根轨迹绘制例题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
j 1
或 p1 116 .57 根据对称性，可得： p 2 116 .57
i 1 i2
根轨迹与虚轴的交点： 系统的闭环特征方程为：(1 k g ) s 2 (2 4k g ) s 2 0
劳斯阵列如下： s2 1 kg 2
s 1 2 4k g
0
s0 2 0 由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根 轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：
(2k 1) 3 , ,与实轴的交点为： 渐进线倾角： nm 4 4 p j zi 026 2 nm 4
-3+4j处的出射角1 ： 1 ( 1 2 3 )
( tg 1 tg 1 4 90 ) 141 .9
Gk ( s )
k g ( s 1)( s 3)
实轴上的根轨迹区间为(-≦，-3]，[-1，0]
渐近线：由于开环极点数-开环零点数=1，所以根轨迹有一条 渐进线。 (2k 1) 渐进线的倾角为： nm n m 与实轴的交点为： pi z j 0 (1 3) i 1 j 1 4 nm 1 分离（会合）点： 3 2 1 1 可求得： s1 6.65，s 2 1.35 由式 i 1 s pi j 1 s z j s 2 1.35 不在根轨迹 s1 6.65 在根轨迹上，是会合点。 上，应该舍去。 D ' ( s) 3s 2 k gd ' | s1 6.65 | s1 6.65 14.27 2s 4 N ( s)
j 1 j k i 1 m n
入射角：
zk ( zk z j ) ( zk pi )
j 1 j k i 1 m n
与虚轴的 交点 闭环特征 根之和与 之积
令s=jw，带入闭环特征方程求w 同左 和kg。或用劳斯判据求临界稳 定时的闭环特征根。
s p , (n m 2)
-0.2
8.58
-0.4
14.57
-0.6
18.28
-0.8
20.01
-1.0
20.0
-1.2
18.47
-1.4
15.59
-1.6
11.49
-1.8
6.28
-2.0
k gd
可见分离点约为-0.8。
绘制根轨迹，如下图所示。
5 4 3 2 1 Imag Axis 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4
*s
s 6s 5s 9.5
3 2
*s
( s 5.4)( s 0.3 j1.292 )( s 0.3 j1.292 )
⒉画参量根轨迹
* Gk
分离（会合）点为方程:
分离(会合) 点
同左
1 1 i 1 s p i j 1 s z j
的根 分离（回合）点处的根轨迹增益： 同左
k gd D ' ( s) D( s ) ' |s d k gd |s d N ( s) N ( s)
N ' (s) D(s) N (s) D ' (s) 0 n m
141.9 j 2.5
0.9
j 2.5
-3
-2
-1 Real Axis
0
1
2
[例4.3.3]已知负反馈控制系统的开环传递函数为：
s3 试画出当-≦<kg<+≦时的根轨迹。
解： 1．当0≤kg<+≦时，绘制180o等相角根轨迹。 系统的开环极点和零点分别为： p1 p2 p3 0； z1 1 ， z2 3 根轨迹的分支数：根轨迹有三条分支，分别起始于开环极 点 p， ，终止于开环零点 z ， 和无穷远处。 1 p 2 , p3 1 z2
根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：
s 3 k g s 2 4k g s 3k g 0
将s=jw代入其中并整理得： k g 2 3k g 0
3 4k g 0 解得： k g 0， 3 / 4； 0， 3
Im 4
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
i 1
n
n
n
同左
i
i 1
n
i
s p
i i 1 i 1
i
kg z j
j 1
m
根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。 应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上 述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制 出完整的根轨迹。
4.4
控制系统根轨迹绘制示例
4.4
控制系统根轨迹绘制示例
4.4
规则
控制系统根轨迹绘制示例
180o等相角根轨迹 0o等相角根轨迹
连续性、对称 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。同左 性和分支数 其分支数等于开环有限零点和极点 数目中的大者。 起点和终点 起始于开环极点，终止于开环零点 同左
渐进线
条数：n-m
与实轴交点：
同左
p1 z2
-4
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
1 135 2 tg 1 (1 / 3) 18.43 1 90
出射角为： 2 2 p1 j i 180 135 18.43 90 243 .43
37 k g 50 kg 0 0 0 0 0 0
当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时，k g 192 .2 。 辅助方程为：30.75s 2 192.2 0 ， 解得共轭虚根为：s1, 2 j 2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。
会合点与分离点（重根点）：分离角为 d
-
9. 5 C (s) s ( s 1)( s 5)
s
s(s 1)( s 5) 9.5(1 s) 0
s 3 6s 2 5s 9.5 9.5s 0
1
* Gk
9.5s 0 3 2 s 6s 5s 9.5
令 * 9.5 ，等效开环传函为
-6.65 -6
-4
2．当－≦≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。
实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+≦) 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条渐 进线。渐进线的倾角为：
2k 0 nm 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上， 应该舍去。 s=-1.35是会合点。
出射角：
pk ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 m n i 1 ik
来自百度文库
出射角：
pk ( p k z j ) ( p k pi )
j 1 i 1 ik m n
出射、入射 角
入射角：
zk ( z k z j ) ( z k p i )
根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程: 3 3 2 1 4k g s s k g s 4k g s 3k g 0 2 kg 3k g s 劳斯阵列中没有全为零的行。故根轨迹 1 4k 3 0 s g 与虚轴没有交点。 3k g s0
Im
0.8
Im 4
0.4 -1.35 -4 -3 -2 -1 三重 极点 0 -0.4 Re
4 3
1
2
j4
根据对称性，可知-3-j4处的出 射角 2 为： 2 141 .9 与虚轴的交点：闭环特征方程为： s 4 8s 3 37 s 2 50 s k g 0 劳斯阵为：
s4 s3 s2 s1 s
0
3
2
0
1
3
j4
1 8 30 .75 1537 .5 8k g 30 .75 kg
手工绘制控制系统根轨迹的步骤: 标注开环极点“ ”和零点 ○“ ”；
确定根轨迹的分支数； 确定实轴上的根迹区间； 确定n-m条渐进线； 计算分离(会合)点； 计算极点处的出射角和零点处的入射角；
计算根轨迹与虚轴的交点；
利用前几步得到的信息绘制根轨迹。
例4.3.1 已知反馈控制系统的特征方程是 k g s( s 4) 1 2 0 s 2s 2 试绘制当kg从0→＋≦变化时的根轨迹。 解： 根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。 系统的根轨迹方程为： k g ss 4 1 2 s 2s 2 系统的开环极点和零点为： p1 1 j， p2 1 j； z1 0， z2 4 根轨迹的分支数： 根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终 止于开环零点-z1，-z2处。
p z
i 1 i j 1
n
m
同左
j
nm
与实轴夹角： 2k (2k 1) , (k 0,1,2, n m 1) , (k 0,1,2n m 1) nm nm 实轴上根轨迹 若实轴上某点右边的开环有限零点 若实轴上某点右边的开环有 和有限极点数目之和为奇数，则该 限零点和有限极点数目之和 点是根轨迹上的点 为偶数（包括0），则该点 是根轨迹上的点
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
-6.65 -6
-0.8
-4
[例4.3.4]：系统结构如图 R( s) 所示，绘制以τ为参变量 的根轨迹，并讨论速度反 馈对系统阶跃响应的影响。
解：⒈先求等效开环传递函数。 此时系统特征方程为
1 GH 1 9.5(1 s ) 0 s( s 1)( s 5)
Im 1 -1.24 -4 -3 -2 -1 0 -1 Re
[例4.3.2]系统的开环传递函数为： kg Gk ( s ) s ( s 2)[( s 3) 2 16] 试绘制系统的根轨迹。
解： 对于本例系统的根轨迹，题目中没有指明kg的取值范围。 通常，没有特别指明kg的范围时，按180o根轨迹绘制规则进行绘 制。 标出四个开环极点：0，-2，-3±j4。有四条根轨迹。 实轴上根轨迹区间是：[-2，0]。
2
由 N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 得： 4s 3 24 s 2 74 s 50 0 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述 近似方法：
k g ( s 4 8s 3 37 s 2 50 s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g 最大时为分离点。 s
s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点， 应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增 益为： D ' (s) 2s 2 k gd ' | s1 1.24 | s1 1.24 0.316 2s 4 N ( s)
出射角： 先求开环极点-p1处的出射角。 画出各个开环零点和极点（除了-p1） 到-p1的向量，并标出每个向量的相 角，分别为1,2,1。
实轴上的根轨迹区间为： [-4，0]
根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。
z2
-4
p1
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
分离（会合）点：令 k g ss 4 ' 2 1 N ( s) 2s 4 N ( s) s 4s 2 s 2s 2 2 ' D( s ) s 2 s 2 D ( s) 2s 2 代入方程 N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 有： s 2 2s 4 0 s1 1.24，s2 3.24
或 p1 116 .57 根据对称性，可得： p 2 116 .57
i 1 i2
根轨迹与虚轴的交点： 系统的闭环特征方程为：(1 k g ) s 2 (2 4k g ) s 2 0
劳斯阵列如下： s2 1 kg 2
s 1 2 4k g
0
s0 2 0 由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根 轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：
(2k 1) 3 , ,与实轴的交点为： 渐进线倾角： nm 4 4 p j zi 026 2 nm 4
-3+4j处的出射角1 ： 1 ( 1 2 3 )
( tg 1 tg 1 4 90 ) 141 .9
Gk ( s )
k g ( s 1)( s 3)
实轴上的根轨迹区间为(-≦，-3]，[-1，0]
渐近线：由于开环极点数-开环零点数=1，所以根轨迹有一条 渐进线。 (2k 1) 渐进线的倾角为： nm n m 与实轴的交点为： pi z j 0 (1 3) i 1 j 1 4 nm 1 分离（会合）点： 3 2 1 1 可求得： s1 6.65，s 2 1.35 由式 i 1 s pi j 1 s z j s 2 1.35 不在根轨迹 s1 6.65 在根轨迹上，是会合点。 上，应该舍去。 D ' ( s) 3s 2 k gd ' | s1 6.65 | s1 6.65 14.27 2s 4 N ( s)
j 1 j k i 1 m n
入射角：
zk ( zk z j ) ( zk pi )
j 1 j k i 1 m n
与虚轴的 交点 闭环特征 根之和与 之积
令s=jw，带入闭环特征方程求w 同左 和kg。或用劳斯判据求临界稳 定时的闭环特征根。
s p , (n m 2)
-0.2
8.58
-0.4
14.57
-0.6
18.28
-0.8
20.01
-1.0
20.0
-1.2
18.47
-1.4
15.59
-1.6
11.49
-1.8
6.28
-2.0
k gd
可见分离点约为-0.8。
绘制根轨迹，如下图所示。
5 4 3 2 1 Imag Axis 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4
*s
s 6s 5s 9.5
3 2
*s
( s 5.4)( s 0.3 j1.292 )( s 0.3 j1.292 )
⒉画参量根轨迹
* Gk
分离（会合）点为方程:
分离(会合) 点
同左
1 1 i 1 s p i j 1 s z j
的根 分离（回合）点处的根轨迹增益： 同左
k gd D ' ( s) D( s ) ' |s d k gd |s d N ( s) N ( s)
N ' (s) D(s) N (s) D ' (s) 0 n m
141.9 j 2.5
0.9
j 2.5
-3
-2
-1 Real Axis
0
1
2
[例4.3.3]已知负反馈控制系统的开环传递函数为：
s3 试画出当-≦<kg<+≦时的根轨迹。
解： 1．当0≤kg<+≦时，绘制180o等相角根轨迹。 系统的开环极点和零点分别为： p1 p2 p3 0； z1 1 ， z2 3 根轨迹的分支数：根轨迹有三条分支，分别起始于开环极 点 p， ，终止于开环零点 z ， 和无穷远处。 1 p 2 , p3 1 z2
根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：
s 3 k g s 2 4k g s 3k g 0
将s=jw代入其中并整理得： k g 2 3k g 0
3 4k g 0 解得： k g 0， 3 / 4； 0， 3
Im 4
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
i 1
n
n
n
同左
i
i 1
n
i
s p
i i 1 i 1
i
kg z j
j 1
m
根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。 应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上 述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制 出完整的根轨迹。
4.4
控制系统根轨迹绘制示例
4.4
控制系统根轨迹绘制示例
4.4
规则
控制系统根轨迹绘制示例
180o等相角根轨迹 0o等相角根轨迹
连续性、对称 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。同左 性和分支数 其分支数等于开环有限零点和极点 数目中的大者。 起点和终点 起始于开环极点，终止于开环零点 同左
渐进线
条数：n-m
与实轴交点：
同左
p1 z2
-4
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
1 135 2 tg 1 (1 / 3) 18.43 1 90
出射角为： 2 2 p1 j i 180 135 18.43 90 243 .43
37 k g 50 kg 0 0 0 0 0 0
当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时，k g 192 .2 。 辅助方程为：30.75s 2 192.2 0 ， 解得共轭虚根为：s1, 2 j 2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。
会合点与分离点（重根点）：分离角为 d
-
9. 5 C (s) s ( s 1)( s 5)
s
s(s 1)( s 5) 9.5(1 s) 0
s 3 6s 2 5s 9.5 9.5s 0
1
* Gk
9.5s 0 3 2 s 6s 5s 9.5
令 * 9.5 ，等效开环传函为
-6.65 -6
-4
2．当－≦≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。
实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+≦) 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条渐 进线。渐进线的倾角为：
2k 0 nm 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上， 应该舍去。 s=-1.35是会合点。
出射角：
pk ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 m n i 1 ik
来自百度文库
出射角：
pk ( p k z j ) ( p k pi )
j 1 i 1 ik m n
出射、入射 角
入射角：
zk ( z k z j ) ( z k p i )
根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程: 3 3 2 1 4k g s s k g s 4k g s 3k g 0 2 kg 3k g s 劳斯阵列中没有全为零的行。故根轨迹 1 4k 3 0 s g 与虚轴没有交点。 3k g s0
Im
0.8
Im 4
0.4 -1.35 -4 -3 -2 -1 三重 极点 0 -0.4 Re
4 3
1
2
j4
根据对称性，可知-3-j4处的出 射角 2 为： 2 141 .9 与虚轴的交点：闭环特征方程为： s 4 8s 3 37 s 2 50 s k g 0 劳斯阵为：
s4 s3 s2 s1 s
0
3
2
0
1
3
j4
1 8 30 .75 1537 .5 8k g 30 .75 kg
手工绘制控制系统根轨迹的步骤: 标注开环极点“ ”和零点 ○“ ”；
确定根轨迹的分支数； 确定实轴上的根迹区间； 确定n-m条渐进线； 计算分离(会合)点； 计算极点处的出射角和零点处的入射角；
计算根轨迹与虚轴的交点；
利用前几步得到的信息绘制根轨迹。
例4.3.1 已知反馈控制系统的特征方程是 k g s( s 4) 1 2 0 s 2s 2 试绘制当kg从0→＋≦变化时的根轨迹。 解： 根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。 系统的根轨迹方程为： k g ss 4 1 2 s 2s 2 系统的开环极点和零点为： p1 1 j， p2 1 j； z1 0， z2 4 根轨迹的分支数： 根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终 止于开环零点-z1，-z2处。
p z
i 1 i j 1
n
m
同左
j
nm
与实轴夹角： 2k (2k 1) , (k 0,1,2, n m 1) , (k 0,1,2n m 1) nm nm 实轴上根轨迹 若实轴上某点右边的开环有限零点 若实轴上某点右边的开环有 和有限极点数目之和为奇数，则该 限零点和有限极点数目之和 点是根轨迹上的点 为偶数（包括0），则该点 是根轨迹上的点
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
-6.65 -6
-0.8
-4
[例4.3.4]：系统结构如图 R( s) 所示，绘制以τ为参变量 的根轨迹，并讨论速度反 馈对系统阶跃响应的影响。
解：⒈先求等效开环传递函数。 此时系统特征方程为
1 GH 1 9.5(1 s ) 0 s( s 1)( s 5)
Im 1 -1.24 -4 -3 -2 -1 0 -1 Re
[例4.3.2]系统的开环传递函数为： kg Gk ( s ) s ( s 2)[( s 3) 2 16] 试绘制系统的根轨迹。
解： 对于本例系统的根轨迹，题目中没有指明kg的取值范围。 通常，没有特别指明kg的范围时，按180o根轨迹绘制规则进行绘 制。 标出四个开环极点：0，-2，-3±j4。有四条根轨迹。 实轴上根轨迹区间是：[-2，0]。
2
由 N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 得： 4s 3 24 s 2 74 s 50 0 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述 近似方法：
k g ( s 4 8s 3 37 s 2 50 s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g 最大时为分离点。 s
s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点， 应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增 益为： D ' (s) 2s 2 k gd ' | s1 1.24 | s1 1.24 0.316 2s 4 N ( s)
出射角： 先求开环极点-p1处的出射角。 画出各个开环零点和极点（除了-p1） 到-p1的向量，并标出每个向量的相 角，分别为1,2,1。
实轴上的根轨迹区间为： [-4，0]
根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。
z2
-4
p1
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
分离（会合）点：令 k g ss 4 ' 2 1 N ( s) 2s 4 N ( s) s 4s 2 s 2s 2 2 ' D( s ) s 2 s 2 D ( s) 2s 2 代入方程 N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 有： s 2 2s 4 0 s1 1.24，s2 3.24