2018高考数学立体几何含答案(最新整理)

5 ⎧⎪n ⋅ ⎨ 2018 高考数学立体几何答案

1.（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC − A 1B 1C 1 中， CC 1 ⊥ 平面 ABC ，D ，E ，F ，G 分别为 AA 1 ，AC ， A 1C 1 ， BB 1 的中点，AB=BC = ，AC = AA 1 =2．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面 BEF ；

（Ⅱ）求二面角 B−CD −C 1 的余弦值；

（Ⅲ）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．

【解析】（1）在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， Q CC 1 ⊥ 平面 ABC ，

∴ 四边形 A 1 ACC 1 为矩形．又 E ， F 分别为 AC ， A 1C 1 的中点，

∴ AC ⊥ EF ， Q AB = BC ，∴ AC ⊥ BE ，

∴ AC ⊥ 平面 BEF ．

（2）由（1）知 AC ⊥ EF ， AC ⊥ BE ，

EF ∥CC 1 ． 又CC 1 ⊥ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ 平面 ABC ．

Q BE ⊂ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ BE ．

如图建立空间直角坐称系 E - xyz ．

由题意得 B (0, 2, 0) ， C (-1, 0, 0) ， D (1, 0,1) ， F (0, 0, 2) ， G (0, 2,1) ， ∴CD =(2, 0,1) ， CB =(1, 2, 0) ，设平面 BCD 的法向量为 n = (a , b , c ) ， u u u r CD = 0 ∴⎨ uur n ⋅ ，∴⎧2a + c = 0 ， a + 2b = 0 ⎩

⎪ CB = 0 ⎩ 令 a = 2 ，则b = -1 ， c = -4 ，∴ 平面 BCD 的法向量 n = (2, - 1，, - 4) ，

又Q 平面CDC 的法向量为EB=(0, 2, 0)，∴cos

>=

n ⋅EB

= -

21

．

1EB uur

n EB 21

由图可得二面角B -CD -C1为钝角，所以二面角B -CD -C1的余弦值为-

21

．21

（3）平面BCD 的法向量为n =(2, - 1, - 4)，Q G (0, 2,1)，F (0, 0, 2)，

∴GF =(0, - 2,1)，∴n ⋅GF =-2 ，∴n 与GF 不垂直，

∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交

2．（本小题14 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ， E ，F 分别为AD ，PB 的中点．

（1）求证：PE ⊥BC ；

（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；

（3）求证：EF∥平面PCD ．

【解析】（1）Q PA =PD ，且E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD ，

Q 底面ABCD 为矩形，∴BC∥AD ，∴PE ⊥BC ．

（2）Q 底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，

Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，

∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，Q PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．

（3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．

Q F ，G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG∥BC ，且FG =1 BC ，

2

Q 四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED∥BC ，DE =1 BC ，

2

∴ED∥FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，

∴EF∥GD ，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，

∴EF∥ 平面PCD ．

3 2 3 ⋅

2 3 3．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， E , F 分别为 AD , BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF ⊥ BF .

（1） 证明：平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ；

（2） 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.

解答：（1）

E ,

F 分别为 AD , BC 的中点，则 EF / / AB ，∴ EF ⊥ BF ， 又 PF ⊥ BF ， EF ⋂ PF = F ，∴ BF ⊥ 平面 PEF ，

BE ⊂ 平面 ABFD ，∴平面 PEF ⊥ 平面 ABFD .

（2） PF ⊥ BF ， BF / / E D ，∴ PF ⊥ ED ，

又 PF ⊥ PD ， ED ⋂ DP = D ，∴ PF ⊥ 平面 PED ，∴ PF ⊥ PE ，

设 AB = 4 ，则 EF = 4 ， PF = 2 ，∴ PE = 2 ，

过 P 作 PH ⊥ EF 交 EF 于 H 点，

由平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ，

∴ PH ⊥ 平面 ABFD ，连结 DH ，

则∠PDH 即为直线 DP 与平面 ABFD 所成的角，

由 PE ⋅ PF = EF ⋅ PH ，∴ P H = = ， 4

而 PD = 4 ，∴ sin ∠PDH =

PH = 3 ，

PD 4 ∴ DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 3

. 4 4．（12 分）如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB = BC = 2 AC 的中点．

（1） 证明： PO ⊥ 平面 ABC ；

， PA = PB = PC = AC = 4 ， O 为

（2） 若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M - PA - C 为30︒ ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．

2