参数的矩估计及评价标准

4.掌握总体与样本定义，性质，样本分布函数 和密度函数的的计算（连续，离散），会判断 是否为统计量，熟练写出常用的统计量：样本 均值，未修正和修正的样本方差，样本标准差， 样本k阶原点矩、中心矩，顺序统计量（容量 为2）及其各自的特点。 掌握分位数求法和卡方分布的由来（要求）及 性质。会用矩估计办法求未知参数的点估计， 无偏估计定义和相关常见结论。 相关内容和习题：P126:eg4.1;4.2P127:4、5、 6 P130:1,2 P132命题4.2P137:5,6,8 P139：Th4.2（1,2熟练记作）P142：2 P150：eg5.2P158:eg5.9
2
2 222 分别是未知参数 的估计量,称为矩估计量. ( X ) E ( X ) D ( X ) [ E ( X )] . 2
如果已知样本观测值为
ˆ ˆ ( X , X , , X ) 2 212 n
n
2 222 分别是未知参数 ( X ) E ( X ) D ( X ) [ E ( X )] .的估计值,称为矩估计值. 2
2 i
n 1 2 2 （1）样本均值S (X X ) ,是总体均值 i n 1i 1
（2）样本方差 无偏估计量.

1 n X Xi , n i1
证明:
的无偏估计量；
是总体方差 X 的
证： 因为样本 服从相同分布，所以有
相互独立， 且与总体 X
x , x , , x , S 1 2 n



1.全概率公式。贝叶斯公式（8分） 2.已知连续随机变量密度f(x)，求期望，方差（8分） 3.矩估计（10分） 4.已知二位离散型随机变量的联合分布列，求协方 差和相关系数（10分） 5.中心极限定理（独立同分布情形下的 ；10分） 6.对连续型随机变量的二位联合分布或密度函数， 求待定系数，边际分布或密度，独立性判断，以 及在某个区域上的概率（14分）
思考题 设 个随机变量
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独立同分布， 则
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（A ） （B ） （C ） （D）
是 的无偏估计量.
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是 的最大似然估计.
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是 的相Leabharlann Baidu估计量（即一致估计量）.
是
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的无偏估计量:
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2.有效性（不作要求）
设 与 参数 limP(ˆ)1,的无偏估计量,如果
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n n
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都是
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则称
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比
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有效.
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如果对于给定的样本容量 , 的方差
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参数的点估计
点估计 —— 由随机抽样估计参数的具体值的方法.
区间估计—— 根据置信度估计未知参数的取值范围.
, 1k ( X ) A X , k 1 , 2 , , m . ˆ k k i 分析: i 1 n
2 2 以上是通过已知条件来确定参数,不是参数估计. i i i
n n n n n n
的数学期望 n
则称 ˆ n 是 limP(ˆ)1, 的无偏估计量.
如果样本观测值为
是 limP(ˆ)1, 的无偏估计值.
n n
,则称 n

[例1] 设总体D(X)的均值 , 方差 X , X , , X 1 2 n
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于是，按矩估计法
( X ) ˆ1 ˆ 2 ( X ) 1 n Xi , n i 1 1 n 2 Xi . n i 1
得方程组
1 n Xi , n i 1 n 1 2 2 2 X i . n i 1
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从总体 中抽取样本
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,用样本各阶原点矩
作为总体 的各阶原点矩的估计量
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解这个方程组,得
2 1 [ n (2 2 ) n ( 2 )] n 1 n


设 X ~ N(70, ),且P( X 90) 0.0228,


3. 二维随机向量的分布函数及其性质，二维离 散型随机变量的联合分布及其边缘分布列，二 维连续型随机变量联合概率密度函数定义性质 及其边缘概率密度函数，随机变量的独立性， 两个连续型随机变量和的密度计算公式，最大 值与最小值的分布，掌握协方差、相关系数的 定义、性质；不相关的等价关系，中心极限定 理的应用； 书上相关内容、例题3.10, 3.13，3.15，3.30, 3.31, 3.32及课后习题p84 5、7； p95 13,14,15， p103 4；P120 4、5


2.掌握分布列、分布函数、概率密度的定义及 性质，会计算随机变量的数学期望与方差，掌 握随机变量数学期望与方差的性质、切比雪夫 不等式，掌握常用的离散型分布((两点分布， 几何分布，二项分布，泊松分布)，常用的连续 型分布(均匀分布，指数分布，正态分布)，熟 记常用分布的数学期望与方差；会计算正态随 机变量落在一区间的概率，会求随机变量函数 的分布； 书上相关内容, 例题2.23, 2.24, 2.28及课后习 题P45 12; P62 6 ; P68~69 1,3,7; p73 3、 6
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小结
未知参数的估计量的三个评选标准:无偏性,有效性
和一致性. 评价估计量,不能从一个估计量的某次具体表现上 去衡量好坏,而应看其整体性质. 由于一致性是在极限
意义下引入的,而在实际中往往难以增大样本容量, 而且 证明估计量的一致性并非容易, 在实际中常使用无偏性
和有效性这两个标准.

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2 222 设总体 的分布中含有未知参数 ( X ) E ( X ) D ( X ) [ E ( X )] ., 假定 2
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阶原点矩都存在,
k ( X ) E ( X ) ( , , , ) , k 1 , 2 , , m . k k 1 2 m
复习知识点


1. 事件间的关系与运算，概率的公理化定义， 概率的性质，古典概率，条件概率，乘法公式， 全概率公式、贝叶斯公式，事件的独立性； 书上相关内容，例题1.9，1.11，1.15, 1.16， 1.20 , 1.23, 1.25, 1.26及课后练习P14 4、5， P20 3, P29 9，P35 习题一 7.
由数学期望与方差的性质可知
E ( S ) ,
2 2
2 所以，N(,2), 是 的无偏估计量 :

X
（2）
而
( X ) E ( X ) ,
1
S
S
2
"
"S

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2
E ( S ) ,
X
由此得
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所以，
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[例] 设总体 服从正态分布 其中 及 都是未知参数， 如果取得样本观测值为
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求 及 的矩估计值. 解: 因为总体 的分布有两个未知参数，所以应考虑 一、二阶原点矩，
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与 相互独立.
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[1992 数学四]
分析:
对于任何总体， 虽然有
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即 是
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的无偏估计量，但是未必有
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即 未必是
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的无偏估计量. 所以答案（A）不正确. 对于正态总体， 的最大似然估计量是样本二阶 中心矩而不是样本方差
点估计:通过抽样估计未知参数的具体值.
E ( X ) D ( X ) [ E ( X )]
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?
n
S
2
点估计
1 n 2 D ( X i ) n i 1

.
2


2

n

1 n 2 n


2
2


2
ˆ
1.矩估计法
总体 的
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的矩估计值就是
1 n ˆ xi x , n i 1 n 1 2 ~2 . ˆ ( xi x)2 n i1
书上P158 例题5.9
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2.最大似然估计法
（不作要求，考研出现过）
直观思想:一次抽样就出现的一组观测值可能性最大. 例如 有两件相同的零件箱,各装1000个零件. 一箱有 950个正品,50个次品;另一箱50个正品, 950个次品.现 任取一件,任取一个零件,发现取得正品.问,所取零件 来自哪一件? 答:来自第一件.
小结
求未知参数估计量的常用方法是矩估计法和最大 似然估计法. 矩估计法: 以样本矩作为总体的相应矩的估计, 以样本 矩的函数作为总体的相应矩的函数的估计. 最大似然估计法: 使似然函数达到最大值. 似然函数对 离散情形考虑概率,连续情形考虑概率密度.
衡量点估计量好坏的标准
1.无偏性
设参数 limP(ˆ)1, 的估计量 存在且等于limP(ˆ)1, ,即 ˆ ˆ D ( ) D ( ) , 1 2
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最小, 则
称 是 的有效估计量.
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3.一致性（不作要求）
如果
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)1, 即对于任意给定 时, 按概率收敛于 limP(ˆ,
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n n
的正数 ,有
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则称
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是 的一致估计量.
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所以
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是 的最大似然估计
No No Image Image
从而答案（B）不正确。 这一结论显然不成立，
对于正态总体有： 与
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相互独立. 对于一般总体，
所以答案（D）不正确. 这一结论未必成立， 答: 应选（C）.
考试大题考点（基本不考原题）
于是解得
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及
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的矩估计量为
1n X X, ˆ i i 1 n 2 1n 2 1n 2 2 2 X X ( X X ) S . ˆ i i 0 i 1 i 1 n n
而 及
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