2019届高考数学圆的方程复习.ppt
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2019届高考数学二轮复习圆的方程课件(38张)(全国通用)
(3)设圆心为 C(x，y)，由方程①有： xy＝＝m4m＋2－3，1；－17<m<1， 消 m 得 y＝4x2－24x＋35(270<x<4). 即为所求圆心的轨迹方程.
【点评】利用消参法求轨迹方程时，应注意参数 的取值范围.
二、求圆的方程 例2已知圆满足：①截 y 轴所得的弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1；③圆心到直
2.在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没有 xy 项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.
3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几 何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题 或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.
(2015 重庆)已知直线 l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴.过点 A(－4，a)作 圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝( C )
x＋
D2 2＋
y＋
E2 2＝
_____x__D2__2___y__E2__2__D_2__E_42__4_F____．
故有：①当 D2＋E2－4F>0 时，方程表示以____D2_,_E2___
为圆心，以_______D_2 __E_2__4_F_______为半径的圆； 2
a2＋1.
又因为 P(a，b)到直线 x－2y＝0 的距离为 55， 所以 12＋|a－（2－b|2）2＝ 55，即 a－2b＝±1.
由题得2ab－2－2ba＝2＝1，1，或2ab－2－2ba＝2＝－11，， 解方程组得ab＝＝－－11，，或ab＝＝11，. ∵r2＝2b2＝2， ∴所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2 ＋(y－1)2＝2.
2019年高考数学复习精选课件 第3节 圆的方程
|
= 4 = 4 5 55
.
∴S△PAB的最大值为 12 × 5
×
4
5 5
1
= 1 (4+ 5
2
),
S△PAB的最小值为 12 × 5
×
4
5 5
1
= 1 (4- 5
2
).
栏目索引
,最小值
栏目索引
(2)原方程可化为(x-2)2+y2=3.
∵ y = y 0 , x 1 x (1)
又已知圆心在直线y=-x+1上,故联立 xy
y x
0, 1,
解得
x y
1 2 1 2
,
故圆心坐标是
.
1 2
,
1 2
.
所以半径r=
1
1 2
2
1
1 2
2
= 2
2
或r
1 1 2 22
栏目索引
4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑧ D2+E2-4F>0 ,其中圆心为
⑨
D 2
,
E 2
,半径r=⑩
D2 E2 4F
2
.
5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程课件理
4．若方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值 范围是________． 解析：方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 可化为x＋a22＋ (y＋a)2＝－34a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－34a2－a＋ 1>0，即 3a2＋4a－4<0，所以－2<a<23. 答案：－2，23
当 m＝－12时，直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0，圆心 M 的坐标为 94，－12，圆 M 的半径为 485，圆 M 的方程为x－942＋y＋122 ＝8156. 法二：由(1)可得 y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)． 又圆 M 过坐标原点 O 和点 P(4，－2)， ∴|MO|＝|MP|， 即(m2＋2)2＋m2＝(m2－2)2＋(m＋2)2， 整理得 2m2－m－1＝0，解得 m＝1 或 m＝－12.
5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，所以(1 －a)2＋(1＋a)2＜4. 即 a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1)
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
所以圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离 d＝|a＋a24＋－11|＝1，解
得 a＝－43.
答案：A
3．(教材习题改编)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)， B(1,4)，则圆 C 的标准方程为________． 解析：设圆心 C 的坐标为(a，b)， 则 a＝－12＋1＝0，b＝2＋2 4＝3，故圆心 C(0,3)． 半径 r＝12|AB|＝12 [1－－1]2＋4－22＝ 2. ∴圆 C 的标准方程为 x2＋(y－3)2＝2. 答案：x2＋(y－3)2＝2
2019届高考数学(文科,新课标B)一轮复习课件：§9.2 圆的方程(共37张PPT)
,半
答案 (-2,-4);5 解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y
5 5 1 +10=0,即x +y +x+2y+ =0,亦即 x +(y+1)2=- ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y2 4 2
|m| 2
)
答案 A 由题意可设圆的切线方程为y=-x+m,因为与圆相切于第Ⅰ象限,所以m>0且d= =1,
2 ,所以切线方程为x+y- 2 =0,故选A. 故m=
5.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 PA · PB ≤2
高考文数
(课标Ⅱ专用)
§9.1 圆的方程
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
2 ,在y轴 (2013课标Ⅱ,20,12分,0.050)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2
3 . 上截得线段长为2
(1)求圆心P的轨迹方程; (2)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.
2 2
| x0 y0 | 1, 2 2 y0 x0 1.
由 2
x0 y0 1, x0 0, 得 此时,圆P的半径r= 3 . 2 y0 x0 1 y0 1.
故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
高考数学总复习课件第十单元 第三节 圆的方程
在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间
(2)一般地，设点时，动点设为(x，y)，相关点设为(x0，
y0)，并将(x0，y0)用(x，y)表示出来，代入(x0，y0)满足
的关系式．
变式训练2
已知如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过 动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切 点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点P的轨迹方程．
方法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
方法三：∵圆过A(5,2)，B(3,－2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方
程为
设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有
∴C(2,1)，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
与圆相关的轨迹问题 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方 程．
分析
动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以
把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方
程求得点M的轨迹方程．
【解析】
由已知
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则O1(－2,0),O2(2,0)．
得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆半径均为1， 所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
的截距取得最大值和最小值，
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知： 原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．而圆心 到原点的距离为2，圆的半径为.
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何9_3圆的方
1＋2 3 32＝
21 3.
(2)由题意知该圆的半径为 1，设圆心坐标为 C(－1，a)(a>0)， 则 A(0，a)，又 F(1,0)，所以A→C＝(－1,0)，A→F＝(1，－a)，由题意 得A→C与A→F的夹角为 120°，得 cos120°＝1×－11＋a2＝－12，解得 a ＝ 3，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
→
结合图形设 出圆心、半径
→
利用向量夹 角列式求解
→ 得结果
[解析] (1)解法一：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0，
1＋D＋F＝0， ∴3＋ 3E＋F＝0，
7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
∴E＝－4
3
3，
F＝1，
∴△ABC 外接圆的圆心为1，233，故△ABC 外接圆的圆心
[答案] x2＋y2－2x－12＝0
5．已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)， 则直角顶点 C 的轨迹方程为__________．
[解析] AB 的中点 D 坐标为(1,0)，由直角三角形的性质可知， |CD|＝12|AB|＝2，所以 C 的轨迹是以 D 为圆心，以 2 为半径的圆， 其方程为(x－1)2＋y2＝4，即 x2＋y2－2x－3＝0，其中 x≠3 且 x≠ －1.
第
九
平面解析几何
章
第三节
圆的方程
高考概览 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程； 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
1．圆的定义及方程
[知识梳理]
[温馨提示] 二元二次方程表示圆的条件： 在二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中，若 D2＋E2－4F ＝0，则方程表示一个点－D2 ，－E2；当 D2＋E2－4F<0 时，方程 不表示任何图形，只有 D2＋E2－4F>0，方程才表示圆．如： 如果方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 表示圆，那么 k 的取值范围 是 (－∞，1) ．
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件文 共60页
当 t＝4 2时，取等号．故选 D.
2．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y －4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的 动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 D. 17
解析 圆 C1，C2 的图象如图所示．
解 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过 A，B 两点， 所以|CA|＝|CB|，即 2a＋3－22＋a＋32＝
2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，所以圆心 C 的 坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10.
解析 设|PO|＝t，向量P→A与P→B的夹角为 θ，则|P→A|＝|P→B |＝ t2－1，sinθ2＝1t ，cosθ＝1－2sin2θ2＝1－t22，∴P→A·P→B＝ |P→A||P→B|cosθ＝(t2－1)1－t22(t＞1)，∴P→A·P→B＝t2＋t22－3(t＞ 1)，利用基本不等式可得P→A·P→B的最小值为 2 2－3，当且仅
题型 2 与圆有关的最值问题 角度 1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)
典例 (2018·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋
y2
－
4x
＋
1
＝
0
，
则
y x
的
最
大
值
为
____3____
，
最
小
值
为
__－___3___．
求 k＝yx－ －00的最值转化为直线 y＝kx 与圆
相切．
解析 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆 心， 3为半径的圆．
2．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y －4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的 动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 D. 17
解析 圆 C1，C2 的图象如图所示．
解 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过 A，B 两点， 所以|CA|＝|CB|，即 2a＋3－22＋a＋32＝
2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，所以圆心 C 的 坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10.
解析 设|PO|＝t，向量P→A与P→B的夹角为 θ，则|P→A|＝|P→B |＝ t2－1，sinθ2＝1t ，cosθ＝1－2sin2θ2＝1－t22，∴P→A·P→B＝ |P→A||P→B|cosθ＝(t2－1)1－t22(t＞1)，∴P→A·P→B＝t2＋t22－3(t＞ 1)，利用基本不等式可得P→A·P→B的最小值为 2 2－3，当且仅
题型 2 与圆有关的最值问题 角度 1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)
典例 (2018·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋
y2
－
4x
＋
1
＝
0
，
则
y x
的
最
大
值
为
____3____
，
最
小
值
为
__－___3___．
求 k＝yx－ －00的最值转化为直线 y＝kx 与圆
相切．
解析 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆 心， 3为半径的圆．
2019版高三数学一轮复习 8.3圆的方程课件
B=0,D2+E2-4AF>0;
④若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0. 其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
精品
6
【解析】选D.①错误.当t≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为
|t|的圆.
②错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0即 2＜ a＜ 2时才表示圆.
2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5
精品
11
6.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是 .
【解析】因为原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,所以(0-m)2 +(0+m)2<8,即m2+m2<8,所以-2<m<2. 答案:-2<m<2
精品
12
考点1 确定圆的方程
【典例1】(1)若圆心在x轴上、半径为 5 的圆O′位于y轴左侧, 且与直线x+2y=0相切,则圆O′的方程是( )
A.(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5
B.(x+ 5 )2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5
D.(x+5)2+y2=5
精品
13
(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-
3
③正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0得方程
全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程课件
∵∠APB＝90°，即A→P·B→P＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y02＝0， ∴m2＝x20＋y20＝26＋6cosθ＋8sinθ ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36其中tanφ＝43， ∴0<m≤6，即 m 的最大值为 6.故选 B.
解法二：∵在 Rt△APB 中，原点 O 为斜边中点，|AB| ＝2m(m>0)，
(3)圆心坐标
－D2 ，－E2
，半径 r＝
1 2
D2＋E2－4F
.
考点 2 点与圆的位置关系
1.理论依据 点 与 圆心的距离与半径的大小关系．
2.三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为 圆心到点 M 的距离．
(1) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ⇔点在圆上⇔d＝r； (2) (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ⇔点在圆外⇔d>r； (3) (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 ⇔点在圆内⇔d<r.
4.[2016·北京高考]圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x ＋3 的距离为( )
A.1 B．2 C. 2 D．2 2
解析 由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线 y＝x＋3 化成 一般形式为 x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离 d＝ |－121＋－0－＋132|＝ 2.故选 C.
5.[课本改编]方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的
第8章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 圆的定义、方程 1.在平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫 做圆． 2.确定一个圆的基本要素是： 圆心 和 半径 ． 3.圆的标准方程
解法二：∵在 Rt△APB 中，原点 O 为斜边中点，|AB| ＝2m(m>0)，
(3)圆心坐标
－D2 ，－E2
，半径 r＝
1 2
D2＋E2－4F
.
考点 2 点与圆的位置关系
1.理论依据 点 与 圆心的距离与半径的大小关系．
2.三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为 圆心到点 M 的距离．
(1) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ⇔点在圆上⇔d＝r； (2) (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ⇔点在圆外⇔d>r； (3) (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 ⇔点在圆内⇔d<r.
4.[2016·北京高考]圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x ＋3 的距离为( )
A.1 B．2 C. 2 D．2 2
解析 由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线 y＝x＋3 化成 一般形式为 x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离 d＝ |－121＋－0－＋132|＝ 2.故选 C.
5.[课本改编]方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的
第8章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 圆的定义、方程 1.在平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫 做圆． 2.确定一个圆的基本要素是： 圆心 和 半径 ． 3.圆的标准方程
2019年高考数学总复习课件 8.4 圆的方程
( 3) 当 D2+E2-4F<0 时, 方程不表示任何图形. 【说明】 所有的二次曲线方程的一般形式是 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0, 在圆的一般方程中, A=关系 2 2 对于点 P( x0, y0) 和圆( x-a) +( y-b) =r2 或 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 点 P 到圆 心距离记作 d. 2 2 ( 1) 点 P 在圆内⇔( x0-a) +( y0-b) <r2⇔������������ ������ +������������ ������ +Dx0+Ey0+F<0⇔d<r 2 2 ( 2) 点 P 在圆上⇔( x0-a) +( y0-b) =r2⇔������������ ������ +������������ ������ +Dx0+Ey0+F=0⇔d=r 2 2 2 ( 3) 点 P 在圆外⇔( x0-a) +( y0-b) >r ⇔������������ ������ +������������ ������ +Dx0+Ey0+F>0⇔d>r 【说明】 1.圆心和半径是圆的两个要素, 圆心确定圆的位置, 半径确 定圆的大小.只要圆心与半径明确了, 圆就确定了, 该圆的方程也就唯一地 确定了. 2.求圆方程的基本方法以待定系数法为主, 应注意根据所给条件, 明确 应该使用标准方程还是一般方程.如果题目中给出了圆心坐标之间的关系 或圆心的特殊位置关系时, 一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐 标, 一般用一般方程.另外还应注意用动点轨迹的方法求圆的方程, 除定义 外, 还可以用其他等量关系列方程, 如动点到两定点的连线互相垂直等.
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解②、③、⑤组成的方程组，得 D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝ －10，E＝－8，F＝4， 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x －8y＋4＝0.
课堂互动讲练
【名师点评】 一般地，已知圆 心或半径的条件，选用圆的标准式方 程，否则选用一般式方程．另外，还 有几何法可以用来求圆的方程．要充 分利用圆的有关几何性质，如“圆心在 圆的任一条弦的垂直平分线上”“半 径、弦心距、弦长的一半构成勾股关 系”等．
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 答案：C
三基能力强化
4．(教材习题改编)以直线3x－4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直 径的圆的方程是________．
答案：x2＋y2＋4x－3y＝0
三基能力强化
5．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－ a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实 数a＝________.
答案：3
课堂互动讲练
考点一
求圆的方程
在解决求圆的方程这类问题时，应 当注意以下几点：
(1)确定圆的方程首先明确是标准方 程还是一般方程．
(2)根据几何关系(如题中的相切、弦 长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F.
课堂互动讲练
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①
将 P、Q 点的坐标分别代入①，得： 4D－2E＋F＝－20，② D－3E－F＝10. ③ 令 x＝0，由①得 y2＋Ey＋F＝0, ④ 由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1、y2 是方程④的 两根，
课堂互动讲练
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝ E2－4F＝48, ⑤
课堂互动讲练
考点二 与圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的大致步骤： (1)建立平面直角坐标系，设出动 点坐标； (2)确定动点满足的几何等式，并 用坐标表示； (3)化简得方程，一般情况下，化 简前后方程的解集是相同的，如有特 殊情况，可适当予以说明，即删去增 加的解或补上失去的解．
课堂互动讲练
例2 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋ y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平 行四边形MONP，求点P的轨迹．
第3课时 圆的方程
基础知识梳理
1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长 的 点的集合叫做圆． (2)确定一个圆的要素是 圆心 和半径 ．
基础知识梳理
2．圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
பைடு நூலகம்
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r＞0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心坐 标
(a，b)
(－D2 ，－E2)
半径
r
1 2
D2＋E2－4F
基础知识梳理
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的充要条件是什么？
【思考·提示】 充要条件是D2 ＋E2－4F＞0.
三基能力强化
1．方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a
＝0表示圆，则( )
A．a＝－1
B．a＝2
C．a＝－1或2
D．a＝1
答案：A
三基能力强化
课堂互动讲练
【解】 (1)显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程 为： x2＋y2＝ (x－1)2＋(y－1)2即 x＋y－1 ＝0.
解方程组x2＋x＋y－3y1＋＝10＝，0， 得圆心 C 的坐标为(4，－3)．
又圆的半径 r＝|OC|＝5，所以所求圆 的方程为：
(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(3)待定系数法的应用，解答中要尽 量减少未知量的个数．
课堂互动讲练
例1 根据下列条件求圆的方程． (1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直
线2x＋3y＋1＝0上； (2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，
且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．
课堂互动讲练
【思路点拨】 设出圆的标准方 程或一般方程，利用待定系数法求 解，关键是用好所给三个独立条件．
课堂互动讲练
【规律小结】 解决轨迹问题，应注意 以下几点：
(1)求方程前必须建立平面直角坐标系 (若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则 曲线就不可转化为方程．
(2)一般地，设点时，将动点坐标设为 (x，y)，其他与此相关的点设为(x0，y0) 等．
(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的，求 轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方 程后还要指出方程的曲线是什么图形．
【思路点拨】 先设出P点、N点 坐标，根据平行四边形对角线互相平 分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆 的方程可求．
课堂互动讲练
【解】 如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线 段 OP 的中点坐标为(x2，2y)， 线 段 MN 的 中 点 坐 标 为 (x0－ 2 3，y0＋2 4)．
课堂互动讲练
例3 已知实数x、y满足方程x2＋y2－ 4x＋1＝0.
(1)求xy的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
2．(2009年高考重庆卷改编)圆心 在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆 的方程是( )
A．y2＋(x－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案：A
三基能力强化
3．当 a 为任意实数时，直线(a－ 1)x－y＋a＋1＝0 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )
课堂互动讲练
因为平行四边形的对角线互相平分，
故x＝x0－ 22
3，y＝y0＋ 22
4，从而xy00＝＝yx－＋43
.
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2
＝4. 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点：(－95，152)和(－251，258)(点 P 在 OM 所在的直线上时的情况)．
课堂互动讲练
考点三 与圆有关的最值问题
求与圆有关的最值问题多采用几何法， 就是利用一些代数式的几何意义进行转 化．如(1)形如 m＝xy－－ba的最值问题，可转化
课堂互动讲练
为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ ax＋by的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；(3)形如m＝ (x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化 为两点间的距离平方的最值问题．
课堂互动讲练
【名师点评】 一般地，已知圆 心或半径的条件，选用圆的标准式方 程，否则选用一般式方程．另外，还 有几何法可以用来求圆的方程．要充 分利用圆的有关几何性质，如“圆心在 圆的任一条弦的垂直平分线上”“半 径、弦心距、弦长的一半构成勾股关 系”等．
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 答案：C
三基能力强化
4．(教材习题改编)以直线3x－4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直 径的圆的方程是________．
答案：x2＋y2＋4x－3y＝0
三基能力强化
5．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－ a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实 数a＝________.
答案：3
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考点一
求圆的方程
在解决求圆的方程这类问题时，应 当注意以下几点：
(1)确定圆的方程首先明确是标准方 程还是一般方程．
(2)根据几何关系(如题中的相切、弦 长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F.
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(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①
将 P、Q 点的坐标分别代入①，得： 4D－2E＋F＝－20，② D－3E－F＝10. ③ 令 x＝0，由①得 y2＋Ey＋F＝0, ④ 由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1、y2 是方程④的 两根，
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所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝ E2－4F＝48, ⑤
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考点二 与圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的大致步骤： (1)建立平面直角坐标系，设出动 点坐标； (2)确定动点满足的几何等式，并 用坐标表示； (3)化简得方程，一般情况下，化 简前后方程的解集是相同的，如有特 殊情况，可适当予以说明，即删去增 加的解或补上失去的解．
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例2 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋ y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平 行四边形MONP，求点P的轨迹．
第3课时 圆的方程
基础知识梳理
1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长 的 点的集合叫做圆． (2)确定一个圆的要素是 圆心 和半径 ．
基础知识梳理
2．圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
பைடு நூலகம்
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r＞0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心坐 标
(a，b)
(－D2 ，－E2)
半径
r
1 2
D2＋E2－4F
基础知识梳理
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的充要条件是什么？
【思考·提示】 充要条件是D2 ＋E2－4F＞0.
三基能力强化
1．方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a
＝0表示圆，则( )
A．a＝－1
B．a＝2
C．a＝－1或2
D．a＝1
答案：A
三基能力强化
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【解】 (1)显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程 为： x2＋y2＝ (x－1)2＋(y－1)2即 x＋y－1 ＝0.
解方程组x2＋x＋y－3y1＋＝10＝，0， 得圆心 C 的坐标为(4，－3)．
又圆的半径 r＝|OC|＝5，所以所求圆 的方程为：
(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(3)待定系数法的应用，解答中要尽 量减少未知量的个数．
课堂互动讲练
例1 根据下列条件求圆的方程． (1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直
线2x＋3y＋1＝0上； (2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，
且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．
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【思路点拨】 设出圆的标准方 程或一般方程，利用待定系数法求 解，关键是用好所给三个独立条件．
课堂互动讲练
【规律小结】 解决轨迹问题，应注意 以下几点：
(1)求方程前必须建立平面直角坐标系 (若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则 曲线就不可转化为方程．
(2)一般地，设点时，将动点坐标设为 (x，y)，其他与此相关的点设为(x0，y0) 等．
(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的，求 轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方 程后还要指出方程的曲线是什么图形．
【思路点拨】 先设出P点、N点 坐标，根据平行四边形对角线互相平 分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆 的方程可求．
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【解】 如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线 段 OP 的中点坐标为(x2，2y)， 线 段 MN 的 中 点 坐 标 为 (x0－ 2 3，y0＋2 4)．
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例3 已知实数x、y满足方程x2＋y2－ 4x＋1＝0.
(1)求xy的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
2．(2009年高考重庆卷改编)圆心 在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆 的方程是( )
A．y2＋(x－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案：A
三基能力强化
3．当 a 为任意实数时，直线(a－ 1)x－y＋a＋1＝0 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )
课堂互动讲练
因为平行四边形的对角线互相平分，
故x＝x0－ 22
3，y＝y0＋ 22
4，从而xy00＝＝yx－＋43
.
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2
＝4. 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点：(－95，152)和(－251，258)(点 P 在 OM 所在的直线上时的情况)．
课堂互动讲练
考点三 与圆有关的最值问题
求与圆有关的最值问题多采用几何法， 就是利用一些代数式的几何意义进行转 化．如(1)形如 m＝xy－－ba的最值问题，可转化
课堂互动讲练
为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ ax＋by的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；(3)形如m＝ (x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化 为两点间的距离平方的最值问题．