典型例题：推理与证明

第二章《推理与证明》章末复习习题

考试要求

1．了解合情推理的思维过程；

2．掌握演绎推理的一般模式；

3．会灵活运用直接证明和间接证明的方法，证明问题；

4．掌握数学归纳法的整体思想.

典例精析精讲

例1 、如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点.

（1）求证：直线AE ∥平面BDF ；

（2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．

证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG .

由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点.

又∵F 是EC 中点，∴在△ACE 中，FG ∥AE .

∵AE ⊂/平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD ；

（2）∵π2AEB ∠=，∴AE BE ⊥.

又∵直线BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥.

又BC BE B =，∴直线AE ⊥平面BCE .

由（1）知，FG ∥AE ，∴直线FG ⊥平面BCE .

例2 已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）. （Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1n n n c a n +=

，12........n n T c c c =+++试比较n T 与521

n n +的大小，并予以证明.

解：（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令n =1，可得1112n S a a =--+=，即112a =.

例1图

当2n ≥时，21111111()2()22

n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，， 11n 1112a (),212

n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2. 112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b .

又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2n n n n n n b n n a a =+-⋅==∴=

. (II)由（I ）得11(1)()2

n n n n c a n n +==+，所以 23111123()4()(1)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++， 2341111112()3()4()(1)()2222

2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++. 由①-②得231111111()()()(1)()22222

n n n T n +=++++-+ 11111[1()]133421(1)()122212332

n n n n n n n n T -++-+=+-+=--+∴=- 535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++.

于是确定521

n n T n +与的大小关系等价于比较221n n +与的大小. 由23

452211;2221;2231;2241;225;

<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+<⨯ 可猜想当322 1.n n n ≥>+时，

证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立.

（2）假设1n k =+时，

12222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=>+=+=+++->++. 所以当1n k =+时猜想也成立.

综合（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有22 1.n n >+

证法2：当3n ≥时，

01210112(11)2221n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n n --=+=+++++≥+++=+>+

综上所述，当1,2n =时521n n T n <+，当3n ≥时521n n T n >+.

例3 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1n n n

a b n N a +=∈-. （I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；

（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；

（III ）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32

n T <. 解：（I ）当1=n 时，111151,4

=+∴=-a S a . 又1151,51++=+=+n n n n a S a S ，

11115,4即+++∴-==-n n n n n a a a a a .

∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14

=-q 的等比数列. ∴1()4=-n n a ，*14()4()11()4

+-=∈--n n n

b n N . （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立.

证明：由（I ）知14()5441(4)11()4

+-==+----n n n n b . 2122125

55201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)--⨯-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k b b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *=∈.