高中物理电磁感应微元法专题

电磁感应中的“微元法”

1走近微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体

的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理

规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题

时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵

循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将

“元过程”进行必要的数学思想或物理方法处理，进而使问题求解。

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加

深认识和提高能力的作用。

“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种常用方法。

2如何用微元法

1.什么情况下用微元法解题？在变力求功，变力求冲量，变化电流

求电量等等情况下，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。一般是以时间和位移为自变量，在时间t ∆很短或

位移x ∆很小时，此元过程的变量可以认为是定值。

比如非匀变速运动求位移时在时间t ∆很短时可以看作匀速运动，

在求速度的变化量时在时间t ∆很短时可以看作匀变速运动。

运动图象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，s x t v ∆=∆=∆。

微元法体现了微分的思想。

3. 关于求和∑。许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，

（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），

比如0v v v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑-=∆0v v ，或初速度0

0=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4.物理量有三种可能的变化情况

①不变（大小以及方向）。可以直接求解，比如恒力的功，恒力

的冲量，恒定电流的电量和焦耳热。

②线性变化（方向不变，大小线性变化）。比如力随位移线性变

化可用平均力来求功，力随时间线性变化可用平均力来求冲量，电流

随时间线性变化可用平均电流来求电量。 电流的平方随时间线性变化

可用平方的平均值来求焦耳热。

③非线性变化。可以考虑用微元法。

值得注意微元法不是万能的，有时反而会误入歧途，微元法解题，本质上是用现了微分和积分的思想，是一种直接的求解方法，很多时

候物理量的非线性变化可以间接求解，比如动能定理求变力的功，动

量定理求变力的冲量，能量方程求焦耳热等等。

当然微元法是一种很重要的物理方法，在教学过程中有意识的不断

渗透微元法，可以培育和加强学生分析问题处理物理问题的能力。

电磁感应中的微元法

一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如

导体切割磁感线运动，产生动生电动势为BLv E =，感应电流为R

BLv I =，受安培力为v R

L B BIL F 2

2==，因为是变力问题，所以可以考虑用微元法。 1.只受安培力的情况

如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部

分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。质量为m 、电阻为r 的导体棒从

高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨

上滑行的距离为S 而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ；

（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的

函数关系，并画出x v -关系草图。

（3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度1v 、2v ；

x

0 S/4 S/2 S

解：（1）根据机械能守恒定律，有202

1mv mgh =，得gh v 20=。 ① (2)设导体棒在水平导轨上滑行的速度为v 时，受到的安培力为

v R

L B BIL f 2

2-==，安培力的方向与速度v 方向相反。 用微元法，安培力是变力，设在一段很短的时间t ∆，速度变化很小，可以

认为没有变化，于是安培力可以看做恒力。

根据牛顿第二定律，加速度为v mR L B m f a 2

2-==

很短的时间t ∆速度的变化为t v mR L B at v ∆⋅-==∆2

2

而x t v ∆=∆，那么在时间t 速度的变化为∑∆⋅-=∆t v mR L B V )(2

2

因为x t v ∑=∆，所以x mR L B V ⋅-=∆)(2

2

于是速度x mR L B v V v v ⋅-=∆+=2

200 ②

可以发现速度随位移是线性减小的！

2.既受安培力又受重力的情况

如图所示，竖直平面有一边长为L 、质量为m 、电阻为R 的正方形线框在竖直

向下的匀强重力场和水平方向的磁场组成的复合场中以初速度0v 水平抛出，磁场

方向与线框平面垂直，磁场的磁感应强度随竖直向下的z 轴按kz B B +=0的规律均

匀增大，已知重力加速度为g ,求：

（1） 线框竖直方向速度为1v 时，线框中瞬时电

流的大小；

（2） 线框在复合场中运动的最大电功率；

（3） 若线框从开始抛出到瞬时速度大小到达

2v 所经历的时间为t ，那么，线框在时间

t 的总位移大小为多少？

解：（1）因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同，所以产生感应电流为

12

112)(v R

kL R Lv B B R e i =-== (2)当安培力等于重力时竖直速度最大，功率也就最大

R

v L k R v L B B IL B B mg m m 42221212)()(=-=-= 所以4

2L k mgR v m = 4222L

k R g m mgv P m m == （3）线框受重力和安培力两个力

其中重力mg 为恒力，安培力R

v L k R v L B B f z z 422212)(=-=为变力。 我们把线框的运动分解为在重力作用下的运动和在安培力作用下的运动。