第三章复变函数的积分知识课件
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定义1：设 函 数 w f(z)定 义 在 D 内 ， C为区域D内起点为A终点为B的一条 有向光滑的简单曲线．
分 ( 1 ) 把 曲 线 C 任 意 分 成 n 个 小 弧 段 ， 设 分 点 为 ： A z 0 ,z 1 ,z 2 , z k 1 ,z k , ,z n B
其 中 z k x k i y k ( k 0 , 1 ,2 ,,n ) ，
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n
n
证明： f(k) zk[u (k,k) iv (k,k)]( x k i y k)
k 1
k 1
n
n
[ u (k ,k ) x k v (k ,k ) y k ] i [ v (k ,k ) x k u (k ,k ) y k ]
k 1
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( 2 ) 粗 ： 在 每 个 弧 段 z k 1 z k 上 ( k 1 , 2 ,n ) ， 任 取 一 点 k k i k ，
则 f(k ) z k f(k )(z k 1 z k),其 中 z k z k z k 1 x k i y k .
n
n
(3)和 ： f(k)(zk 1zk) f(k) zk,
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第一节 解析函数的概念
➢ 一、积分的定义
有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有
向曲线．与曲线C反方向的曲线记为 C 1
简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部 始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向．
y
n
记 作 ： Cf(z)dzli m 0k1f(k)zk.
C
k zk z k 1
z n 1 zn B
(类 似 于 微 积 分 中 的 曲 线 积 分 ). z1
z0 A
O
x
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( 1 ) 若 C 为 闭 曲 线 ， 则 沿 闭 曲 线 积 分 为 C f ( z ) d z ,(C 的 正 方 向 是 逆 时 针 方 向 ); ( 2 ) 积 分 C f( z ) d z 表 示 沿 曲 线 C 自 A 到 B 的 复 积 分 ，
k 1
k 1
( 4 ) 精 ： 设 表 示 n 个 小 弧 段 的 最 大 长 度 ， 当 0 时 ，
无 论 C 怎 样 分 ， k 怎 样 取 ， 如 果 和 式 的 极 限 唯 一 存 在 ，
则 称 此 极 限 值 为 函 数 f ( z ) 沿 曲 线 C 自 A 到 B 的 复 积 分 .
光 滑 曲 线 C 参 数 方 程 ： y x x y((tt)),t
C f( z ) d z { u [ x ( t ) ,y ( t ) ] i v [ x ( t ) ,y ( t ) ] } { x ( t ) i y ( t ) } d t
复 数 形 式 的 曲 线 C 参 数 方 程 ： z z ( t ) x ( t ) i y ( t ) , t
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法一 计算
C f (z)dz
C f( z ) d z C u ( x ,y ) d x v ( x ,y ) d y i C v ( x ,y ) d x u ( x .y ) d y
Байду номын сангаас
令 f( z ) u i v ,d z d x i d y ,则 C f( z ) d z C ( u i v ) ( d x i d y ) .
大学数学多媒体课件
复变函数
与积分变换
主讲：王兴波教授
佛山科学技术学院
参考用书
➢ 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6 ➢ 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 ➢ 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
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目录
➢第一章 复数与复变函数 ➢第二章 解析函数 ➢第三章 复变函数的积分 ➢第四章 解析函数的级数表示 ➢第五章 留数及其应用 ➢第六章 傅立叶变换 ➢第七章 拉普拉斯变换
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第三章 复变函数的积分
➢3.1 复积分的概念 ➢3.2 柯西积分定理 ➢3.3 柯西积分公式 ➢3.4 解析函数的高阶导数 ➢本章小结 ❖ 思考题
k 1
由 于 函 数 f(z ) 在 光 滑 曲 线 C 上 连 续 ，
u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 在 光 滑 曲 线 C 上 也 连 续 ,
当 0时 ， 上 式 右 端 极 限 存 在 ， 且 有
C f( z ) d z C u ( x ,y ) d x v ( x ,y ) d y i C v ( x ,y ) d x u ( x . y ) d y .
C
C 1
C n
➢二、积分存在条件及其计算方法
定理1：设 函 数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 C 上 连 续 ，
则 复 积 分 C f(z )d z 存 在 ， 且 有 积 分 公 式 ： C f( z ) d z C u ( x ,y ) d x v ( x ,y ) d y i C v ( x ,y ) d x u ( x . y ) d y
注意： ( 1 ) 当 函 数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 C 上 连 续 ，
则 复 积 分 Cf(z)dz存 在 ；
( 2 ) C f ( z ) d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 变 函 数 的 曲 线 积 分 来 计 算 .
积 分 f( z ) d z 表 示 沿 曲 线 C 自 B 到 A 的 复 积 分 . C
( 3 ) 若 曲 线 C 是 由 C 1 , C 2 , C 3 ,C n 等 光 滑 曲 线 段 依 次 相 互 连 接 而 成 ， 则 有
f(z )d zf(z )d z f(z )d z .
分 ( 1 ) 把 曲 线 C 任 意 分 成 n 个 小 弧 段 ， 设 分 点 为 ： A z 0 ,z 1 ,z 2 , z k 1 ,z k , ,z n B
其 中 z k x k i y k ( k 0 , 1 ,2 ,,n ) ，
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证明： f(k) zk[u (k,k) iv (k,k)]( x k i y k)
k 1
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[ u (k ,k ) x k v (k ,k ) y k ] i [ v (k ,k ) x k u (k ,k ) y k ]
k 1
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( 2 ) 粗 ： 在 每 个 弧 段 z k 1 z k 上 ( k 1 , 2 ,n ) ， 任 取 一 点 k k i k ，
则 f(k ) z k f(k )(z k 1 z k),其 中 z k z k z k 1 x k i y k .
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(3)和 ： f(k)(zk 1zk) f(k) zk,
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第一节 解析函数的概念
➢ 一、积分的定义
有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有
向曲线．与曲线C反方向的曲线记为 C 1
简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部 始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向．
y
n
记 作 ： Cf(z)dzli m 0k1f(k)zk.
C
k zk z k 1
z n 1 zn B
(类 似 于 微 积 分 中 的 曲 线 积 分 ). z1
z0 A
O
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( 1 ) 若 C 为 闭 曲 线 ， 则 沿 闭 曲 线 积 分 为 C f ( z ) d z ,(C 的 正 方 向 是 逆 时 针 方 向 ); ( 2 ) 积 分 C f( z ) d z 表 示 沿 曲 线 C 自 A 到 B 的 复 积 分 ，
k 1
k 1
( 4 ) 精 ： 设 表 示 n 个 小 弧 段 的 最 大 长 度 ， 当 0 时 ，
无 论 C 怎 样 分 ， k 怎 样 取 ， 如 果 和 式 的 极 限 唯 一 存 在 ，
则 称 此 极 限 值 为 函 数 f ( z ) 沿 曲 线 C 自 A 到 B 的 复 积 分 .
光 滑 曲 线 C 参 数 方 程 ： y x x y((tt)),t
C f( z ) d z { u [ x ( t ) ,y ( t ) ] i v [ x ( t ) ,y ( t ) ] } { x ( t ) i y ( t ) } d t
复 数 形 式 的 曲 线 C 参 数 方 程 ： z z ( t ) x ( t ) i y ( t ) , t
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法一 计算
C f (z)dz
C f( z ) d z C u ( x ,y ) d x v ( x ,y ) d y i C v ( x ,y ) d x u ( x .y ) d y
Байду номын сангаас
令 f( z ) u i v ,d z d x i d y ,则 C f( z ) d z C ( u i v ) ( d x i d y ) .
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复变函数
与积分变换
主讲：王兴波教授
佛山科学技术学院
参考用书
➢ 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6 ➢ 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 ➢ 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
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目录
➢第一章 复数与复变函数 ➢第二章 解析函数 ➢第三章 复变函数的积分 ➢第四章 解析函数的级数表示 ➢第五章 留数及其应用 ➢第六章 傅立叶变换 ➢第七章 拉普拉斯变换
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第三章 复变函数的积分
➢3.1 复积分的概念 ➢3.2 柯西积分定理 ➢3.3 柯西积分公式 ➢3.4 解析函数的高阶导数 ➢本章小结 ❖ 思考题
k 1
由 于 函 数 f(z ) 在 光 滑 曲 线 C 上 连 续 ，
u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 在 光 滑 曲 线 C 上 也 连 续 ,
当 0时 ， 上 式 右 端 极 限 存 在 ， 且 有
C f( z ) d z C u ( x ,y ) d x v ( x ,y ) d y i C v ( x ,y ) d x u ( x . y ) d y .
C
C 1
C n
➢二、积分存在条件及其计算方法
定理1：设 函 数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 C 上 连 续 ，
则 复 积 分 C f(z )d z 存 在 ， 且 有 积 分 公 式 ： C f( z ) d z C u ( x ,y ) d x v ( x ,y ) d y i C v ( x ,y ) d x u ( x . y ) d y
注意： ( 1 ) 当 函 数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 C 上 连 续 ，
则 复 积 分 Cf(z)dz存 在 ；
( 2 ) C f ( z ) d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 变 函 数 的 曲 线 积 分 来 计 算 .
积 分 f( z ) d z 表 示 沿 曲 线 C 自 B 到 A 的 复 积 分 . C
( 3 ) 若 曲 线 C 是 由 C 1 , C 2 , C 3 ,C n 等 光 滑 曲 线 段 依 次 相 互 连 接 而 成 ， 则 有
f(z )d zf(z )d z f(z )d z .