原子半径和离子半径

1 U (r ) = 2
N i =1 N
Eb＝EN－E0
∑∑
j
N ' u ( rij ) = 2
N
∑ u (r
j ≠1
1j
)
表示相距为r的两个原子之间的互作用势能。 其中， 其中，u(r)表示相距为r的两个原子之间的互作用势能。
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部分原子和离子半径
元 素 H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar 共价半径 0.37 -1.23 0.89 0.80 0.77 0.74 0.74 0.72 -1.57 1.36 1.25 1.17 1.10 1.04 0.99 -金属半径 --1.52 1.12 ------1.86 1.60 1.43 -----离子半径 (-1) 2.08 -(+1) 0.6 (+2) 0.31 (+3) 0.20 0.15 (-4) 0.11 (-3) 0.09 (-2) 0.07 (-1) -(+1) 0.95 (+2) 0.65 (+3) 0.50 0.41 (-4) 0.34 (-3) 0.29 (-2) 0.26 (-1)
A （单位：）
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(+4) (+5) (+6) (+7)
2.60 1.71 1.40 1.36
(+4) (+5) (+6) (+7)
2.71 2.12 1.84 1.81
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A comparison of some atomic and ionic radii
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§3-6 原子和离子半径(radii of atoms and ion)
原子半径(atoms radii) 原子半径 离子半径的计算方法 (calculating methods of ion radii) 本节思路：给出原子半径和离子半径的计算方法。 本节思路：给出原子半径和离子半径的计算方法。
ns轨道 ns轨道
(n=1,2,3)
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pi轨道
(i=x,y,z)
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Summary atoms radii
metal radii covalent radii Van Der Waals radii
calculating methods of ion radii
di轨道
(i=xy,xz,yz,x2-y2,z2)
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•多电子原子的能级 多电子原子的能级
能级） 电子构型的表示(价电子和满壳层电子) E（能级）; 电子构型的表示(价电子和满壳层电子)
而
f (rm ) = −
du ( r ) rm dr
|
即表示晶格所能容耐的在一个方向上的最大张力（ 即表示晶格所能容耐的在一个方向上的最大张力（抗张 强度）。 强度）。 4 体弹性模量 体弹性模量与晶体的总的互作用势能的关系为
∂ 2U K 0 = V0 ( 2 )V0 ∂V
其中V 是晶体平衡时的体积。 其中V0是晶体平衡时的体积
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二、晶体的结合类型
晶体结合的类型主要由以下四种：离子性结合、共价结合、 晶体结合的类型主要由以下四种：离子性结合、共价结合、 范德瓦耳斯结合，此外还有氢键结合。 金属性结合和 范德瓦耳斯结合，此外还有氢键结合。 1 离子性结合（ binding） 离子性结合（Ionic binding） 电离能较小的金属原子与电子亲合能较大的非金属原子 较小的金属原子与电子亲合能 当电离能较小的金属原子与电子亲合能较大的非金属原子 相互接近时，前者容易放出最外层的电子而成正离子， 相互接近时，前者容易放出最外层的电子而成正离子，后者容 易接受前者放出的电子而变成负离子，出现正、 易接受前者放出的电子而变成负离子，出现正、负离子间的库 仑作用，从而结合在一起。另一方面，由于异性离子相互接近， 仑作用，从而结合在一起。另一方面，由于异性离子相互接近， 其满壳层的电子云交迭而出现斥力（泡利原理所致）， ），当两种 其满壳层的电子云交迭而出现斥力（泡利原理所致），当两种 作用相抵时，达到平衡。异性离子间的互作用力称为离子键 离子键。 作用相抵时，达到平衡。异性离子间的互作用力称为离子键。 靠离子性结合的晶体称为离子晶体 离子晶体。 靠离子性结合的晶体称为离子晶体。
确定原子半径的因素： 确定原子半径的因素： 原子核很小，确定原子半径的主要因素是核外电子云。 原子核很小，确定原子半径的主要因素是核外电子云。 晶体中的原子，其电子云与孤立原子的电子云不同， 晶体中的原子，其电子云与孤立原子的电子云不同， 而且同一种原子在不同结构中电子云的分布不同。因此， 而且同一种原子在不同结构中电子云的分布不同。因此， 原子和离子的半径因晶体结构不同而异。 原子和离子的半径因晶体结构不同而异。
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用X射线衍射测出最近两离子的核间距r0，利用以下联立方程即 射线衍射测出最近两离子的核间距r 可求出等电子离子晶体中正负离子的半径
R+ = C Z+ −σ
R− =
C Z− −σ
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泡林方法(Pauling method) 泡林方法 泡林认为，离子的大小主要取决于最外层电子的分布， 泡林认为，离子的大小主要取决于最外层电子的分布，对 于等电子离子，离子半径与有效电荷Z-σ成反比，即 成反比， 于等电子离子，离子半径与有效电荷 成反比 C R = Z −σ 式中R为离子半径， 是由外层电子主量子数决定的常数 是由外层电子主量子数决定的常数， 式中 为离子半径，C是由外层电子主量子数决定的常数，Z 为离子半径 为原子序数， σ为屏蔽常数 σ已有一些经验值 为屏蔽常数， 已有一些经验值。 为原子序数， σ为屏蔽常数， σ已有一些经验值。对于等电 子离子，其屏蔽常数相等。 子离子，其屏蔽常数相等。
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氢原子的能级
N 壳层 L 子壳层 M 轨道 MS 两个自旋
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2s1;3s1;4s1
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电子填充的三个原则 1)能量最低原理 1)能量最低原理 2)Pauli不相容原理 2)Pauli不相容原理 3)Hund规则 3)Hund规则
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时原子间产生吸引力； 当原子间距 r>r0 时原子间产生吸引力；当r＝rm 时， 此吸引力达到最大值， 吸引力就逐渐较小。 此吸引力达到最大值，当r>rm 时，吸引力就逐渐较小。
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R + + R − = r0
泡林利用上面式子，计算了 型离子的单价半径， 泡林利用上面式子，计算了NaF型离子的单价半径，再利用 型离子的单价半径 公式 Rη = R1η − 2 /( n −1 ) 可求出η价离子的晶体半径R 是波恩常数。 可求出η价离子的晶体半径Rη，n是波恩常数。
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二、 离子半径的计算方法 (calculating methods of ion radii) 0 几种离子晶体最近邻离子的核间距（单位： 几种离子晶体最近邻离子的核间距（单位： ） A NaF2.31，KF 2.66，两者相差 ， ，两者相差0.35 NaCl与KCl相差 相差0.33 与 相差 NaBr与KBr相差 相差0.32 与 相差 这些差值都比较接近,它们的差异应是钠和钾离子的 这些差值都比较接近 它们的差异应是钠和钾离子的 半径之差. 也就是说,离子似乎应有一个 确定” 离子似乎应有一个“ 半径之差 也就是说 离子似乎应有一个“确定”的尺 寸. 人们已用不同的方法计算了大部分离子的半径，常采 用的是高希米特（Goldschmidt）半径和泡林(Pauling) 半径。
Pauling method
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键方法部分知识
氢原子的能级 |n,l,m,mS〉 E（能级） 和 |Ψ|2 （s,p,d轨道） 能级） s,p,d轨道） 轨道 多电子原子的能级 能级） E（能级） 电子构型的表示 电子填充的三个原则
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一、原子半径(atoms radii) 原子半径( ) 原因( 原因(reasons)： ) 在晶体生长、 在晶体生长、半导体材料制备和陶瓷材料改性中经 常掺杂些替代原子。掺杂替代原子， 常掺杂些替代原子。掺杂替代原子，不仅要考虑原子的原 子价，还必须考虑原子的尺寸，即原子的半径。 子价，还必须考虑原子的尺寸，即原子的半径。
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3 互作用势的一般性质 u(r)－ f(r)－ 曲线） （u(r)－r 及f(r)－r曲线）
由两原子间的互作用势可以 得出其互作用力为
f (r ) = − du ( r ) mA nB = − m +1 + n +1 dr r r
原子间的相互作用 Department of Physics, Northwest University
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当r＝r0 时，
f (r0 ) = −
du ( r ) r0 dr
| =0
互作用势达到极小值，由此确定原子间的平衡距离。 互作用势达到极小值，由此确定原子间的平衡距离。 当r＝rm时，
df (r ) d 2u ( r ) ( ) rm = −( ) |rm = o 2 dr dr
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金属半径(metal radii) 金属半径 对于金属结构，原子的半径称为金属半径。 对于金属结构，原子的半径称为金属半径。 金属半径为核间距的一半。 金属半径为核间距的一半。 共价半径（ 共价半径（covalent radii） ） 共价结合的晶体，原子的半径称为共价半径。 共价结合的晶体，原子的半径称为共价半径。 共价晶体，核间距的一半定义为共价半径。 共价晶体，核间距的一半定义为共价半径。 范德瓦尔斯半径(Van Der Waals radii) 范德瓦尔斯半径 分子晶体中的原子半径称为范德瓦尔斯半径，它定义为： 分子晶体中的原子半径称为范德瓦尔斯半径，它定义为： 分子晶体中相邻分子间两个近邻的非成键原子之间核间距 的一半。 的一半。
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第三章小结
一、晶体的结合能 1 结合能的定义 其中， 是晶体的总能量， 是组成该晶体的N 其中，E0 是晶体的总能量，EN 是组成该晶体的N个原子 在自由状态时的能量， 即为晶体的结合能。 在自由状态时的能量，Eb即为晶体的结合能。 2 结合能的一般形式