拉氏变换的基本概念
拉氏变换
于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0
T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st
T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是 周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出 收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换 我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
c语言 拉氏变换
c语言拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的数学工具，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
它是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出的，用于解决微分方程和积分方程的问题。
本文将简要介绍拉氏变换的基本概念、性质以及应用。
我们来了解一下拉氏变换的定义。
拉氏变换是一种通过对函数进行积分得到新函数的变换方法。
对于一个函数f(t)，它的拉氏变换记作F(s)，其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是一个指数函数，s是复平面上的一个点。
通过对函数f(t)进行积分，并乘以指数函数e^(-st)，就得到了它的拉氏变换F(s)。
这个变换可以将一个函数从时域（t域）转换到复平面上的频率域（s域）。
接下来，我们来讨论一下拉氏变换的性质。
拉氏变换具有一系列重要的性质，这些性质对于分析和求解问题非常有用。
首先是线性性质。
对于任意的两个函数f(t)和g(t)，以及对应的拉氏变换F(s)和G(s)，拉氏变换具有线性性质，即：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中a和b是任意常数。
这个性质使得我们可以方便地处理多个函数的变换。
其次是位移性质。
拉氏变换具有位移性质，即：L{f(t-a)} = e^(-as)F(s)这个性质表示，如果将函数f(t)在时间上向右平移a个单位，那么它的拉氏变换将在频率域上乘以一个指数函数e^(-as)。
还有频率缩放性质。
拉氏变换具有频率缩放性质，即：L{f(at)} = (1/a)F(s/a)这个性质表示，如果将函数f(t)的时间缩放为原来的a倍，那么它的拉氏变换将在频率域上缩放为原来的1/a倍。
拉氏变换还具有导数性质、积分性质以及初值定理等重要性质。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来求解微分方程和积分方程，简化了问题的分析和计算过程。
拉氏变换的概念
(Re( s ) > 0).
5
例2. 求指数函数 f (t )= e kt 的拉氏变换 (k为实数). 解
L [ f ( t )] =
∫
+∞
0
e e
kt
− st
dt =
∫
0
+∞
0
e −( s − k )t d t
1 − ( s −k )t =− e s−k
Re(s) >k 时收敛, 且
+∞
1 = s−k
15
作业 P79: 1(2,3,5); 2(4); 4(1)
16
=∫
+∞
0
f (t ) e
− ( β + jω ) t
dt = ∫
f (t ) e d t
− st
其中, s = β + jω , f (t ) = ϕ (t )u (t ),
若记
s−β F ( s ) = Gβ j
则
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t ) e d t
3
− st
F (s) =
∫
+∞
0
f ( t ) e − st d t
在半平面 Re(s)>c 上存在, 并且 F(s)在 Re(s) >c 的半平 面内解析.
7
例3. 求 f (t )=cos kt (k为实数) 的拉氏变换 解. L [cos kt ] =
∫
+∞
0
cos kt e − st d t
1 +∞ j kt − jkt − st = ∫ (e + e ) e d t 2 0 +∞ 1 +∞ − ( s − j k ) t − ( s + jk )t = ∫ e dt + ∫ e dt 0 2 0
信号与系统第6章拉氏变换
t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
留数定理拉氏变换
留数定理拉氏变换拉氏变换是一种重要的数学工具，用于将一个函数从时域转换到频域。
而留数定理则是一种计算复变函数积分的方法，它与拉氏变换有着密切的联系。
本文将分别介绍拉氏变换和留数定理，并探讨它们之间的关系。
一、拉氏变换的基本概念拉氏变换是一种将一个函数从时域转换到频域的方法。
通过拉氏变换，我们可以将一个函数f(t)转换为在复平面上的函数F(s)，其中s是复数变量。
拉氏变换的公式如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t) * e^(-st) dt在这个公式中，L表示拉氏变换运算符，f(t)是待转换的函数，s是复数变量，e^(-st)是一个指数函数。
通过对f(t)进行积分运算，我们可以得到F(s)在复平面上的函数图像。
二、留数定理的基本概念留数定理是一种计算复变函数积分的方法，它利用了复平面上的留数来计算积分值。
留数是一个复变函数在其奇点处的固有性质，它可以用来计算函数在奇点处的积分值。
留数定理的公式如下：∮[C] f(z) dz = 2πi * ∑[k=1,n] Res[f(z), z_k]在这个公式中，∮表示沿着闭合曲线C的积分运算，f(z)是待计算的函数，z是复数变量，Res[f(z), z_k]是函数f(z)在奇点z_k处的留数。
通过计算函数在所有奇点处的留数，并进行求和运算，我们可以得到函数沿着闭合曲线C的积分值。
三、拉氏变换与留数定理的关系拉氏变换和留数定理之间存在着密切的关系。
事实上，拉氏变换可以看作是留数定理的一种特殊情况。
当拉氏变换的参数s取复平面上的奇点时，拉氏变换的积分路径将变为一条闭合曲线。
此时，我们可以利用留数定理来计算拉氏变换的积分值。
具体来说，当参数s取复平面上的奇点时，拉氏变换的积分路径可以选择为以奇点为中心的一个小圆。
在这种情况下，我们可以使用留数定理来计算拉氏变换的积分值。
通过计算奇点处的留数，并进行求和运算，我们可以得到函数在频域上的数值。
总结起来，拉氏变换和留数定理是两个重要的数学工具，它们在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。
7.1拉氏变换的基本概念
存在性进行讨论．
二.例题
例1 求单位阶梯函数 的拉氏变换 .
例2 求指数函数 拉氏变换 .
（t≥0，a为常数）的
例3 求一次函数 拉氏变换 .
（t≥0，a为常数）的
例4 求正弦函数 拉氏变换 .
类似可得：
（t≥0）的
例5 求分段函数 的拉氏变换 .
小结
拉氏变换的定义 几种常见函数的拉氏变换
几种常见函数的拉氏变换
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
第7章 拉普拉斯变换
7.1 拉氏变换的基本概念 7.2 拉氏变换的性质
7.3 拉氏变换的逆变换 7.4 拉氏变换的应用举例
7.1 拉氏变换的基本概念
本讲概要
➢拉氏变换的定 f (t)的定义域为 [0,+∞), 若广义积分
对于数 p 在某一范围内的值收敛, 在此积分就确定了一个参数为 p 的函数 , 记作
函数F(p)称为f (t)的拉普拉斯变换。这时F(p)称为f (t) 的像函数，函数f (t)称为F(p)的像原函数，以上公式 称为函数 f (t)的拉氏变换式，用记号L[f (t)]表示，即
说明：
(1)定义中 , 只要求在 t ≥上0 f (t)有定义 , 为了方便, 假定t<0时, f (t) =0;
§2、1 拉氏变换的概念
我们知道，一个函数除了要满足狄氏条件外，还要在 ( −∞, +∞) 上绝对可积，才存在古典意义下 的傅氏变换．但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正 弦、余弦函数以及线性函数等）都不满足这个条件；其次，还要求进行傅氏变换的函数必须在整个 数轴 ( −∞, +∞) 上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间 t 作为自变量的函数往 往在 t < 0 时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的函数都不能取傅氏变换．由此可见，傅氏变 换的应用范围受到相当大的限制． 对于任意一个函数 ϕ (t ) ，能否经过适当地改造使其进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？这就 使我们想到单位阶跃函数 u (t ) 和指数衰减函数 e
结果发现，只要 β 选得适当，一般说来，这个函数的傅氏变换总存在的．对函数 ϕ (t ) 进行先乘以
u (t )e − β t ( β > 0) ，再取傅氏变换的运算，就产生了 Laplace 变换．
对函数 ϕ (t )u (t )e
−βt
( β > 0) 取傅氏变换，可得
Gβ (ω ) = ∫
+∞ −∞
+ −
∫
+∞ 0
f (t )e − st dt
中的下限取 0 或 0 不会影响其结果．但当 f (t ) 在 t = 0 处包含了脉冲函数时，则 Laplace 变换的积 分下限必须明确指出是 0 还是 0 ，因为 ℒ＋ [ f (t )] = ℒ－ [ f (t )] =
+ −
∫
+∞ 0+ +∞ 0−
+∞ −∞
δ (t )e− st dt = e− st |t =0 = 1 .
补充资料--拉氏变换
1
2 j
ห้องสมุดไป่ตู้
1
+ j
j
X (s )e st ds
1)线性定理 设 X (s) L[ x(t )] （下同）
L[ax(t )] aX ( s)
L[ x1 (t ) x2 (t )] X 1 ( s) X 2 (s)
2)微分定理 dx(t ) L[ ] sX ( s ) x(0) dt 2 dx (t ) 2 L[ ] s X ( s ) sx(0) x(0) 2 dt n dx (t ) L[ ] s n X ( s ) s n 1 x(0) x ( n 1) (0) dt n
7)位移定理（复平移定理）
L[e at x(t )] X (s + a)
8)卷积定理
L[ g (t ) * x(t )] L[ g (t )x( )d ]
0 t
L[ g ( )x(t )d ]
0
t
G ( s) X (s)
三、用拉氏变换求解微分方程
对上式取拉氏逆变换，得
1 t 3 t 1 3t y(t ) e + e e 4 8 8
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是 建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法
北京航空航天大学
d 2 y (t ) dy (t ) 2 T + 2 T + y (t ) kF (t ) 2 dt dt
T称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶 线性定常微分方程。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换
3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
3.信号典型函数 拉氏变换的计算
指数函数
三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
阶跃信号（Step Function）
R t 0 r (t ) R u (t ) 0 t 0
s t 0
f ( ) lim f ( t ) lim SF ( S )
t s 0
证：利用导数性质
lim 0 s 0
d f ( t )e st dt lim[ SF ( S ) f (0 )] s 0 dt
0
d st f ( t ) lim e dt f ( t ) s0 dt 0 f ( ) f ( 0 ) lim SF ( S ) f ( 0 )
反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F (S ) 简写 f (t )
注
1
f (t ) 1 F (S )
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
du (t ) (t ) dt
1 [u (t )] s
δ(t )
推广：
1 d [ u (t )] S 1 dt S
d 2 f (t ) ' [ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt
Laplace变换
t
设：L[ f ( t )] F ( S ) 当t t 0时，f ( t t 0 ) 0
则：L[ f ( t t 0 ) ( t t 0 )] e st F ( S )
0
证：L[ f ( t t 0 )]
0
0
f ( t t 0 )e st dt
st
0
2 Laplace变换的基本性质
一、线性
若L[ f1 ( t )] F1 ( S ) , L[ f 2 ( t )] F2 ( S )
则 L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( S ) bF2 ( S )
证： 0 [af1 ( t ) bf2 ( t )]e dt 0 af1 ( t )e dt 0 bf2 ( t )e dt aF1 ( S ) bF2 ( S )
d 1 1 例1：L[t (t )] ( ) 2 dS S S
d 1 n! ( ) n1 例2：L[t ( t )] ( 1) (n) dS S S
nnຫໍສະໝຸດ (n)例3：L[te
at
d 1 1 ) ] ( 2 dS S a ( S a)
三、积分性质
设：L[ f (t )] F ( S )
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足：
f ( t ) Me
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
ct
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激 。
拉氏变换
2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的定义式为：条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。
由于是一个定积分，将在新函数中消失。
因此，只取决于，它是复变数的函数。
拉氏变换将原来的实变量函数转化为复变量函数。
拉氏变换是一种单值变换。
和之间具有一一对应的关系。
通常称为原函数，为象函数。
【例2-1】求单位阶跃函数(Unit Step Function)1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式。
则单位阶跃函数1(t)定义为：所以在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。
它的拉氏式由定义式有：【例2-2】求单位脉冲函数( Unit Pulse Fuction )δ(t)的象函数函数的特点是：单位脉冲函数定义为：在时及在时为0，在时，由0→+∞；又由+∞→0。
但对时间的积分为1。
即单位脉冲传递函数的拉氏式，由定义式有：【例2-3】求与1(t)间的关系。
由以上两例可见，在区间(0，ε)里，，而，所以由上式有：由上式有：由式(2-4)和式(2-5)可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。
反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。
【例2-4】求正弦函数 (Sinusoidal Function) f(t)=sinωt的象函数。
实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。
通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，十分方便。
常用函数的拉氏变换对照表见表2-1。
表2-1 常用函数拉氏变换对照表序原函数象函数号1 12345678910111213142.2 拉氏变换的运算定理1.叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。
即2.比例定理K 倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K 倍。
即3.微分定理在零初始条件下，即则上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以。
拉氏变换
t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义 设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为： 傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。 例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一 拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数， 拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
第2章 拉氏变换
证
d L[ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
| f (t )( s )e st dt
0 0
f (0) s f (t )e st dt sF ( s ) f (0)
0
t
图 2 - 7 单位阶跃函数
第1章 自动控制系统概述
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e st dt
0
1 st 1 e |0 s s
单位阶跃函数如图 2 - 7所示。
(2 - 24)
第1章 自动控制系统概述
【例2】 求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。
第1章 自动控制系统概述
第1章 自动控制系统概述
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时， 常需要借助于拉氏变换运算 定理， 这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以 证明。 下面介绍几个常用定理。 1) 叠加定理
两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变
换的代数和。 即
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )]
第1章 自动控制系统概述
当初始条件f(0)=0时， 有 L ［f′(t)］=sF(s) L ［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0) … L ［f (n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f (n-1)(0)
同理， 可求得
第1章 自动控制系统概述
若具有零初始条件， 即 f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 则 L［f″(t)］=s2F(s) … L［f(n)(t)］=snF(s)
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换定义
拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。
拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。
通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。
拉氏变换的一个重要性质是线性性质。
即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。
拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。
平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。
拉氏变换还有微分和积分性质。
微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。
积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。
拉氏变换的应用非常广泛。
在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。
第三章拉氏变化
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
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换），记作L[f(t)]=F(s). 也称f(t)为F(s)的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t). L1
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t)=0 2）s本来是复数，为方便，假定s为实数。不影响讨论 3）是一种积分变换（另一种：傅里叶变换）
L[eat]=
1 sa
(p>a)
线性系统及其主要性质
非线性系统
dy (t ) y 2 (t ) x(t ) dt
d 2 y (t ) dy(t ) y (t ) 3 2 x(t ) 2 dt dt 非线性系统可以在一定范围内近似为线性 系统。也可对非线性系统输出进行线性化处理。 因此，对线性系统的研究变得更为重要。
• 实频特性和虚频特性曲线图： P()
()
Q()
• 伯德(Bode)图（对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线）
• 系统的奈奎斯特(Nyquist)图： Q() P()
脉冲响应函数h(t)
若系统的输人为单位脉冲函数δ(t)，则X(s)= L[δ(t)]=1。装置输出的拉氏变换为Y(s)=H(s)X(s) =H(s)，然后将其进行拉氏逆变换得
回程误差=
hmax ×100％ A
回程误差的测量
测试系统的静态特性
其他指标
精确度 漂移 信噪比(SNR) 测量范围
相对误差 引用误差 点漂 零漂 温漂
Ns Vs SNR 10lg 20lg dB Nn Vn
动态范围(DR)
y max DR 20lg y min
3.3 测试系统动态特性
在传递函数H(s)中，s=α+jω，令α=0即s=jω，便可求得频率
响应函数H(jω)，
频率响应函数有时记为H(jω)，以此来说明它来源于H(s)
中s=jω。
频率响应函数
可将H(ω)的实部和虚部分开，记为
在工程领域中，常用特性曲线来描述系统的传输特性。
• 幅频特性曲线和相频特性曲线：A()
特点
输入量随时间变化 主要取决于测试系统结构，而且与输入信号有关
把测试系统这个物理系统抽象成数学模型，而不管其
输入输出量的物理特性(即不管是机械量、电量或热学 量等)，分析输入信号与响应信号之间的关系
描述方法
时域微分方程 频率响应函数 H(jw)
线性时不变系统
传递函数H(s)
传递函数
初始条件为零的前提条件下，将输出量和输入量 两者的拉普拉斯变换之比定义为该系统的传递函数H(s)
Y(s) bms bm-1s b1s b0 H(s) n n-1 X(s) a ns a n-1s a1s a 0
m m-1
传递函数特点
• 只反映系统本身的传输特性，与输入和初始条件均无关 与系统具体的物理结构无关 输入z(t)和输出y(t)常具有不同量纲 • H(s)中的分母取决于系统的结构
测试与传感技术
孙裕晶 2012.11.26
回 顾
测量电路 ……
电位计式 电桥电路 电荷处理（放大）器 交流信号幅值和相位处理电路
回 顾
信号放大 ……
测量放大器
隔离放大器
滤波
……
调制与解调 ……
学习内容导航 ……
测试信号及其分析
测试系统的特性
被测量
传感器
测试系统
激励装置
信号调理
系统原则：理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入输出关系。 线性系统
线性系统特性 静态特性 动态特性 实现不失真测试条件
3.1 线性系统及其主要性质
时不变线性系统（定常线性系统）
d n y (t ) d n1 y (t ) dy(t ) an an1 a1 a0 y (t ) n n 1 dt dt dt d m x(t ) d m1 x(t ) dx(t ) bm b b b0 x(t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
线性时不变系统
脉冲响应函数h(t)
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉氏变换的基本概念
设函数f(t)的定义域为[0， ),若广义积分
0
f (t )e
pt
dt
对于p的某一范围内的值收敛于F(s)，即F(s)= st
0
f (t )e dt
则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数，拉氏变
n>m，表明系统是稳定的 系数a0、al、…、a0和b0、bl、…、b0均为常数，
线性系统主要性质：
1．叠加性 2．比例特性 3．微分特性
x(t ) y(t )
dx (t ) dy (t ) dt dt
4．积分特性 xi (t ) X i sin(i t x ) yi (t ) Yi sin(i t y ) 5．频率保持特性 x(t ) y(t ) 信号经过测试装置后，幅值可能放大或缩小，相位也可能发生变化，但频率不会变化。
e
st 0
F ( s)
f (t )e at
F ( s a)
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
t 0
1 s F a a
s
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
lim f (t ) f () lim SF ( s )
即幅频特性保持常值，相频特性为输入信号频率 的线性函数。也就是说信号的不失真测试有一定的 频率范围。 3)当对测试系统有实时要求，即t0=0。
总结
线性系统
静态特性参数 动态特性描述方法 测试系统标定
并联
N阶系统
实现不失真测试的条件
所谓测试系统实 现不失真测试，就是 被测信号通过测试系 统后，其波形形状不 发生改变。
幅频特性保持常值 相频特性为输入信号频率的线性函数
不失真测试对测试系统的要求
1)装置的幅频特性即灵敏度在量程范围内要求为常值， 即A0=常数。任何非线性度、回程误差、漂移的存在， 都会引起测试波形的失真。 2)系统的频率特性要满足式
t s 0
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 (s).F2 (s)
1 F1 ( s) * F2 ( s) 2j
f1 (t ). f 2 (t )
时域微分方程
d n y (t ) d n1 y (t ) dy(t ) an an1 a1 a0 y (t ) n n 1 dt dt dt d m x(t ) d m1 x(t ) dx(t ) bm bm1 b1 b0 x(t ) m m 1 dt dt dt
信号处理
显示记录
测试系统结构
常用传感器原理及应用 信号的变换与处理
应变片电测技术 测试系统应用及实例 振动、温度与湿度测量 压力和流量的测量 虚拟仪器测试技术
第5章 测试系统的基本特性
研究测试装置的特性，主要是分析和处理系统 的输入量x(t)、输出量y(t)以及装置本身的传输特 性h(t)三者之间的关系。
一阶系统
() arctan ( )
二阶系统
n、k ——固有频率和幅频特性曲线峰值频率
1、2 ——幅值的-3dB频率点
动态特性参数的测定
阶跃响应法
一阶系统
从z-t曲线的斜率即可求得时间常数
二阶系统
M——欠阻尼阶跃响应最大超调量
测试环节的联接
任何高阶系统都可看做是由若干个一阶系统和二 阶系统的串联或者并联。 串联
1 L[t]= 2 s
(s>0) (s>0)
(s>0)
L[sin t]= 2 s 2
p L[cos t]= 2 s 2
常用拉氏变换公式
0, t 0 u(t ) 1, t 0
0, t 0 (t ) , t 0
1 L[u(t )] s
根据拉氏变换的性质，h(t)、x(t)、y(t)三者之 间的关系如上图所示。即
测试系统动态模型关系
综上所述，传递函数、脉冲响应函数 和频率响应函数分别是在复数域、时域 和频域中描述测试系统的动态特性。三 者是一一对应的。h(t)和H(s)是拉氏变换 对，h(t)和H(jω)是傅氏变换对。
动态特性指标
L[ (t )] 1
拉氏变换的基本性质(1)
线性 微分 积分 时移 频移 k 来自 (t)i 1 i i
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f ' (0 ) s s
t
f ( ) d
f (t t0 )u(t t0 )
分母中的最高幂次n代表系统微分方程的阶数，也是测试系统的阶数； 分子则与外界因素(如输入方式、被测量等)有关。
频率响应函数
定常线性系统在正弦信号的激励下其稳态时的输出信号和 输入信号的幅值比定义为该系统的幅频特性，记为A(ω)；稳态 输出和输入的相位差定义为该系统的相频特性，记为φ（ω)。 二者统称为系统的频率特性。 将A(ω) 、φ(ω)构成一个复数H(ω)，称为频率响应函数
一阶系统
dy(t) y( t ) x ( t ) dt τ——时间常数
一阶系统动态特性
一阶系统传递函数通式
S——系统的灵敏度 1 S=1，将系统作为归一化系统研究： H( j ) j 1
一阶系统的频率响应函数
A() H( j ) 1 1 ( )2