最短路讲义问题应用
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
最短路问题(讲稿),截断切割题目与参考答案,最优截断切割问题参考案例
截断切割B题截断切割题目某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。
3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a.r=1 e=0 ;b.r=1.5 e=0 ;c.r=8 ,e=0 ;d.r=1.5;2≤e≤15对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
B题截断切割参考答案（1）需考虑的不同切割方式的总数V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作不代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。
（2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。
目标函数应尽量用显式写出。
求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准：（3）一种作法如下：在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例介绍最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在日常生活中有着广泛的应用，例如导航系统、网络路由以及物流配送等场景中都需要解决最短路问题。
本文将通过实际案例来深入探讨最短路问题及其应用。
什么是最短路问题？最短路问题是指在一个给定的图中，找到两个顶点之间的最短路径。
通常情况下，路径的长度可以通过边的权重来衡量。
最短路问题可以分为单源最短路问题和全源最短路问题，前者是指从一个固定的起点出发，求到图中其他所有顶点的最短路径；后者是指求图中任意两个顶点之间的最短路径。
实际案例：导航系统导航系统是最短路问题的一个典型应用。
当我们使用导航系统来规划路线时，系统需要找到最短路径以优化我们的行车时间。
下面以一个具体案例来说明导航系统如何解决最短路问题。
案例场景假设我们身处一座陌生的城市，想要前往城市中心的一个著名景点。
我们打开导航系统，输入起点和终点信息。
导航系统会根据地图数据自动生成最短路径，并提供导航指引。
导航系统的实现导航系统实现最短路径规划的过程可以分为以下几个步骤：1.构建路网图：将城市中的道路以及交叉口等信息转化为图的形式。
图中的节点表示交叉口，边表示道路，边的权重可以表示行驶距离、时间等。
2.选择算法：根据实际需求选择合适的最短路径算法。
常见的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和A*算法等。
3.计算最短路径：根据选定的算法，在路网图上计算起点到终点的最短路径。
算法会考虑边的权重以及路径的方向等因素。
4.导航指引：根据计算得到的最短路径，导航系统会生成具体的导航指引，包括行驶指示、路口转向、距离和预计时间等信息。
优化策略导航系统通过不断的优化，提高了最短路径的计算效率和准确性。
以下是几种常见的优化策略：1.路网数据更新：导航系统会及时更新路网数据，包括道路信息、交通状况等。
这样可以保证计算得到的最短路径更准确。
2.平行算法：为了加快计算速度，导航系统采用并行算法来计算最短路径。
最短路问题及其应用——最短路径
最短路问题及应用摘要:主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。
关键词：最短路获克斯特拉(Dijkstra)，弗罗伊德(Floyd)算法1.引言图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等。
这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意。
在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题。
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础，最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点，很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
2.最短路算法2.1 最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的，该ij算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。
但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。
第六章6.2最短路问题
第三步：若网络图中已无T标号点，停止 计算。否则,令 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。
T (v j0 ) min T (v j )
v j s
,
然后将 v j0 的T 标号改成P 标号 ，转入第
（5） D氏标号法（Dijkstra）的特点
（获得的附加信息）：
能得到从 1 （起点）到各点的最短 路线和最短路长。
v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 8.8 8.6 5.6 8 6
v2 8.8 0 8 5 13 4
v3 8.6 8 0 3 4.8 12
v4 5.6 5 3 0 7.8 9
v5 8 13 4.8 7.8 0 9
v6 6 4 12 9 9 0
v1 v1 v2 பைடு நூலகம்3 v4 v5 v6 0
v
求A到H、I的最短路及最短路长，并对图 (a)和(b)的结果进行比较。
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最 短路长22；A到I的最短路 PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长 21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路 长20；
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的） （2）应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
二、最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra）
v5 8 100 4.8 12 0 9
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。
最短路问题专业知识讲座
5
0
5
V2
38
6 6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
9
(7) 找出全部与v1,v2,v3,v4,v5,v6相邻旳未标识旳点v7， 求出从v1经过v5到这些点旳距离(v1->v2->v6->v5->v7:13) 以及经过v6到这些点旳距离(v1->v2->v6->v7:14)找出这些 距离中最短旳途径为v1->v2->v6->v5->v7，最短距离为 L15=13，将v7标识为13。至此全部点都已标识，即求出 了v1到全部其他点旳最短途径
5
5
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
(4)找出全部与v1,v2,v3相邻旳未标识旳点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点旳距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 旳距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点旳距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短旳途径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标识为6
数学模型
目的函数： P : min z
ij fij
(vi ,v j )A
fij 0或1, (vi , v j ) A
s.t.
fij f ji 1, i s
最短路应用问题课件 15页PPT文档
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
25
20 10
0
55
10
25
25 55
0
实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
运筹学及其应用10.2 最短路问题
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
v8
18
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
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v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
19
v2 5,3 1
9
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
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6
1
2
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v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
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v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
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2
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1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
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2
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∞,1
∞,1
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3
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v8
11
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
最短路算法上课ppt
优点
缺点
优点
优点
效率低，需要遍历所有点（特别是有时候不需要最优解）、运算中占用空间大
缺点
算法简明易懂、并且一定能得到最优解
优点
Dijkstra算法可能不是最优先使用的方法，因为算法的运算速度效率，往往要比精确度更加重要
实际运用
但似乎在实际运行时效果并不理想！ 这样利用Dijkstra算法设计一个属于我们自己的导航系统啦。
最佳优先搜索简介
这个算法的运算流程跟Dijkstra的流程类似，只不过它考察的是选取点到终点的距离，并且这个距离的权值是评估出来的，这也就是启发式的思想。举例说明，如果说目标的终点在北面，那么越靠近北面的点权值就越小，那么算法在搜索过程中，所加入点集的点就会倾向于北面，因此不用搜索全图东南西北，更多的是搜索北面的点，速度来说会优于Dijkstra算法很多。
01
A*算法能够解决有固定障碍物的路径规划问题，并且能很快地给出解，但是当障碍物是移动的时候，我们又应该如何对算法进行改从而给出解呢？
02
一个典型问题：AGV小车线路规划！
智能码头：AGV
AGV中文名：自动导引小车
是自动化码头水平运输系统中用于搬运集装箱的搬运设备。
其主要职责：就是在规定的时间窗口范围内完成堆场和岸桥之间实现集装箱的传送。
一
算法的描述上看去相当复杂，我们给出下面例子来具体说明整个算法的运行流程！
首先我们要有如下概念：
假设P：v→km是从顶点v到km的一条最短路径，那对这条路径上任意其他一点ki，都有 P上关于v→ ki的子路径为v到点ki的最短路径。
即最短路径的子路径仍然是最短路径，最短路算法本质上上基于这种思想展开的。
最短路问题及相关算法介绍
63 最短路问题PPT课件
6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
1
6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
2
8 2
1
2
9
4
3
5
5 1
2
6
8
8
11
2
1
4 2
4
7
12
现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度最短? 3
8
最短路问题
2
9
5
8
4 8
22
（2）
1
3
5
（0）
1 2
6
8
8
11
2
1
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2
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4
7
12
现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
9
最短路问题
（6）
2
9
8
6
4 8
22
（2）
1
3
5
5 2
76
1
8
8
（0） 11
2
1
11
4 12
4 2
7
现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
10
最短路问题
最短路问题
（6）
2
9
8
6
4 8
22
（2）
1
3
5
15
5
1 2
7
（7） 6
8
15
8
（0） 11
2
1
8
11
4
4
11
第1讲_最短路问题
(1) 若 V1 V， E1 E,且当 e E1 时， 特 1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图． 别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2)
设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij )nn ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
e1 1 M= 1 0 0
注：假设图为简单图
e2 e3 e4 e5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )nm ，其中：
公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从 其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任 意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路， 使得总成本最小？ 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每人一项。由于各员工的特点不同， 不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总 回报最大？ 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线 （从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是 我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
第8讲：最小生成树与最短路的应用(第2次课)
1
最 短 路 的 应 用
第 八 讲 最
最短路问题的引入和概述
2
最 短 路 的 应 用
第 八 讲 最
最短路问题同样属于典型的基于图的网络优化 最短路问题同样属于典型的基于图的网络优化 问题 问题，路径（path） 问题，路径（path）类似于现实世界中的两个地 点之间的途径（多种途径），我们的着眼点在于： ），我们的着眼点在于 点之间的途径（多种途径），我们的着眼点在于： 设计或寻找（更快地寻找） 设计或寻找（更快地寻找）某种具有最优特性的 最短路径及其算法（更一般的情况：点权、 最短路径及其算法（更一般的情况：点权、路径 权关于边权的函数、以及约束？）。 权关于边权的函数、以及约束？）。 在地理旅游、交通运输、 在地理旅游、交通运输、通讯电力等领域经常 都能遇到最短路问题， 都能遇到最短路问题，如管道网 建设、公路网路程、 建设、公路网路程、计算机通讯网 输电线网成本等等。 /输电线网成本等等。最短路算法及 其实现， 其实现，正是解决这些网络最优化 问题的重要途径之一。 问题的重要途径之一。
最小生成树与最短路的区别
最小生成树： 最小生成树： 图中所有生成树 生成树中边权 图中所有生成树中边权 和最小的一颗树
6
最 短 路 的 应 用
第 八 讲 最
最短路： 最短路： 图中连接两点间 两点间的所有 图中连接两点间的所有 路径中路径权(边权的函 路径中路径权 边权的函 数)最小的一条路径 最小的一条路径
11
最 短 路 的 应 用
第 八 讲 最
最短路算法-DJ程序
for i=1:n if i~=start l(i)=inf; end end S(1)=start;u=start; while length(S)<n for i=1:n ins=0; for j=1:length(S) if i==S(j) ins=1; end end if ins==0 v=i; if l(v)>(l(u)+A(u,v)) l(v)=(l(u)+A(u,v)); f(v)=u; end end end v1=0; k=inf; for i=1:n ins=0; for j=1:length(S) if i==S(j) ins=1; end end