2019年专升本高等数学(二)真题及答案
浙江省2019年专升本高等数学考试真题卷及参考答案知识分享
浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应的题目的答案标号涂黑，如需1.A.B.式C.D.)0δ外2.）A.B.C.D.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++∞→001lim x f h x f h h 存在3.⎥⎦⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n x πππsin 1...2sin 1sin 11lim 等于（）A.⎰10sin dx x πB.⎰+10sin 1dx x πC.⎰+10sin 1dx x D.4.A.B.C.D.5.A.B.C.D.非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写。
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6.极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 1sin 1lim 7.8.9.10.11.12.13.14.15.三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分，计算题必须写出计算过程，只写答案不给分）16.极限()201ln lim xxx x -+→.17.18.19.⎩⎦⎣20.一物体由静止开始以速度()13+=t tt v （米/秒）作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.21.问是否存在常数a 使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=0,10,2x e x a x x f ax在0=x 处可导？若存在，求出常数a ，若不存在，请说明原因.22.求过点()2,0,1A 且与两平面01:1=++-z y x π，0:2=-z x π都平行的直线的方程.23.求幂级数∑∞=-11 1nnxn的收敛区间及和函数，并计算级数11211-∞=∑⎪⎭⎫⎝⎛nnn.24.)为的处轴25.假设某公司生产某产品x 千件的总成本是()213012223++-=x x x x c （万元），售出该产品x 千件的收入是()x x r 60=（万元），为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少千件产品？（注：利润等于收入减总成本）26.(1)(2)3M (3)浙江省2019年专升本高等数学试卷参考答案一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1、D 解析：根据极限的精确定义，若a x n n =∞→lim ，则对于,0,0>∃>∀N δ当N n >时，δ<-a x n ，即只有有限个点落在区间),(δδ+-a a 外。
2019江苏专转本高数答案
江苏省 普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、B3、B4、A5、D6、D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、2y e -= 8、5 9、2π10、2222y x dz dx dy x y x y =-+++ 11、3π 12、[0,2) 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=23000arcsin arcsin lim lim arcsin x x x x x x x x x x x→→→→--===20116x x →-==- 14、2(32)y t dy y dy dt e t dx dx e t dt-+==+,0t dy dx ==15、2222222221111ln ln ln ln ln ln 2222x xdx xdx x x x d x x x x xdx ==-=-⎰⎰⎰⎰222222222211111111ln ln ln ln ln ln ln 22222222x x xdx x x x x x d x x x x x xdx =-=-+=-+⎰⎰⎰2222111ln ln 224x x x x x C =-++ 16、令t x =-12，则原式=222222220002444(1)22arctan 2044422t t t dt dt dt t t t π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰ 17、平面∏的法向量(1,2,3)(1,0,0)(0,3,2)n MN i →→=⨯=⨯=-u u u u r ，直线方程：0(1)3(1)2(1)0x y z -+---=.即3210y z --=.18、12cos 2z xf xf x∂''=+∂212221222cos (2)2(2)2cos 4z xf y xf y y xf xyf x y∂''''''''=⋅-+⋅-=--∂∂ 19、2101001()()26y D y x y dxdy dy x y dx dy -+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 20、特征方程：220r r -=，120,2r r ==，齐次方程的通解为212x Y C C e =+.令特解为2()x y x Ax B e *=+，则22(222)x y Ax Bx Ax B e *'=+++，22(44824)x y Ax Bx Ax A B e *''=++++代入原方程得：22(422)x x Ax A B e xe ++=， 有待定系数法得：41220A A B =⎧⎨+=⎩，解得1414A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以通解为221211()44x x y C C e x x e =++-. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、令()ln 3f x x x =-,显然在区间(2,3)上连续，且38(2)2ln 23ln ln10,f e =-=<< (3)3ln 333(ln 31)0,f =-=->根据零点定理，(2,3),()0f ξξ∃∈=成立.又()ln 10f x x '=->Q ，(2,3)x ∈，)(x f '单调递增，唯一性得证.22、令21()1ln(1)2x f x e x x =---+，则1()1x f x e x x '=--+，21()1(1)x f x e x ''=-++， 在0x >时，()f x ''单调递增，()(0)10f x f ''''>=>，所以()f x '单调递增，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 单调递增，()(0)0f x f >=，得证.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23、（1）2k y x '==-切，切线：,02(1)y x -=--，即2(1)y x =--，D 面积1201[2(1)(1)]3x x dx ----=⎰. (2) 21200211(1)(1)2326y y V d y y d y πππππ=---=-=⎰⎰ 24、已知0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰两边同时对x 求导得：()()x x x ϕϕ'=-，22()x x Ce ϕ-=，令0x =代入0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰得(0)1ϕ=，所以求得221,()x C x e ϕ-==.（2）因为2222232222(),(),()(1),()(3)x x x x x e x xe x x e x x x e ϕϕϕϕ----''''''==-=-=-(0)1ϕ=，(0)0ϕ'=，(0)1,(0)0ϕϕ'''''=-=. 20000()1()()(0)1lim ()lim lim lim (0)2222x x x x x x x f x f x x ϕϕϕϕ→→→→'''''-=====-=. 所以()f x 在0=x 处的连续.223000()11()(0)2()22lim lim lim 2x x x x f x f x x x x x x ϕϕ→→→-+--+==Q 20002()2()()11lim lim lim 6666x x x x x x x x x x ϕϕϕ→→→''''''+++====. 所以()f x 在0=x 处可导，1(0)6f '=.。
2019年成人高考全国统一考试专升本高等数学(二)试题及答案
2019年成人高等学校招生全国统一考试高等数学（二）第一部分 选择题（共40分）一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。
1. lim x→+∞(1+2x )x=（ ） A. −e 2 B. −e C. e D. e 22. 设函数y =arcsinx ，则y ‘=（ ）A. √1−x 2B. √1−x 2C. −11+x 2D. 11+x 23. 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，f ‘(x )>0，f (a )f (b )<0，则f(x)在 (a,b)零点的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 04. 设函数y =x 3+e x ，则y （4）=（ ）A. 0B. e xC. 2+e xD. 6+e x 5. d dx ∫11+x 2dx =（ ） A. arctanx B. arccotx C.11+x 2 D. 06. ∫cos2x dx =（ ） A. 12sin2x +C B. −12sin2x +C C. 12cos2x +C D. −12cos2x +C7. ∫(2x +1)3dx =10（ ）A. −10B. −8C. 8D. 108. 设函数z =(x −y)10，则 ∂z ∂x =（ ）A. (x −y)10B. −(x −y)10C. 10(x −y)9D. −10(x −y)99. 设函数z =2(x,y )−x 2−y 2，则其极值点为（ ）A. (0,0)B. (−1,1)C. (1,1)D. (1,−1)10. 设离散型随机变量X 的概率分布为则a =（ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。
11. 当x →0时，f(x)与3x 是等价无穷小，则limx→0f(x)x = . 12. lim x→0e 2x −1x = .13. 设函数f (x )=2则f ’(1)= .14. 设x 2为f(x)的一个原函数，则f (x )= .15. 设函数y =lnsinx , 则dy = .16. ∫1x 2dx = . 17. √x√x= . 18. ∫(xcos 2x +2)dx =1−1 .19. 设函数z =e yx ，ð2zðxðy = . 20. 设函数z =sinx ∙lny ，则dz = .三、解答题21~28题，共70分21. 计算limx→∞x 2−x 2x 2+1.22. 设函数f (x )=x 1+x 2，则f ’(x ).23. 计算23.24. 计算∫1xln 3x +∞edx .25. 一个袋中有10个乒乓球，其中7个橙色，3个白色，从中任取2个，设事件A 为“所取的2个乒乓球颜色不同”，求事件A 发生的概率P （A ）.26. 设函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 在x =2处取得极值，点(1.−1)为曲线的拐点，求a,b,c .27. 已知函数f (x ) 的导函数连续，且f (1)=0，∫xf (x )dx =410，求∫x 2f ‘(x )dx 10.28. 设函数z =1x −1y ，证明：x 2ðz ðx +y 2ðz ðy =0.参考答案：一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。
10月全国高等数学(二)自考试题及答案解析
1全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（二）试题课程代码：00021第一部分 选择题（共40分）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若必有A T =A ，矩阵A 为（ ）A.正交矩阵B.对称矩阵C.可逆矩阵D.三角形2．若A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则（ ）A.A=0或B=0B.A+B=0C.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=03．设A 为m ⨯n 矩阵，秩为r ，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵B=AC ，秩(B)=r 1，则（） A.r 1>r 2 B.r<r 1C.r=r 1D.r 1与C 有关4．)1,1,1(),0,1,1(),3,1,2(),3,2,1(4321=α-=α=α=α，则（ ）A.1α线性相关B.21,αα线性相关C.线性相关321,,αααD.线性相关421,,ααα5．n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n ，则对该方程组正确的（ ）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有解6．若矩阵A 与B 是合同的，则它们也是（ ）A.相似B.相等C.等价D.满秩7．实二次型f(x 1，…，x n )=x T Ax 为正定的充要条件是（ ）A.f 的秩为nB.f 的正惯性指数为nC.f 的正惯性指数等于f 的秩D.f 的负惯性指数为n8．实二次型f(x 1,x 2,x 3)的秩为3，符号差为-1，则f 的标准形可能为（ ）A.332221y y y -+-B.332221y y 2y +-2 C.332221y y 2y -+ D.21y -9．当根据样本观察值画出的频率直方图为一矩形（即各“条形”高相同）时，则（ ）A.这组数据的极差为零B.这组数据的平均偏差为零C.这组数据的方差为零D.这组数据的极差、方差都不一定为零10．将一枚均匀硬币反复抛掷10次，已知前三次抛掷中恰出现了一次正面，则第二次出现正面的概率为（ ） A.31 B.21 C.41D.103 11．设随机变量ηζ和的密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=ζ其它,01x 0,x 3)x (p 2 ⎩⎨⎧≤>=-η0y ,00y ,e 3)y (p y 3，若ηζ和不相关，E(ζη)=（ ） A. 41 B.21 C.43 D.1 12．设离散型随机变量ζ的分布列为（ ）A.32B.31C.0D.32- 13．设随机变量ζ的密度函数p(x)=⎩⎨⎧π∈其他,0],0[x ,ASinx ，则常数A=（ ） A.41 B.21 C.1D.214．设随机变量ζ的概率密度为p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他,a x a ,a 21，其中a>0，要使P{ζ>1}=31，则a=（ ）3A.1B.2C.3D.415．设ζ的分布函数为F(x)=A++∞<<∞-πx x arctan 1，则常数A=（ ） A.21B.1C.2D.π 16．设总体X~N(2,σμ)，X 1，X 2是总容量为2的样本，2,σμ为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ ）A.X 1+X 2B.22221X X 4X ++C.2221X X +D.μ+1X17．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若E(θˆ)=θ，则θˆ是θ的（ ） A.极大似然估计B.矩估计C.无偏估计D.有偏估计18．设总体X 为参数为λ的动态分布，今测得X 的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数λ的矩估计值λˆ为（ ） A.0.2B.0.25C.1D.419．作假设检验时，在以下哪种情形下，采用Z -检验法（ ）A.对单个正态总体，已知总体方差，检验假设00:H μ=μB.对单个正态总体，未知总体方差，检验假设00:H μ=μC.对单个正态总体，已知总体均值，检验假设2020:H σ=σD.对两个正态总体，检验假设22210:H σ=σ20．一元线性回归分析中F=)2n /(Q U -的值较小，则说明x 与y 之间（ ） A.有显著的线性相关关系B.没有显著的线性相关关系4C.不相关D.线性相关关系不可判定第二部分 非选择题（共60分）二、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）21．设33A ⨯的行列式|A|=2，试问能确定出|A -1|AA *的具体结果吗？为什么？若能得出结果，结果是什么？22．)4,2,0,3(=β能否由)1,1,1,0(),3,1,7,2(),2,0,4,1(321--=α=α=α线性表示？为什么？23．全年级120名学生中有男生（以A 表示）100人，来自北京的（以B 表示）40人，这40人中有男生30人，试写出P(A)、P(B)、P(B|A )，和P(B |A )24．设随机变量N ~ζ(5,5)，η在[0，π]上均匀分布，相关系数21=ρζη，求（1）)2(E η-ζ；（2）)2(D η-ζ三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）25．A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111222111能否相似于对角阵？为什么？26．加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
2019年浙江省专升本高等数学真题参考答案
2019年专升本<<高等数学>>真题答案解析一、选择题：本题共有5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.D【解析】极限精确定义，若存在a x n n =∞→lim ，则对于ε<->∃>∀a x N n a n ,,0.2.A【解析】B 应改为0→h ，C 是可导的必要条件，D 改为∞→h .3.B【解析】原式=⎰∑+=⋅+=∞→101sin 11sin1limdx x n n i ni n ππ4.B【解析】A.条件收敛B.0cos lim 2≠∞→n n 发散C.2=x 为瑕点，D.令t x tan =,则()20323arctan 442sin 2(22cos 1sec 11123arctan 23arctan 23arctan 2322+-=-=+==+⎰⎰⎰∞+ππππt t dt t dt tdx x 5.C 【解析】由044=+'-''y y y ，特征方程0442=+-r r ，即()022=-r ，所以()xe x c c y 221+=二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.解：ee e e nn nnn nn n n n n n n n ====+=+∞→∞→⋅⋅⋅∞→∞→111sin lim1sin lim 1sin 1sin 1)1sin 1(lim 1sin 1(lim 7.解：10)5(,2)(-='-='h t t h 8.解：x e a e a x xe a x x x x x x x x 2lim )(21lim )()1ln(cos 1lim 032030-=-=-+-→→→极限存在且不等于0，且02lim 0=→x x ，1,01)(lim 0=∴=-=-∴→a a e a xx ，且212lim 0-=-→x e a x x .362122arcsin41212πππ=-==-⎰x dx x9.t t t t t t dtdx dt dx dy d dx y d ttt dx dy t dt dx t dt dy 33222cos 1sec cos sec cos )tan ((tan cos sin ,cos ,sin -=-=-='-==-=-==-=解：10.解：222011000sin ()sin lim lim lim lim (0,)xn n n n x x x x t dt g x x x C x xnx nx --→→→→====≠≠∞⎰所以12,3n n -==即.11.解：由定积分的几何意义可得，定积分为41圆的面积，211144ππ=⋅⋅=⎰.12.解：方程两边分别对x 求导得，(1)()0x yey y xy +''+-+=所以x yx y y e y e x ++-'=-,所以dy dx ++--==--x y x y y e y xy e x xy x.13.解:(),x ∈-∞+∞236,66,y x x y x '''=+=+令0,1y x ''==-解得当1,0x y ''<-<时;1,0x y ''>->时所以，拐点为(1,2)-.14.解:222221111322x V dx xdx x ππππ====⎰⎰.15.解:2()39,9(ln 9)9(2ln 3)====x x n x n x ny y 三、计算题：本大题共8小题，其中16—19小题每小题7分，20—23小题每小题8分，共60分.16.解：原式00011(1)11111lim lim lim 222(1)2x x x x x x x x x →→→-+--++====-+.17.解:()ln(2cos )x y x x x π=++=ln ln(2cos )xx x e π++ln ln(2cos )x xx e π=++ln sin (ln 1)2cos x x x y e x x πππ-'=+++sin (ln 1)2cos x xx x xπππ-=+++(1)1y '=1(1)x dyy dx dx ='==.18.解:2,,2t x t dx tdt===则sin 22(cos )2(cos cos )2(cos sin )+Ct tdt td t t t tdt t t t =⋅=-=--=--⎰⎰⎰原式sin C =-+.19.解:当02x π≤<时，000()()cos sin sin x x xp x f t dt tdt tx ====⎰⎰；当2x ππ≤<时，222000221()()cos sin 2x x p x f t dt tdt tdt tt πππππ==+=+⎰⎰⎰221128x π=+-；22sin ,[0,)2()()11,[,]282ππππ⎧∈⎪⎪∴==⎨⎪+-⎪⎩⎰xx x p x f t dt x 20.解:距离为8s =⎰2,1,2u t u dt udu ==-=则，当0,1;8,3t u t u ====时当时283320113313=26(1)16()403s udu u duu u u =⋅=-=-=⎰⎰⎰（u -1）物体运动到8秒时离开出发点的距离为40米.21.解:2lim ()lim ()x x f x x a a --→→=+=0lim ()lim (1)0ax x x f x e ++→→=-=若2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导，则它在0x =处一定连续，所以0lim ()x f x -→=0lim ()(0)x f x f +→=，所以(0)0f a ==200()(0)(0)lim lim 0x x f x f x f x x ---→→-'===00()(0)0(0)lim lim 0x x f x f f xx +++→→-'===所以当0a =时，(0)0f '=，也就是函数2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导.22.解:平面1π的法向量为(1,1,1)=-1n ，平面2π的法向量为2(1,0,1)=-n ，所求直线的方向向量为111211⨯=-=++-12i j ks =n n i j k 又已知所求直线过点(1,0,2)A ，所以，所求直线方程为12121x y z --==.22.解：11lim lim 11n n n n n nu x nx u n x +-→∞→∞=⋅=<+收敛区间为(-1,1)当1=x 时，级数11n n ∞=∑发散；当1-=x 时，级数11(1)n n n -∞=-∑收敛；所以，收敛域为)1,1[-令111()n n S x x n ∞-==∑,则11()nn x S x xn∞=⋅=∑111(())1n n x S x x x∞-='⋅==-∑0001()ln(1)1ln(1)0()0ln(1)(0)lim ()lim1ln(1),[1,0)(0,1)()1,0xx x x S x dt x tx x S x xx x S S x xx x S x xx →→∴⋅==-----∴≠==--===--⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩⎰当时，当时，由和函数在收敛域内连续可导得，综上，11111()2ln 222-∞=⎛⎫∴== ⎪⎝⎭∑n n S n 四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.解:32(4)1,(),()263OBPMBPN xy x S x S f t dt y x +'=⋅==+⎰322()41()263()4()()22214()()x f x x x f t dt f x x x f x f x f x f x x x x+⋅+=++'+-='-=-⎰由题意，化简，即，1124()(())4((1))dxdx xxf x ex e dx c xx dx c x ---⎰⎰=-+=-+⎰⎰224()4(2)0,4()44=++=++=∴=-∴=-+ 又x x c xx cx f c f x x x 25.解：成本为32()2123021c x x x x =-++323222()60()()()60(2123021)2123021,(0)()624306(45)()0,51r x x y x r x c x x x x x x x x x y x x x x x x y x x x ==-=--++=-++-≥'=-++=---'===-收入为利润为令得：或（舍）x （0,5）5（5，+∞）()y x '+0-()y x 179所以，5x =是利润()y x 的极大值点，又因为5x =是()y x 的唯一驻点，所以5x =是利润()y x 的最大值点.(5)179=y .因此公司应生产5千件产品时，公司取得最大利润，并且最大利润为179万元.26.解：（1）2()()(0)(0),02f f x f f x x x ξξ'''=++<<（2）证明：()[1,1]f x M m ''- 在上有最大值和最小值，[][]2111211111()()1()(0)21,1()()()()(0)0233(),1,1()333()33m f x Mf f x f x x f f f f x dx f xdx x dx m f x M x m f M m Mf x dx ξξξξξ----''∴≤≤'''=+-'''''''=+=+=''≤≤∈-''∴≤≤∴≤≤⎰⎰⎰⎰而由（）知对上式进行积分即而(3)证明：由（2）可知11()33m Mf x dx -≤≤⎰，所以113()m f x dx M-≤≤⎰[][]11()1,1()3(),1,1f x f f x dx ηη--''∴=∈-⎰ 在上只有二阶连续导数，由介值定理知，。
2019年山东省专升本真题及解析
机密★启用前 试卷类型：公共课 科目代码：102山东省2019年普通高等教育专升本统一考试高等数学试题本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分100分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。
3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1. 函数()sin f x x x = A. 当x →∞时为无穷大B. 在()-+∞∞，内为周期函数 C. 在()-+∞∞，内无界 D.当x →∞时有有限极限2. 已知2()sin f x dx x xC =+⎰，则2()xf x dx =⎰A.2cos x x C + B.2sin x x C + C.241cos 2x x C + D.241cos 2x x C +3. 下列各平面中，与平面236x y z +-=垂直的是A. 2461x y z +-=B.24612x y z +-=B.1123x y z++=- D.21x y z -++= 4. 有下列关于数项级数的命题（1）若lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散；（2）若10,(1,2,3)lim 0n n n n n u u u n u +→∞>>==且，则1n n u ∞=∑必收敛；（3）若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑必收敛；（4）若1nn u∞=∑收敛于s ，则任意改变该级数项的位置所得到的新的级数仍收敛于s.其中正确的命题个数为A.0B.1C.2D.3 5. 已知22F(,)ln(1)(,)Dx y x y f x y dxdy =+++⎰⎰，其中D 为xoy 坐标平面上的有界闭区域且(,)f x y 在D 上连续，则(,)F x y 在点（1,2）处的全微分为A.1233dx dy + B.12+(1,2)33dx dy f + B.2133dx dy + D.21+(1,2)33dx dy f +第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.函数1()ln cos f x x=的定义域为__________.7. 设函数01sin 2,(),xtdt f x x ta ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰00x x ≠=，在0x =处连续，则a =___________. 8. 无穷限积分x xe dx -∞=⎰___________.9. 设函数2(,,)xf x y z e yz =.其中(,)z z x y =是由三元方程0x y z xyz +++=确定的函数，则(0,1,1=x f '-）____________.10. 已知函数()y y x =在任意点处的增量2+1y xy xα∆∆=+，且当0x ∆→时，x α∆是的高阶无穷小，若(0)y π=，则(1)y =____________. 三、解答题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）11. 求极限22ln sin lim(2)x xx ππ→- 12. 求曲线222(1)t x y t t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩在2t =处的切线方程与法线方程. 13. （1）验证直线1225:520x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩与直线231:234x y z L +-==平行； （2）求经过12L L 与的平面方程.14. 设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中函数()f w 具有二阶导数，(,)g u v 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂与2z x y∂∂∂.15. 判别级数1!nn n n ∞=∑的敛散性.16.已知12()xy e C C =+（12,C C 为任意常数）是某二阶常系数线性微分方程的通解，求其对应的方程.17. 计算二重积分Dyd xσ⎰⎰，其中D 由222(0),x y a a y x x +≤>=及轴在第一象限所围成的区域.四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）18. 计算由29y x =-，直线21x y ==-及所围成的平面图形上面部分（面积大的那部分）的面积A.19. 求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值. 五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 证明当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+.21. 设函数[]()0,1f x 在上可微，当010()1()1x f x f x '≤≤<<≠时且，证明有且仅有一点(0,1)x ∈，使得()f x x =.机密★启用前 试卷类型：公共课 山东省2019年普通高等教育专升本统一考试高等数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 答案：C. 解析：根据函数有界性定义可知，函数()sin f x x x =无界。
2019年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、设lim x→0x n =a 则说法不正确的是（ ）A 、对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n >N 时，都有|x n −a |<2.B 、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n >N 时，不等于|x n −a |<ε成立.C 、对于任意给定的a 的邻域(a −ε,a +ε), 总存在整数N ，使得当n >N 时，所有的x n 都落在(a −ε,a +ε)内,而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外.D 、可以存在某个小的正数ε0，使得有无穷多个点ε0落在区间(a −ε0,a +ε0)外. 2、设在点x 0的某邻域内有定义，则在点x 0处可导的一个充分条件是（ ） A 、lim ℎ→0f (x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ存在 B 、lim ℎ→0−f (x 0)−f(x 0−ℎ)ℎ存在C 、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ存在 D 、lim ℎ→+∞ℎ[f (x 0+1ℎ)−f (x 0)]存在3、limx→+∞1n[√1+sin πn +√1+sin 2πn +⋯+√1+sinnπn]等于（ ）A 、∫√sin πx dx 10B 、∫√1+sin πx dx 10 C 、∫√1+sin x dx 10 D 、π∫√1+sin x dx 10 4、下列级数或广义积分发散的是（ ） A 、∑(−1)n−1n+100∞n=1 B 、∑cos 2n ∞n=1 C 、∫√21D 、∫1(1+x 2)2dx +∞15、微分方程y ′′−4y ′+4y =0的通解为（ ） A 、y =c 1x +c 2e −2x B 、y =(c 1+c 2x)e −2x C 、y =(c 1+c 2x)e 2x D 、y =(c 1+c 2x)xe −2x二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6、极限lim x→∞(1+sin 1n )n =7、设一雪堆的高度ℎ与时间t 的关系为ℎ(t )=100−t 2，则雪堆的高度在时刻t =5时的变化率等于8、当a = 时，极限lim x→01−cos xln (1+x 3)(a −e x )存在且不等于0.9、设 ，则d 2ydx 2=10、设g (x )=∫sin t 2dx x0，且当x →0时，g (x )与x n 是同阶无穷小，则n = 11、定积分∫√1−x 2dx 10 =12、设函数y =y (x )由方程e x+y −xy =0确定，则dydx = 13、曲线y (x )=x 3+3x 2的拐点是14、由曲线y =√x ,x =1 ,x =2及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于15、设y =32x ，则y (n)=三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分） 16、求极限lim x→0ln (1+x )−xx 2.17、设y (x )=ln(2+cos πx)+x x ，求函数y (x )在x =1处的微分.18、求不定积分∫sin √x dx .19、设f (x )= ，求p (x )=∫f(t)xdt 在[0,π]上的表达式.x =sin t y =cos tcos x ,x ∈[0,π)x ,x ∈[π,π]20、一物体由静止到以速度v (t )=3t√t+1(m/s)作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。
河南省2019年专升本考试《高等数学》试题+答案
河南省2019年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标。
1.函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域是（）A.不确定B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇函数[解析]D由()()f x f x -=-得，为奇函数2.已知()f x 的定义域为[]1e ，，则()xf e 的定义域为（）A.(]1,0B.[]0,1 C.()1,0 D.[)10，[解析]B由101xe e x ≤≤⇒≤≤；3.曲线32116132y x x x =+++在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为（）A.1(,0)6-B.()10，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,61 D.()0,1-[解析]A由200=6661x x k y x x y x =='=++=⇒=+，与x 轴的交点即当0y =时得交点坐标为1(,0)6-；4.当0x →1与212x -等价，则=a （）A.32-B.32-C.21-D.32[解析]A由当0x →2113ax -→，所以22113=322ax x a -⇒=-；5.极限22324lim 354x n n n n →∞+-=-+（）A.1B.43 C.52-D.34-[解析]D由抓大头口诀：相同即为系数比，可得223244lim 3543x n n n n →∞+-=--+；6.极限0sin 4lim =5x xx→（）A.45B.51C.54 D.1[解析]C00sin 444lim=lim 555x x x x x x →→=；7.当0x →时，221x e -是2x 的_______无穷小（）A.高阶B.低阶C.等价D.同阶非等价[解析]D 当0x →时，22212x ex -→，故是2x 的同阶非等价；8.已知函数()ln 21a xf x ax +⎧=⎨-⎩在1x =处连续，则a =（）A.1B.1- C.0D.3题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：[解析]A9.设1,1()=cos ,12x x f x x x π-≥<⎧⎪⎨⎪⎩则1x =是____间断点（）A.连续点B.可去C.跳跃D.第二类[解析]A 10.函数()f x 在x a =处可导，则()()limf a x f a x xx +--→（）A.()2f a 'B.0C.()a f ' D.()a f '21[解析]A11.已知()12x f x x=+，求1(1)f -=（）A.1- B.1C.13-D.13[解析]反解12y x y=-，交换,x y 得反函数12x y x =-，则1(1)1f -=-。
2019河南专升本数学真题答案
2019河南专升本数学真题答案
河南2019年统招专升本考试结束了，很多同学都在问小编有没有真题试卷，好老师教育河南专升本教研团队整理了本次《高等数学》的真题试卷并进行了整体分析。
整体情况：本次考试中，难度系数适中，所考题型不变，无超题目，重点仍然集中在微积分学，考察题型与知识点为集训班常讲内容，高等数学总分150分，原题命中25题；选择题共30题命中11题，命中分值22分；填空题共10题命中6题，命中分值12分；计算题共10题命中7题，命中分值35分；证明题命中1题，命中分值7分，且相似题占比100%，知识点覆盖率100%。
从协议集训班学员反馈情况来看，此次考试题型在集训时均有专项版块训练，部分学员分数预估可以达到140分左右，甚至满分。
一、2019年河南专升本整体报考情况分析
全省报考127500人，仅郑州地区报考“专升本”考生65262人，比去年增加了11619人，增长21.7%。
2019年河南专升本报名人数居于第一位的是护理学，高达10000人，成为河南专升本历史上第一个上万人专业！
第二名会计学8710人，
第三名临床医学7194人，
临床医学招生院校：河南大学民生学院、河南科技大学、新乡医学院三全学院！总共招生850人。
第四名财务管理6956人，
第五名小学教育6863人!
2019河南专升本报名人数12.75万，2018年10.9961万，2017年6.4205万！
综合对比，所以今年河南专升本考试竞争将会空前激烈！。
2019河南专升本高等数学真题及其答案
2019年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项。
1.函数f (x )=ln(√1+x 2−x)在定义域内是（ ） A.不确定 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数2.已知f (x )的定义域是[1,e ]，则f (e x )的定义域为（ ）A.(0,1]B.[0,1]C.[0,1)D.(0,1) 3.曲线y =13x 3+12x 2+6x +1在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为 （ ）A.(−16,0)B.(−1,0)C.(16,0)D.(1,0) 4.当x →0时，√1+ax 23−1与−12x 2等价，则a = （ ）A.−32 B.32C.12D.−125.极限lim x→∞3+2n−4n 23n 2−5n+4=（ ）A.1B.−1C.−43D.436.极限lim x→0sin 4x 5x= （ ）A.−45B.45C.−54D.547.当x →0时，e 2x 2−1是x 2的（ ）A.低阶无穷小B.高阶无穷小x u a ny iC.等价无穷小D.同阶非等价无穷小8.已知函数f (x )={a +ln x ,x ≥12ax −1, x <1，在x =1处连续，则a =（ ）A.1B.−1C.12D.−129.设f (x )={1−x, x <−1cos π2x ,x ≥−1,则x =−1是f (x )的（ ）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点10.函数f (x )在点x =a 处可导，则：lim x→0f (a+x )−f (a−x )x=（ ）A.2f ′(a )B.−2f ′(a )C.f ′(a )D.−f ′(a )11.设f (x )=x 1+2x，那么f −1(1)= （ ）A.−1B.1C.−13D.1312.已知y =xe x ，求 dy = （ ）A.(x −1)e 2x dxB.(x −1)e x dxC.(x +1)e x dxD.xe x dx13.曲线y =x 21+x 的垂直渐近线为 （ ）A.x =1B.x =−1C.y =1D.y =−114.方程3x −2sin x =0 (−∞<x <+∞)的实根的个数为 （ ） A.0B.1C.2D.无数个15.曲线y =2x 3+x +1的拐点为 （ ） A.x =0B.(1,1)C.(0,0)D.(0,1)16.若在区间[a,b ]内，g ′(x )=f ′(x )，则下列等式正确的是 （ ）A .g (x )=f(x)B.(∫g(x)dx )′=(∫f(x)dx )′C.g (x )=f (x )−CD.∫g(x)dx =∫f(x)dx17.计算不定积分∫11−2xdx =（ ）A.12ln |1−2x |+CB.12ln (1−2x )+CC.−12ln |1−2x |+C D.−12ln (1−2x )+C18.ddx ∫cos t dt ba = （ ）A.sinxB.cosxC.0D.xsinx19.当k 为何值时，广义积分∫e −kx dx 0−∞收敛 （ ）A.k >0B.k ≥0C.k <0D.k ≤0x u a ny i20.已知函数f (x )在(1,5)上可积，∫f (x )dx =1,∫f (x )dx =2,5−11−1求∫3f (x )dx 15 （ ）A.−2B.2C.−3D.321.平面x −2y +7z +1=0与平面5x −y −z +5=0的位置关系是 （ ）A.重合B.垂直C.平行D.相交但不垂直22.已知向量a ⃗=(6,x,−4),b ⃗⃗={y,−2,−2}，已知a ⃗与b⃗⃗平行，则x,y =（ ）A.4,−3B.−3,−4C.−4,3D.3,−423.二元函数z =x ln (x +y )，则ð2zðxðy = （ ）A.x(x+y )2B.−x(x+y )2C.y(x+y )2D.−y(x+y )224.一元函数在某点处极限存在是在该点可导的_____条件 A.必要B.充分C.充要D.无关25.已知D ={(x,y )|x 2+y 2≤9}，则二重积分∬D√9−x 2−y 2dxdy =（ ）A.18πB.36πC.9πD.6π26.设L 是直线x +y =0上从(2,−2)到(−2,2)的一段弧，则曲线积分∫Lcos y dx =（ ）A.−2sin 2B.2sin 2C.−2cos 2D.2cos 227.已知∑∞n=1(u 2n−1+u 2n )收敛，则（ ）A.∑∞n=1u n 收敛B.lim n→∞u n =0C.∑∞n=1u n 不确定D.∑∞n=1u n 发散28.y =Ce x 是y ′′−y =0的 （ ） A.解B.通解C.特解D.所有解29.已知y =2e x −x 2+x +1，则y (520)= （ ） A.520e x B.2e xC.2e 520xD.030.x 2−y 2=1表示的二次曲面是（ ）A.锥面B.抛物面C.双曲柱面D.单叶双曲面二、填空题（每小题2分，共20分）31.极限lim x→∞(1+33+x)x =_____。
2019年专升本高数真题答案解析(浙江)
17. 解: y ( x) ln( 2 cos x) x x ln( 2 cos x) e x ln x ，因此：
y
2
1 cos x
(2
cos x)
e x ln x (ln
x
1)
2
sin x cos x
x x (ln
x
1)
，故
y x1 1，所以 dy x1 dx
18. 解: 令 t x ， x t 2 ， dx 2tdt ，故：原式 sin t 2tdt 2 t sin tdt
24. 解:由题意可知： ( f (x) 4)x 2 f (t)dt 1 x3 1 ，初值条件为： f (2) 0
2
x
63
两边对 x 求导得： 1 xf (x) 1 f (x) 2 f (x) 1 x2 ，
2
2
2
整理得到： f (x) 1 f (x) x 4 ，故 P(x) 1 ， Q(x) x 4 ，
x
x
x
x
故：
f
(x)
e
(
1 x
) dx
[
x
4
e
(
1 x
) dx
dx
C]
x[
x
1
4 x2
dx
C]
x
x
4 x
C
x2 4 Cx ，由于初值条件为： f (2) 0 ，因此 C 4 ，即： f (x) x2 4x 4 y
M
P
x
O
BN
25. 解:设利润为 f (x) ，由题意可得：
x0
x2 nxn1
A
此： n 1 2 ，故 n 3
(A 0, A ) ，因
浙江省2019年专升本高等数学考试真题卷及参考答案
4
4
4
y exy 12ex y (x y)' (xy)' 0
即 ex y (1
y')
(y
xy' )
0 ，整理得
y'
y exy exy x
。
13、 (1,2) 解析： y'' 6x 6 0, 所以 x 1 ，当 x 1时， y'' 0 ，当 x 1 时，
(a
ex
)
lim
x0
1 x2 2 x3
(a
ex
)
lim
x0
(a
ex 2x
)
，因为极限存在且不
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等于 0，且 lim 2x 0 ，所以 lim(a ex ) 0 ，解得 a 1。
x0
x0
9、 sec3 t
dy
解析：
dy dx
dt dx
sin t cos t
tan t ，
16、解：
lim
x0
ln(1 x) x2
x
lim
x0
1 1
x
1
2x
lim 1 (1 x0 2x(1
x) x)
lim
x0
1 2(1 2x)
1 2
。
17、解：
y(x)
ln(2
cos x)
e xln x
，则
y'
2
1 cos x
(2
cos x)'
e xln x
(x
ln
x)'
=
2
1 cos x
(- sin
x)
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
2019年专升本高等数学(二)真题及答案
15． 设示议y In“'汀·贝'J,.l v
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D.0.1
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第 1I 卷（非选择题 ， 共110分）
得 分1许谷人
二 、填空题(11 -20小题， 每小题4分 ， 共40分）
日 ． 节.r -0114 f(.r）与扛儿亨价儿究小 ． 则l.1m. 竺r
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专升本高等数学二真题2019附解析
专升本高等数学(二)真题2019年第Ⅰ卷(选择题)一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.•A.-e2•B.-e•C.e•D.e2D[解析]2. 设函数y=arcsinx，则y'=______．A．B．C．D．B[解析]3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f'(x)＞0，f(a)f(b)＜0则f(x)在(a，b)内零点的个数为______．•A.3•B.2•C.1•D.0C[考点] 本题考查零点存在定理．[解析] f(x)在(a，b)上必有零点，又因为函数单调，必然只存在一个零点．4. 设函数y=x3+e x，则y(4)=______．•A.0•B.e x•C.2+e x•D.6+e xB[解析] y'=3x2+e x，y"=6x+e x，y'"=6+e x，y(4)=e x．5.A．arctanxB．arccotxC．D．0C[解析]6. ∫cos2xdx=______．A．B．C．D．A[解析]7.•A.-10•B.-8•C.8•D.10D[解析]8. 设函数z=(x-y)10，则=______．•A.(x-y)10•B.-(x-y)10•C.10(x-y)9•D.-10(x-y)9C[解析]9. 设函数z=2(x-y)-x2-y2，则其极值点为______．•A.(0，0)•B.(-1，1)•C.(1，1)•D.(1，-1)D[解析] ，令，可得驻点为(1，-1)，而，，故Δ=0-(-2)·(-2)=-4＜0，因此(1，-1)是函数的极值点．10. 设离散型随机变量X的概率分布为X-1012P2a a3a4a则a=______．•A.0.1•B.0.2•C.0.3•D.0.4A[解析] 由概率分布的性质可知2a+a+3a+4a=10a=1，得a=0.1．第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题1. 当x→0时f(x)与3x是等价无穷小，则3[解析] 由题可知2.2[解析]3. 设函数，则f'(1)=______．[解析]4. 设x2为f(x)的一个原函数，则f(x)=______．2x[解析] 由题意可知∫f(x)dx=x2+C，因而f(x)=(∫f(x)dx)'=(x2+C)'=2x．5. 设函数y=lnsinx，则dy=______．cotxdx[解析]6.[解析]7.析]8.4[解析]9. 设函数，则[解析]10. 设函数z=sinx·lny，dz=______．[解析]dz=d(sinx·lny)=lnyd(sinx)+sinxd(lny)=cosxlnydx+三、解答题共70分，解答应写出推理、演算步骤．1. 计算2. 设函数，求f'(x)．解：3. 计算解：令x=sint，，则有dx=costdt，所以，4. 计算解：5. 一个袋中有10个乒乓球，其中7个橙色，3个白色，从中任取2个，设事件A为“所取的2个乒乓球颜色不同”，求事件A 发生的概率P(A)．解：6. 设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=2处取得极值，点(1，-1)为曲线y=f(x)的拐点，求a，b，c．解：f'(x)=3ax2+2bx+c，f"(x)=6ax+2b，由于f(x)在x=2处取得极值，则f'(2)=12a+4b+c=0，点(1，-1)是y=f(x)的拐点，故有f(1)=-1，f"(1)=0，7. 已知函数f(x)的导函数连续，且f(1)=0，，求．8. 设函数，证明：解：由得，，则 =-1+1=0．。
2019年河南省普通专升本高等数学真题及答案
2019年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域内是()A ．不确定奇偶性B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇函数【答案】D【解析】因为函数()x f 定义域为R ，且()()x f x x xx x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-222221ln 11ln 1ln ，所以()x f 为奇函数．2．函数)(x f 的定义域为],1[e ，则)(x e f 的定义域是()A ．](1,0B ．[]1,0C ．()1,0D ．)[1,0【答案】B【解析】由题可知()x e f 中有e e x ≤≤1，解得10≤≤x ，所以()x e f 的定义域为[]1,0．3．曲线16213123+++=x x x y 在)1,0(处的切线与x 轴的交点坐标为()A ．)0,61(-B ．()1,0C ．)0,61(D ．)(0,1-【答案】A【解析】切线斜率()662=++'===x x x xy k ，则切线方程为(),061-=-x y 即16+=x y ，令0=y 得61-=x ，故切线与x 轴的交点坐标为)0,61(-．4．当0→x 时，1132-+ax 与221x -等价，则=a ()A ．23-B ．32-C ．21-D ．32【答案】A【解析】因为当0→x 时，23231~11ax ax -+，则1322131lim 2111lim 2202320=-=-=--+→→a x axx ax x x ，所以23-=a ．5．极限=+--+∞→453423lim 22n n n n n ()A ．1B ．43C ．52-D ．34-【答案】D【解析】34453423lim 453423lim 2222-=+--+=+--+∞→∞→nn n n n n n n n n ．6．极限=→xxx 54sin lim0()A ．45B ．51C ．54D ．1【答案】C 【解析】5454lim 54sin lim00==→→x x x x x x ．7．当0→x 时，122-x e 是2x 的()无穷小A ．高阶B ．低阶C ．等价D ．同阶非等【答案】D【解析】当0→x 时，222~12x e x-，则122lim 1lim 2202202≠==-→→x x xe x x x ，故当0→x 时，122-x e 是2x 的同阶非等价无穷小．8．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=1,121,ln )(x ax x x a x f 在1=x 处连续，则=a ()A ．1B ．1-C ．0D ．3【答案】A【解析】因为函数()x f 在1=x 处连续，且()()()()()1212lim lim ,1ln lim lim 1111-=-===+=--++→→→→a ax x f f a x a x f x x x x ，所以a a =-12，故1=a ．9．设⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=1,2cos 1,1)(x x x x x f π，则1=x 是其()A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】A【解析】因为函数()x f 在1=x 处有定义，且()()()()02coslim lim 101lim lim 1111=====-=--++→→→→x x f f x x f x x x x π，所以1=x 是函数的连续点．10．函数)(x f 在a x =处可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim0()A ．()a f '2B ．0C ．()a f 'D ．()a f '21【答案】A 【解析】()()()()()()()()()()().2lim lim )()(limlim0000a f a f a f x a f x a f x a f x a f xa f x a f a f x a f x x a f x a f x x x x '='+'=---+-+=+---+=--+→→→→11．已知xxx f 21)(+=，则=-)1(1f ()A ．1-B ．1C ．31-D ．31【答案】A【解析】由()x x x f 21+=，可得到其反函数xx x f 21)(1-=-，故()121111-=-=-f ，故应选A ．12．已知x xe y =，则=dy ()A ．dxxe x B ．dxe x C ．()dxe x x+1D ．()dxx e x+【答案】C【解析】()x x x e x xe e y +=+='1，故()dx e x dy x +=1．13．xx y +=12的垂直渐近线为()A ．1=xB ．1-=x C ．1=y D ．1-=y 【答案】B【解析】由题意可知，令01=+x ，可得1-=x 为其无定义点，故由定义可知∞=+-→xx x 1lim 21，所以垂直渐近线是1-=x ，故选B ．14．方程)(0sin 23+∞<<-∞=-x x x 的实根个数为()A ．0B ．1C ．2D ．无数个【答案】B【解析】设()x x x f sin 23-=，则()x x f cos 23-='，由于,1cos 1≤≤-x 5cos 231≤-≤x ，故()0>'x f ，()x f 在()+∞∞-,内单调递增，又因为()00=f ，所以函数()x f 只有一个零点，即方程0sin 23=-x x 只有一个实根．15．12213123++-=x x x y 的拐点为()A ．0=xB ．)1,1(C ．)0,0(D ．)1,0(【答案】D【解析】函数123++=x x y 的定义域为R ，x y x y 12,162=''+='，令0=''y 得0=x ，且0>x 时，0>''y ；0<x 时0<''y ，所以函数的拐点为()1,0．16．可导函数()x f 和()x g 满足)()(x f x g '='，则下列选项正确的是()A ．()()g x f x =B ．(())(())g x dx f x dx ''=⎰⎰C ．()()g x f x C =-D ．()()g x dx f x dx=⎰⎰【答案】C【解析】由()()x f x g '='两边同取积分得()()C x f x g -=，再积分得()()()()()Cx dx x f Cdx dx x f dx C x f dx x g -=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰，两边求导得()()()()()()C dx x f Cx dx x f dx x g -'='-='⎰⎰，故选C ．17．计算不定积分=-⎰dx x211()A ．1ln 122x C-+B ．1ln(12)2x C-+C ．1ln 122x C--+D ．1ln(12)2x C--+【答案】C 【解析】()C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰21ln 212121121211．18．cos bad tdt dx =⎰()A ．a b cos cos -B ．0C ．a b sin sin -D ．ba sin sin -【答案】B【解析】定积分的结果是一个确定的常数，常数求导是0，故选B ．19．当k 为何值时，dx e kx ⎰∞--0收敛()A ．0>kB ．0≥k C ．0<k D ．0≤k 【答案】C【解析】因为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>∞<-=-=∞==∞--∞-∞--⎰⎰,0,,0,11,0,1000k k k e k k dx dx e kx kx发散收敛发散所以当0≥k 时，dx ekx⎰∞--0发散；当0<k 时dx e kx ⎰∞--0收敛，故选C ．20．若)(x f 在)5,1(上可积，⎰-=111)(dx x f ，⎰-=512)(dx x f ，则⎰=15)(3dx x f ()A ．2-B ．2C ．3-D ．3【答案】C【解析】由定积分的性质，可知()()()⎰⎰⎰--+=115151dx x f dx x f dx x f ，故1)(51⎰=dx x f ，即313)(3)(35115-=⋅-=-=⎰⎰dx x f dx x f ．21．平面0172=++-z y x 和平面055=+--z y x 的位置关系为()A ．重合B ．垂直C ．平行D ．相交但不垂直【答案】B【解析】平面0172=++-z y x 的法向量()7,2,11-=n，055=+--z y x 的法向量()1,1,52--=n ，因为021=⋅n n，所以两平面垂直．22．若)2,2,(),4,,6(--=-=y b x a ，已知b a //，则y x ,的值分别是()A ．3,4-B ．4,3--C ．4,3-D ．3,4-【答案】D【解析】因为→→b a //，所以22426=--=-=x y ，故3,4=-=y x ．23．已知)ln(y x x z +=，则=∂∂∂yx z2()A ．()2y x x +B ．()2y x y +C ．()22y x y x ++D ．()22y x y x ++【答案】B【解析】()()()2221,ln y x y y x x y x y x z y x x y x x z +=+-+=∂∂∂+++=∂∂．24．一元函数在某点处极限存在是在该点可导的()条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．无关【答案】A【解析】一元函数在某点处极限存在但在该点不一定可导；反之一元函数在某点处可导则在该点一定连续，进而在该点极限一定存在．25．级数nn n x n ∑∞=+122的收敛区间为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛-41,41B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21C ．()1,1-D ．()2,2-【答案】B【解析】因为()()()2322lim 2322lim lim 11=++=⋅++⋅==∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n ρ，所以级数n n n x n ∑∞=+122的收敛半径211==ρR ，故收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21．26．已知L 为0=+y x 上从点)2,2(-到点)2,2(-上的一段弧，则=⎰Lydx cos ()A ．2sin 2-B ．2sin 2C ．2cos 2-D ．2cos 【答案】A【解析】22:,:-→-=x x y L ，则原式()2sin 2sin cos cos 2222-==-==--⎰⎰xdx x ydx L．27．已知∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则()A ．∑∞=0n n u 收敛B ．0lim =∞→n n uC ．∑∞=0n n u 敛散性不确定D ．∑∞=0n n u 发散【答案】C【解析】收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如，级数()()() +-++-+-111111收敛于零，但级数() +-+-1111却是发散的．28．x Ce y =是0=-''y y 的()A ．解B ．通解C ．特解D ．所有解【答案】A【解析】微分方程0y y ''-=的特征方程为012=-r ，特征根为1,121-==r r ，则微分方程的通解为12x x y C e C e -=+．又因为x y Ce =，x Ce y ='，x Ce y =''，所以把y y '',代入方程可知，x Ce y =满足微分方程0=-''y y ，即x Ce y =是微分方程的解，但x Ce y =只有一个任意常数，则x Ce y =不是通解，不是特解，也不是所有解，故选A ．29．若122++-=x x e y x ，则=)520(y ()A ．520xe B ．2e xC ．5202xe D ．0【答案】B【解析】221x y e x '=-+，22x y e ''=-，2x y e '''=， ，(520)2x y e =，故选B ．30．122=-y x 表示的二次曲面是()A ．椭圆柱面B ．抛物面C ．双曲柱面D ．单叶双曲面【答案】C【解析】由方程特点可知，221x y -=表示双曲柱面．二、填空题(每小题2分，共20分)31．极限3lim 13xx x →∞⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________．【答案】3e 【解析】33333lim3333lim 1lim 133x x xx xxxx x ee x x →∞+⋅⋅++→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．32．微分方程1090y y y '''-+=的通解是________．【答案】912x x y C e C e =+，12,C C 为任意常数【解析】特征方程为21090r r -+=，特征根11r =，29r =，故通解为912x x y C e C e =+，其中12,C C 为任意常数．33．设(1)23f x x +=+，则(()3)f f x -=________．【答案】43x -【解析】(1)232(1)1f x x x +=+=++，()21f x x =+，故(()3)(22)43f f x f x x -=-=-．34．若⎰-=xdt t x f 0)1()(，则()f x 的单调增区间是________．【答案】(1,)+∞【解析】1])1([)(0-='-='⎰x dt t x f x，令()0f x '>，解得1x >，故()f x 的单调增区间是(1,)+∞．35．不定积分=________．C【解析】12221(1)(1)2x d x C -=++=⎰．36．62(sin )x x x dx ππ-⋅+=⎰________．【答案】323π【解析】因为x x sin 6⋅在区间],[ππ-上为奇函数，2x 在区间],[ππ-上为偶函数，所以由偶倍奇零，可得3622312(sin )2233x x x dx x dx x πππππ-⋅+==⋅=⎰⎰．37．交换积分次序21(,)x dx f x y dy =⎰⎰________．【答案】110(,)dy f x y dx⎰【解析】积分区域{}{}1,10),(0,10),(2≤≤≤≤=≤≤≤≤x y y y x x y x y x ，则交换积分次序21(,)x dx f x y dy =⎰⎰110(,)dy f x y dx ⎰．38．22z x y =+的全微分dz =________．【答案】22xdx ydy +【解析】22z zdz dx dy xdx ydy x y∂∂=+=+∂∂．39．将1()2f x x =-展开成2x +的幂级数为________．【答案】101(2)4n n n x ∞+=+∑，(6,2)x ∈-【解析】,)2(41)42(41421141)2(4121010∑∑∞=+∞=+=+=+-⋅=+-=-n n nnn x x x x x ，其中1421<+<-x ，即(6,2)x ∈-．40．参数方程331cos 21sin 2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的导数dy dx =________．【答案】tan t-【解析】t t t tt dt dx dt dy dx dy tan )sin (cos 23cos sin 2322-=-⋅⋅==．三、计算题(每小题5分，共50分)41．求不定积分cos x xdx ⎰．【答案】sin cos x x x C++【解析】cos sin sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．42．求极限21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】12【解析】令t x=1，则22200001111ln(1)ln(1)111lim ln 1lim lim lim lim 22(1)2x t t t t t t t t x x x t t t t t →∞→→→→-⎡⎤+-+⎛⎫⎡⎤+-+=-==== ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦．43．设方程y x xyz xy 42-=+所确定的隐函数),(y x z z =，其中0≠xy ，求zx∂∂，z y ∂∂．【答案】2z y yz x xy ∂+-=-∂，4z x xz y xy∂++=-∂【解析】令(,,)24F x y z xy xyz x y =+-+，则2x F y yz =+-，4y F x xz =++，z F xy =，由于0≠xy ，故2x z F z y yz x F xy ∂+-=-=-∂，4y z F z x xz y F xy∂++=-=-∂．44．已知2,0()0x x f x x ≤⎧⎪=>，求31(2)f x dx --⎰．【答案】325-【解析】令2x t -=，则2+=t x ，dx dt =，当1x =-时，3t =-，当3x =时，1t =，故原式325322)()()(10230320313113-=+=+=+==----⎰⎰⎰⎰⎰t t dtt tdt dt t f dt t f dt t f ．45．求过点(9,8,5)且与直线3210210x y y z ++=⎧⎨+-=⎩平行的直线方程．【答案】985236x y z ---==-【解析】设所求直线的方向向量为s ，由题意知320236(2,3,6)021==-+=-i j ks i j k ，又由于直线过点(9,8,5)，故所求直线的方程为985236x y z ---==-．46．计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由1y =，y x =，2x =所围成的闭区域．【答案】56【解析】由题意可知，积分区域{}x y x y x D ≤≤≤≤=1,21),(，故2223221111115()326x Dxdxdy dx xdy x x dx x x ⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．47．求幂级数15(1)nn n x n ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点）．【答案】(5,5)-【解析】因为115(1)1limlim 5(2)5n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞+===+，所以收敛半径15R ρ==，故收敛区间(5,5)-．48．求方程cos (0)xy y x x '+=>的通解．【答案】1(sin )y x C x=+，C 为任意常数【解析】方程可化简为1cos x y y x x'+=，由公式可得故()11cos 11cos (sin )dxx x x y e e dx C xdx C x C x xx-⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，C 为任意常数．49．求321312323y x x x =-+-的极值．【答案】在1x =时，取得极大值12，在2x =时取得极小值13【解析】函数的定义域为R ，232(1)(2)y x x x x '=-+=--，令0y '=，得11x =，22x =．列表，定义域被分为3个区间x (,1)-∞1(1,2)2(2,)+∞y '+0-0+y极大值极小值综上，函数在1x =时，取得极大值12，在2x =时取得极小值13．50．求椭球面222239x y z ++=在点(2,1,1)处的切平面方程．【答案】22390x y z ++-=【解析】令222(,,)239F x y z x y z =++-，则2x F x =，4y F y =，6z F z =，所以切平面的法向量(4,4,6)2(2,2,3)==n ，又由于切平面过点(2,1,1)，故切平面的方程为2(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，即22390x y z ++-=．四、应用题(每小题7分，共14分)51．曲线2y x =，2x =，0y =所围图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【答案】325π【解析】联立方程22y x x ⎧=⎨=⎩，解得交点(2,4)，由题意可知，222520032()55x V x dx x πππ===⎰．52．已知血液浓度C 关于时间t 的函数为32004.004.003.0)(t t t t C -+=，求时间t 为多0.0885≈）【答案】02.7【解析】由题意可知，20012.008.003.0)(t t t C -+=')0(>t ，令0012.008.003.0)(2=-+='t t t C ，得35.01≈t (舍)，02.72≈t ．故02.7≈t 为唯一的驻点．又由于002.7012.008.0)02.7(<⨯-=''C ，故在02.7≈t 处，取得极大值，由实际意义可知，在02.7≈t 处，可取得最大值，即在02.7≈t 处，血液浓度最大．五、证明题(6分)53．函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，()f b b =且()0f x ≠，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=⋅．【解析】令()()xF x f x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且2)]([)()()(x f x f x x f x F '-='，又因为()1()a F a f a ==，()1()bF b f b ==，由罗尔定理知，至少存在一个点(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，又0)(≠ξf ，所以0)()(='-ξξξf f ，即()()f f ξξξ'=⋅．。
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I 第 卷（选择题 ， 共40分）
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第 1I 卷（非选择题 ， 共110分）
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二 、填空题(11 -20小题， 每小题4分 ， 共40分）
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