正方形3.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是（ ） A .4SB .4S πC .S πD .2S π 4.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为39 cm ，则其表面积为（ ）A .2B .218 cmC .2D .212 cm5.已知平面α⊥平面β，且l αβ=，要得到直线m ⊥平面β，还需要补充的条件是（ ）A .m α⊂B .m α∥C .m l ⊥D .m α⊂且m l ⊥6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为13，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A .16πB .32πC .36πD .64π7.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 上一点，且11114PB A B =，则多面体11P BCC B -的体积为（ ）A .83B .163C .4D .58.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF △沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE △沿DE 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（ ）A .无论翻折到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D .存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒二、多项选择题（大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知α，β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A .若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ B .若m α∥，n αβ=，则m n ∥C .若m α⊥，m β⊥，则αβ∥D .若m α⊥，m n ∥，n β⊥，则αβ∥10.已知m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A .若m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥ B .若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥ C .若m n ∥，n α⊂，αβ∥，m β⊄，则m β∥ D .若m n ∥，n α⊥，αβ⊥，则m β∥11.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ） A .在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B .异面直线AD 与PB 所成的角为90︒ C .二面角P —BC —A 的大小为45︒ D .BD ⊥平面PAC12.在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段A 1D 1上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ） A .CM 与PN 是异面直线 B .CM PN ＞C .平面PAN ⊥平面BDD 1B 1D .过P 、A 、C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.14.已知正四棱锥的侧棱长为60︒，则该四棱锥的高为________.15.设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：（1）a γ∥，b β∥；（2）a γ∥，b β⊂；（3）b β∥，a γ⊂，如果命题“a b αβγ=⊂，，且________，则a b ∥”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的序号填上）.16.如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论中： ①PB AE ⊥；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④45PDA ∠=︒，其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知正方体1111ABCD A B C D -. （1）证明：1D A ∥平面1C BD ； （2）求异面直线1D A 与BD 所成的角.18.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，连接AC A D A B BD BC C D ''''''，，，，，，得到一个三棱锥.求：（1）三棱锥—A BC D ''的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥—A BC D ''的体积.19.在如图的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥，点E ，G ，F 分别为棱MB ，PB ，PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证： （1）平面EFG ∥平面PMA ； （2）平面PDC ⊥平面EFG .20.如图平行四边形ABCD 中，BD =，2AB =，4AD =，将BCD △沿BD 折起到EBD △的位置，使平面EBD ⊥平面ABD . （1）求证：AB DE ⊥；（2）求三棱锥E —ABD 的侧面积.21.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求直线BE 与平面11ABB A 所成的角的正弦值；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ？证明你的结论.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1AC =，12AA BC ==，点D 在侧棱1AA 上.（1）若D 为1AA 的中点，求证：1C D ⊥平面BCD ；（2）若1A D =1B C D C --的大小.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】A 错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，B 错误，如图2，若ABC △不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥，C 错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，D 正确. 2.【答案】D【解析】当点Q 与点D1重合时，截面图形为等边三角形11AB D ，如图（1）；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形11AB C D ，如图（2）；当点Q 不与点D 、1D 重合时，令Q 、R 分别为1DD 、11C D 的中点，则截面图形为等腰梯形1AQRB ，如图（3）D 是不可能的. 3.【答案】C【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则224R R S ⋅=，得2R S =，所以底面面积为2R S ππ=. 4.【答案】A【解析】设正四面体的棱长为 cm a ，则底面积为22 cm ，易求得高为 cm ，则体积为231934312a ⨯⨯==，解得a =，所以其表面积为)224cm 4⨯=. 5.【答案】D【解析】选项A ，B ，C 的条件都不能得到直线m ⊥平面β，而补充选项D 后，可以得到直线m ⊥平面β，理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 6.【答案】A【解析】将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为4=，即球的半径为2，故这个球的表面积为4216r ππ=.7.【答案】B【解析】】V 多面体1113P BCC B S -=正方形21111164133BCC B PB ⋅=⨯⨯=. 8.【答案】D【解析】在A 中，点A 与点C 一定不重合，故A 正确；在B 中，存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒，故B 正确；在C 中，当平面ABF ⊥平面BEDF ，平面DCE ⊥平面BEDF 时，直线AF 与直线CE 垂直，故C 正确； 在D 中，直线AB 与直线CD 不可能垂直，故D 错误. 二、9.【答案】ACD【解析】若m α⊥，则a ∃，b α⊂且a b P ⋂=使得m α⊥，m b ⊥，又m n ∥，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n a ⊥，故A 对；若m α∥，n αβ⋂=，如图，设m AB =，平面1111A B C D 为平面α，m α∥，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若m α⊥，m n ∥，则n a ⊥，又n β⊥，则αβ∥，故D 对. 10.【答案】BC【解析】若m α∥，n β∥且αβ∥，则可以m n ∥，m ，n 异面，或m ，n 相交，故A 错误；若m n ∥，m α⊥，则n a ⊥，又n β⊥，故α∥β，B 正确；若m n ∥，n α⊂，则m α∥或m α⊂，又αβ∥，m β⊄，故m β∥，C 正确；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，αβ⊥，则m β∥或m β⊂，D 错误. 11.【答案】ABC【解析】对于A ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，则侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ABD ∴△是等边三角形，AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 正确，对于C ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，BC AD ∥，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P —BC —A 的平面角，设1AB =，则BM PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM RM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P —BC —A 的大小为45︒，故C 正确，对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 12.【答案】BCD 【解析】C 、N 、A 共线，即CN 、PM 交于点A ，共面，因此CM 、PN 共面，A 错误； 记PAC θ∠=，则2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+⋅︒-， 2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，又AP AC ＜， ()2222304CM PN AC AP -=-＞，22CM PN ＞，即 CM PN ＞，B 正确； 由于正方体中，AN BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，则1BB AN ⊥，1BB BD B =，可得AN ⊥平面11BB D D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面11BDD B ，C 正确；取11C D 中点K ，连接KP ，KC ，11A C ，易知11PK AC ∥，又正方体中，11AC AC ∥，PK AC ∴∥，PK 、AC 共面，PKCA 就是过P 、A 、C 三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D 正确. 三、13.【答案】3π【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据题意，得22r ππ=，解得1r =，根据勾股定理，得圆锥的高为=，所以圆锥的表面积2212132S πππ=⨯⨯+⨯=，体积21133V π=⨯⨯=. 14.【答案】3【解析】如图，过点S 作SO ⊥平面ABCD ，连接OC ，则60SCO ∠=︒，sin 603SO SC ∴=︒=⋅⋅=. 15.【答案】（2）（3）【解析】a γ∥，b β∥，不可以，举出反例如下：使βγ∥，b γ⊂，a β⊂，则此时能有a γ∥，b β∥，但不一定有a b ∥； a γ∥，b β⊂，可以，由a γ∥得a 与γ没有公共点，由b β⊂，a αβ⋂=，b γ⊂知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行； b β∥，a γ⊂可以，由b β∥，a αβ=知，a ，b 无公共点，再由a γ⊂，b γ⊂，可得两直线平行. 综上可知满足的条件有（2）和（3）. 16.【答案】①④【解析】对于①，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AE ⊥，又EA AB ⊥，PA AB A ⋂=，所以EA ⊥平面PAB ，从而可得EA PB ⊥，故①正确；对于②，由于PA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 与平面PBC 不可能垂直，故②不正确；对于③，由于在正六边形中BC AD ∥，所以BC 与EA 必有公共点，从而BC 与平面PAE 有公共点，所以直线BC 与平面PAE 不平行，故③不正确；对于④，由条件得PAD △为直角三角形，且PA AD ⊥，又2PA AB AD ==，所以45PDA ∠=︒，故④正确， 综上①④正确. 四、17.【答案】（1）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB D C ∥，11AB D C =， ∴四边形11ABC D 是平行四边形，11AD BC ∴∥，1AD ⊄平面1C BD ，1BC ⊂平面1C BD ，1D A ∴∥平面1C BD ，（2）由（1）知，11AD BC ∥，∴异面直线1D A 与BD 所成的角即为1C BD ∠，易知1C BD △为等边三角形，160C BD ∴∠=︒，即异面直线1D A 与BD 所成的角为60︒， 18.【答案】（1）1111ABCD A B C D -是正方体，A B AC A D BC BD C D a ∴'=''='='=='=，∴三棱锥—A BC D ''的表面积为21422⨯⨯=，而正方体的表面积为26a ，故三棱锥A BC D '-' （2）三棱锥A ABD C BCD D A D C B A B C '-'--'''-'''，，，是完全一样的，故 4A BC A ABD V D V V '''-=-正方体三枚维三衫维，332114323a a a a =-⨯⨯⨯=.19.【答案】（1）点E 、G 、F 分别为棱MB 、PB 、PC 的中点，EG PM GF BC ∴∥，∥，又PM ⊂平面PMA ，EG ⊄平面PMA ，EG ∴∥平面PMA ， 四边形ABCD 是正方形，BC AD ∴∥，GF AD ∴∥，AD ⊂平面PMA ，GF ⊄平面PMA ，GF ∴∥平面PMA ，又EG GF G =，∴平面EFG ∥平面PMA ，（2）由已知MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥，PD ∴⊥平面ABCD ， 又BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥， 四边形ABCD 为正方形，BC DC ∴⊥， 又PDDC D =，BC ∴⊥平面PDC ，在PBC △中，G ，F 分别为PB ，PC 的中点，GF BC ∴∥，GF ∴⊥平面PDC ，又GF ⊂平面EFG ，∴平面PDC ⊥平面EFG .20.【答案】（1）证明：2AB =，BD =，4AD =，222AB BD AD ∴=＋，AB BD ∴⊥，平面EBD ⊥平面ABD ，且平面EBD ⋂平面ABD BD =，AB ∴⊥平面EBD ，DE ⊂平面EBD ，AB DE ∴⊥，（2）由（1）知AB BD ⊥，CD AB ∥，CD BD ∴⊥，从而折叠后DE BD ⊥， 在Rt DBE △中，2DB =2DE DC AB ===，12DBE S DB DE ∴=⋅=△ 又AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，AB BE ∴⊥， 4BE BC AD ===，412·ABE S AB BE ∴==△， DE BD ⊥，平面EBD ⊥平面ABD ，ED ∴⊥平面ABD ， 又AD ⊂平面ABD ，ED AD ∴⊥，142ADE S AD DE ∴=⋅=△，综上，三棱锥E —ABD 的侧面积8S =＋21.【答案】（1）如图（1），取1AA 的中点M ，连接EM ，BM ， E 是1DD 的中点，四边形11ADD A 为正方形，EM AD ∴∥，在正方体1111-ABCD A B C D 中，AD ⊥平面11ABB A ，EM ∴⊥平面11ABB A ，从而EBM ∠为直线BE 与平面11ABB A 所成的角，设正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，则2EM AD ==，3BE =， 在Rt BEM △中，2sin 3EM EBM BE ∠==， 即直线BE 与平面11ABB A 所成的角的正弦值为23.（2）在棱11C D 上存在点F ，使1B F ∥平面1A BE ， 证明如下：如图（2），分别取11C D 和CD 的中点F 和G ，连接EG ，BG ，1CD ，FG ，1B F1111A D B C BC ∥∥，且11 A D BC =， ∴四边形11A BCD 为平行四边形，11D C A B ∴∥， 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，1EG D C ∴∥， 1EG A B ∴∥，1A ∴，B ，G ，E 四点共面，BG ∴⊂平面1A BE ， 在正方体1AC 中，F 和G 分别为11C D 和CD 的中点， GF ∴綊1C C 綊1B B ，∴四边形1B BGF 为平行四边形， 1B F BG ∴∥，又1B F ⊄平面1A BE ，BG ⊂平面1A BE ，1B F ∴∥平面1A BE ，22.【答案】（1）证明：由已知，得1AA BC ⊥，AC BC ⊥，则BC ⊥平面11AAC C ，又1C D ⊂平面11AAC C ，则1BC C D ⊥，①因为D 为1AA 的中点，所以1AD AC ==，又AD AC ⊥，则CAD △为等腰直角三角形，所以45ADC ∠=︒，同理1145A DC ∠=︒，所以190CDC ∠=︒，即1CD C D ⊥，② 结合①②得，1C D ⊥平面BCD ，（2）作1CE C D ⊥，垂足为E ，连接BE ，如图， 因为BC ⊥平面11AAC C ，所以1BC C D ⊥，所以1C D ⊥平面BCE ， 则1C D BE ⊥，所以BEC ∠为二面角1B C D C --的平面角，因为1111A D A C ==，所以1C D =在1CC D △中，12CC =，1CC 边上的高为1，则其面积为1，所以由112=得CE =，在Rt BCE △中，tan BC BEC CE ∠==，则 60BEC ∠=︒， 所以二面角1B C D C --的大小为60︒.。
(人教版A版最新)高中数学必修第二册 第九章综合测试01-答案
第九章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】①中商店的规模不同，所以应采用分层随机抽样；②中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样。
2.【答案】B 【解析】10008020012001000n⨯=++.求得192n =.3.【答案】C【解析】将这20个数据从小到大排列：109，112，114，118，120，124，126，126，127，128，135，135，135，137，138，139，142，144，148，150.2075%15i =⨯=，∴这组数据的第75百分位数为第15个数据和第16个数据的平均数，即138139138.52+=. 4.【答案】A【解析】由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则41x x +=，所以0.2x =，故中间一组的频数为1600.232⨯=. 5.【答案】C【解析】由题图知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%. 6.【答案】A【解析】由题意，根据频率分布直方图，可得获得复赛资格的人数为1000(10.00252020.007520650⨯-⨯-⨯⨯=)（人）7.【答案】D【解析】由题意可知B 样本的数据为58，60，60，62，62，62，61，61，61，61，将A 样本中的数据由小到大依次排列为52，54，54，55，55，55，55，56，56，56，将B 样本中的数据由小到大依次排列为58，60，60，61，61，61，61，62，62，62，因此A 样本的众数为55，B 样本的众数为61，A 选项错误；A 样本的平均数为54.8，B 样本的平均数为60.8，B 选项错误；A 样本的中位数为55，B 样本的中位数为61，C 选项错误；事实上，在A 样本的每个数据上加上6后形成B 样本，样本的稳定性不变，因此两个样本的标准差相等，故选D. 8.【答案】D【解析】100米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定，故丁是最佳人选. 9.【答案】C【解析】依题意，前三年中位数200x =，平均数1002003002003y ++==，第四年收入为600万元，故中位数为200300250 1.252y x +===， 平均数为100200300600300 1.54y +++==.10.【答案】C【解析】A .样本中男生人数为412108640++++=（人），女生人数为1004060-=（人），所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B .因为男生中B 层次的比例最大，女生中B 层次的比例最大，所以样本中B 层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C .样本中D 层次身高的男生有8人，女生D 层次的有6015%9⨯=（人），所以样本中D 层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D .样本中E 层次身高的女生有605%3⨯=（人），所以该选项是正确的. 二、 11.【答案】4【解析】由平均数为10，得1(10119)105x y ++++⨯=，则20x y +=； 又方差为2，2222210)(10)(1010)11101[(]59102x y -+-+-+-+=∴-⨯()()，得22208x y +=，2192y =.4x y ∴-==.12.【答案】12【解析】抽取的男运动员的人数为2148124836⨯=+.13.【答案】90 37.5【解析】由题意得抽取到的20个班级的平均数58510905959020x ⨯+⨯+⨯== .方差2222514(8590)1030(9090)526(9590)37.520[][][]s ⨯+-+⨯+-+⨯+-==.14.【答案】0.030 3【解析】0.005100.03510100.020100.010101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，0.030a ∴=. 设身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组的学生分别有x y z ，，人，则式0.03010100x=⨯，解得30x =.同理，2010y z ==，.故从[140，150]的学生中选取的人数为10183302010⨯=++.三、15.【答案】解：（1）1(0.050.350.20.1)0.3-+++=，故①处应填0.3.完成频率分布直方图如图所示.（2）第3组的人数为0.310030⨯=，第4组人数为0.210020⨯=，第5组人数为0.110010⨯=，共计60人，用分层随机抽样抽取6人.则第3组应抽取人数为306360⨯=，第4组应抽取人数为206260⨯=，第5组应抽取人数为106160⨯=. 16.【答案】解：由题中数据可得如下统计表.（1）∵甲、乙命中9环及以上的次数分别为1和3次， ∴乙的成绩比甲好.（2）∵甲、乙平均数相同，但甲的中位数小于乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第十章 概率 综合测试(附答案与解析)
6 B. 1
13.一个袋子中有 5 个红球，4 个绿球，8 个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件 A = 摸出黑球 ，事件
B = 摸出绿球 ，事件 C = 摸出红球 ，则 P( A) = ________； P(B UC) = ________.（本题第一空 2 分，
第二空 3 分）
14.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平” 两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整 数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第十章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1.从含有 10 件正品、2 件次品的 12 件产品中任意抽取 3 件，则必然事件是（ ） A.3 件都是正品 B.3 件都是次品 C.至少有 1 件次品 D.至少有 1 件正品 2.下列说法正确的是（ ） A.甲、乙两人比赛，甲胜的概率为 3 ，则比赛 5 场，甲胜 3 场
3 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
“第二次摸到白球”
C.袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M “第一次摸到白球”，事件 N “第二次摸到黑球”
(人教版B版)高中数学必修第二册第四章综合测试03(含答案)
第四章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知函数()()lg 4f x x =-的定义域为M ，函数()g x =的值域为N ，则M N 等于（ ） A .MB .NC .[)0,4D .[)0,+∞2.函数||31x y =-的定义域为[]1,2-，则函数的值域为（ ） A .[]2,8B .[]0,8C .[]1,8D .[]1,8-3.已知()23log f x =()1f 的值为（ ） A .1B .2C .1-D .12 4.21+log 52等于（ ） A .7B .10C .6D .925.若1005a =，102b =，则2a b +等于（ ） A .0B .1C .2D .36.比较13.11.5、 3.12、13.12的大小关系是（ ） A .113.13.13.122 1.5＜＜ B .113.13.13.11.522＜＜C .11 3.13.13.11.522＜＜D .11 3.13.13.12 1.52＜＜7.()()4839log 3log 3log 2log 8++等于（ ） A .56B .2512C .94D .以上都不对8.已知0ab ＞，下面四个等式：①()lg lg lg ab a b =+；②lg lg lg a a b b =-；③21lg lg 2a ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()1lg log 10ab ab =其中正确的个数为（ ） A .0B .1C .2D .39.函数x y a =（0a ＞且1a ≠）与函数()2121y a x x =---在同一个坐标系内的图像可能是（ ）ABCD10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ） （参考数据：120.3010g ≈） A .6次B .7次C .8次D .9次11.已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A .123x x x ＜＜B .132x x x ＜＜C .213x x x ＜＜D .312x x x ＜＜12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2x g x k =-，当[)1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若A B A = ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()f x 的反函数为()12f x x -=（0x ＞），则()4=f ________。
高中数学必修2测试题附答案
高中数学必修2测试题附答案数学必修2一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；解析：平行于同一平面的两条直线一定平行，为真命题，选A。
2、下列命题中错误的是：（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；解析：如果直线α垂直于平面β，则α内不存在直线平行于平面β，选A。
3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA’与BC所成的角是（）解析：异面直线AA’与BC所成的角为直角，选D。
4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，AB二面角D’-AB-D的大小是（）解析：AB二面角D’-AB-D为60度，选C。
5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）解析：将y=0代入5x-2y-10=0，得到x=2，即直线在x轴上的截距为2；将x=0代入5x-2y-10=0，得到y=-5，即直线在y轴上的截距为-5，选B。
6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）解析：将2x-y=7和3x+2y-7=0联立，解得交点为(3,-1)，选A。
7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）解析：3x-4y+6=0的斜率为3/4，与其垂直的直线斜率为-4/3，过点P(4,-1)，代入点斜式方程y+1=-4/3(x-4)，化简得到4x+3y-13=0，选A。
8、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）解析：正方体的全面积为6a，每个面积为a，每个面的对角线长为正方体的对角线长，即球的直径。
因此球的直径为正方体的对角线长，即a的开根号乘以根号3.球的表面积为4πr^2，即4π(0.5a√3)^2=3πa^2，选C。
9、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）解析：将x^2-4x和y^2-2y分别配方得到(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0，即(x-2)^2+(y-1)^2=5，圆心坐标为(2,1)，选B。
高中数学必修二综合测试题(含答案)
高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。
人教A版(2019)高中数学必修第二册第六章、第七章检测试题及参考答案
高中数学必修第2册第六章、第七章综合测试一、单选题（共8小题）1. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A. a2＝b2＋c2＋2bc cos AB. a2＝b2＋c2＋bc cos AC. a2＝b2＋c2－2bc cos AD. a2＝b2＋c2－bc cos A2. 如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度，那么新三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度确定3. 已知复数z＝－i，则复平面内对应的点Z的坐标为( )A. (0，－1)B. (－1,0)C. (0,0)D. (－1，－1)4. 设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为( )A. 3iB. 3C. －3iD. 35. “复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －iD. i7. 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()A. B. C. D.8. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)二、多选题（共4小题）9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )A. ||＝||B. 与共线C. 与共线D. ＝10. 已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )A. －2a2B. －a2C. －a2D. －a211. 下列各式中结果为零向量的是( )A. ＋＋＋B. ＋＋C. ＋＋＋D. －＋－12. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )A. sin(B＋C)＝sin AB. cos(B＋C)＝cos AC. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D. 若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形三、填空题（共4小题）13. 已知|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若|a＋b＋m|≤1恒成立，则|m|的取值范围是________．14. 方程x2－2x＋5的复数根为________．15. 设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.16. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝______.四、解答题（共6小题）17. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．19. 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为－1＋2i,1＋i，并且|BA|∶|DA|＝1∶，求点C和点D分别对应的复数．21. 设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z是零．22. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.参考答案1. 【答案】C【解析】由余弦定理的结构特征易知选C.2. 【答案】A【解析】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三条边均增加同样的长度m，三边长度变为a＋m，b＋m，c＋m，此时最长边为c＋m，设该边所对角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝＝.因为m2>0，a＋b－c>0，所以cosθ>0，所以θ为锐角，其他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形．3. 【答案】A【解析】由z＝－i可知，复平面内对应的点Z的坐标为(0，－1)．4. 【答案】A【解析】z1z2＝×6＝3＝3i.5. 【答案】A【解析】易得z＝＝－a－3i，则z在复平面内对应的点位于第三象限⇔a>0.又a>0⇒a≥0，a≥0D⇒/a>0，所以“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件，即“z在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．6. 【答案】D【解析】由(1＋i)＝1－i，得＝＝＝－i，故z＝i.7. 【答案】A【解析】=-=8. 【答案】D【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．9. 【答案】ABD【解析】由向量相等及共线的概念，由∠EDB与∠HED不一定相等可知C选项不一定正确．10. 【答案】BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，因为A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋22－a2≥－a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等．故选项B，C，D满足，故选BCD.11. 【答案】BD【解析】由向量加法的法则得A：＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零向量；B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．12. 【答案】AC【解析】依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确．13. 【答案】[－1，＋1]【解析】建立平面直角坐标系(图略)，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，m＝(x，y)，a＋b＋m＝(x＋1，y＋1)．由题意可知(x＋1)2＋(y＋1)2≤1，|m|表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)上的动点与原点连线段的长度，易知|m|的最大值为＋1，最小值为－1.14. 【答案】1±2i【解析】由求根公式得x＝＝＝1±2i.15. 【答案】[0，3]【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，d min＝0，当点A与点C(2，0)重合时，d max＝3，所以0≤|z＋1|≤3.16. 【答案】1【解析】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,4)，又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，S△OAB＝|x1y2－x2y1|，所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.17. 【答案】证明方法一设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以⊥，即AF⊥DE.18. 【答案】解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，∴∴b＝c＝，又∵a＝，∴△ABC为等边三角形．19. 【答案】解由三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＝＝＋.20. 【答案】解要求出点C对应的复数，即求出向量对应的复数，结合图形并注意到＝＋，可以先求向量对应的复数．向量可以看成向量的长度扩大为原来的倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量对应的复数为(－1＋2i)－(1＋i)＝－2＋i，故向量对应的复数为(－2＋i)··[cos(－90°)＋isin(－90°)]＝＋2i.于是点C对应的复数为(＋2i)＋(1＋i)＝(＋1)＋(2＋1)i.同理可得点D对应的复数是(－1)＋(2＋2)i.21. 【答案】解(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.(3)因为z＝0，所以所以a＝1.22. 【答案】解(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.。
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高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．已知21F ,F 是椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( )A ．12B ．31C ．41D ．225．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα⊂则 B ．若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－687．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）15y 9x 22=+Q PC'B'A'CB AA ．15B ．13 C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．9010．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角 是60°.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（11题） 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ， 且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCD （12题）C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm 214.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为15．已知21F ,F 是椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆的离心率为16.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1俯视图8558855第14题分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）18．已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动. （1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ∥平面ACD ；（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值（19题）20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。
21．如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点． （1）证明：AM ⊥PM ；（2）求二面角P －AM －D 的大小．（21题）22．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝ AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点． （1）求证：GF ∥底面ABC ；（2）求证：AC ⊥平面EBC ； （22题） （3）求几何体ADEBC 的体积V.22高二数学必修二综合测试题参考答案一、选择题：1-5 BAACD 6-10 BCACC 11-12 BD二、填空题13 . 80 14.25±或0 15 .36- 16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 三、解答题17 .证明:(1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F.又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF.(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18 .解：（1）设k x y =--21，则k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由1122=+k k ，解得33±=k ，∴21--x y 的最大值为33，最小值为33-. （2）设m y x =+2，则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.由151=-m ，解得51±=m ，∴y x +2的最大值为51+，最小值为51-.19.（1）证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB.又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ， 从而PQ ∥平面ACD.（2）如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB.因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB. 故CQ ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝ EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝ ，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为20.解：（1）配方得(x －1)2+(y －2)2=5－m ，所以5－m>0，即m<5，（2）设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，∵ OM ⊥ON ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，由22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩ 得5x 2－16x+m+8=0， 因为直线与圆相交于M 、N 两点， 所以△=162－20(m+8)>0，即m<245， 所以x 1+x 2=165，x 1x 2=85m +， y 1y 2=(4－2x 1)(4－2x 2)=16－8(x 1+x 2)+4x 1x 2=4165m -， 代入解得m=58满足m<5且m<245，所以m=58.21.(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PDsin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM.又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM. (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.21555522.(1)证明：连接AE ，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC. 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC.又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE. (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。