立方根(2)(1)
平方根_立方根综合练习(二) (1).
第十章 平方根 立方根综合练习（二）一 平方根【例题精选】： 例1：求下列各数的平方根： （1）81 （2）1625（3）214（4）0.49解：（1）∵()±=9812，∴81的平方根是±9，即：±=±819（2）∵±⎛⎝ ⎫⎭⎪=4516252，∴1625的平方根是±45，即：±=±162545（3）∵2149432942=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=，，∴214的平方根是±32，即：±=±=±2149432（4）∵()±=070492..，∴0.49的平方根是±07.，即：±=±04907..例2：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。
（1）－64（2）0（3）()-142 （4）102-解：（1）因为－64是负数，所以－64没有平方根。
（2）0有一个平方根，它是0。
（3）∵()-=>1419602，所以()-142有两个平方根，且()±-=±=±14196142（14）因为10110022-=>，所以102-有两个平方根，且±=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-1011011022例3：求下列各数的算术平方根： （1）25 （2）4964（3）0.81 （4）81解：（1）∵5252=∴25的算术平方根是5即：255=（2）∵7849642⎛⎝ ⎫⎭⎪=，∴4964的算术平方根是78即：496478=（3）∵090812..= ∴0.81的算术平方根是0.9即：08109..=（4）∵819=（注：计算81的算术平方根，也就是计算9的算术平方根。
） ∵9的算术平方根是3∴81的算术平方根是3例4：求下列各式的值：（1）144（2）-36121 （3）±00001.（4）214116+解：（1）∵121442=，∴14412=（2）∵611361212⎛⎝ ⎫⎭⎪=，∴-=-36121611（3）∵()001000012..=，∴±=±00001001..（4）21411694116321474+=+=+= 例5：（1）已知正方形的边长为5cm ，求这个正方形的面积；（2）已知正方形的面积是25cm 2，求这个正方形的边长。
二次根式及性质与立方根
课题：二次根式及性质与立方根【学习目标】1：掌握立方根的概念，并会用符号表示一个数的立方根。
2：掌握二次根式的概念与其基本性质，以及二次根式的化简。
【重点】根式的化简【教学内容】知识回顾：记笔记内容：立方根1、立方根的定义：一般地，如果3x a ，那么x叫做a的立方根,或三次方根.数a的立方根记作3a，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，左上角的3叫做根指数.2. 立方根的性质：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0.3.求一个数的立方根的运算叫做开立方.例1、1、求下列各数的立方根： （1）-0.125； （2）127； 2、求下列各式的值：（1）327-； （2）-327125； 参考答案：1、（1）-0.5； （2）13； 2、（1）3-； （2）35-；练习1、：1、求下列各数的立方根：（1）-27125； （2）-164； 2、求下列各式的值： （1）31-； （2）364125--； （3）310227+；3、求下列各式中x 的值：（1）30.125x =； （2）()3180x --=.参考答案：1、（1）-35； （2）-14； 2、（1）1； （2）45； （3）43；3、（1）0.5x =； （2）3x =.二、二次根式及性质1、形如a ()0a ≥的式子叫做二次根式。
读作“根号a ”，其中a 为整式或分式，a 叫做被开方式。
“”称为二次根号。
注意：（1）a 表示a 的算术平方根。
（2）a 可以是数，也可以是式。
（3）双重非负性，即0,0≥≥a a ，且()()02≥=a a a 。
例2、1、x 取什么实数时，二次根式21x -有意义？2、计算：(1)()237; (2)()()255a a +≥-参考答案：1、12x ≥ 2、（1)63; (2)5a +练习2、1、a 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2a + （2）2a （3）1a2、计算： （1）()212 （2）()245 （3）()23.6- （4）234⎛⎫⎪⎝⎭参考答案：1、（1）2a ≥- （2）a 取任意实数 （3） 0 a2、（1）12 （2）80 （3）3.6 （4）342、二次根式的基本性质：（1）当0a ≥时，2a a =;当a <0时，2a =-a 对任意实数a ，2a =a 。
初中数学知识归纳立方根的概念与运算
初中数学知识归纳立方根的概念与运算初中数学知识归纳：立方根的概念与运算数学在我们的日常生活中无处不在，而初中数学作为我们数学学习的积淀阶段，其中涉及到的知识点也非常丰富。
本文将对初中数学中的一个重要知识点进行归纳总结，即立方根的概念与运算。
一、立方根的概念所谓立方根，指的是某个数的立方等于给定数的运算。
具体来说，对于一个非负实数a，若一个实数x满足x³=a，那么x就是a的立方根。
我们用符号∛a表示a的立方根，读作“开三次方”。
例如，对于数8来说，8的立方根为2，即∛8=2，因为2³=8。
同样地，对于数27来说，27的立方根为3，即∛27=3，因为3³=27。
二、立方根的运算1. 立方根的计算立方根的计算方法有多种，其中最常用的方法是通过反复试探逼近的方式进行计算。
一般而言，我们可以利用近似值来逐步逼近真实的立方根。
举例来说，我们想要求解∛64的值，可以从一些常见的整数立方根出发。
我们知道2³=8，3³=27，4³=64。
可以发现，3³和4³的差距已经很小了，因此我们可以使用3.5作为∛64的一个近似值。
经过具体计算发现，3.5³=42.875，已经很接近64了。
2. 立方根的性质立方根具有以下一些基本性质：（1）若a>0，则∛a>0，即正数的立方根仍然是正数；（2）若a<0，则∛a<0，即负数的立方根仍然是负数；（3）∛a^3=|a|，即将一个数的立方根再立方，等于这个数的绝对值。
三、立方根的应用立方根在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 几何体的体积计算对于诸如正方体、长方体等立方体形状的几何体，我们可以使用立方根来计算其体积。
例如，一个边长为a的正方体的体积为V=a³，那么我们可以得到a=∛V。
2. 速度和时间的关系在物理学中，有一个著名的公式——速度=路程÷时间。
人教版七年级下册数学立方根课件 (2)
5:如果3b-6没有平方根,则b ＜2;如果3b-6的平方根 是0,则b =2 ;如果3b-6的一个平方根是-3，那么 b= 5 .
6:一个数的 平方等于289，那么这个数的算术
平方根是 17 。 7：一个正方形的面积是256，则它的边长为 16。
8：-11是 121的算术平方根的相反数；- 11 是 11 的一个平方根。
D
C
H
G
8平方厘米
A
B
8 厘米
D
?
E
F
C
8立方厘米
A
B
问题2 要制作一种容积为27m3的正方形的 包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
设这种包装箱的边长为xm，则
这就是要求一个数，使它的的立方等于27.
因为 33＝27
所以
x＝3，
即这种包装箱的边长应为3m.
上面两个例子表明，在实际问题中我们 常常遇到，要找一个数，使它的立方等于 给定的数.由此我们抽象出下述的概念：
正 有两个平方根， 性 数 互为相反数
有一个立方根，也是正数
0
有一个平方根，是0
有一个立方根，是0
质负 数
没有平方根
有一个立方根，也是负数
开 求一个数的平方根的运算叫 求一个数的立方根的运算
方 开平方；开平方与平方是互 叫开立方；开立方与立方
逆运算。
是互逆运算。
表 示
a，其中a 是被开方数， 2是根指数（省略）
人教版 初中数学
PPT课件
立
方 根
平方根和立方根的习题课
复习
1.平方根的定义? 2.我们把求平方根的运算称之为 开平方
开平方运算与乘方运算是 互逆运算
1）正数a的平方根是： a
(完整版)数的开方知识点汇总
7、实数与数轴的关系
任意一个数对应了数轴上的一个点，数轴上任意一上 点对应了一个实数，因此实数与数轴上的点是—对 应关系。
iii：算术平方根非负即当a>0时-,a>0
4、立方根
（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就 叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略） （3、）立方根的性质：
（3）算术平方根的性质：
1正数有一个正的算术平方根。
20的算术平方根是0
3负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）, a的双重非负性
1首先，石要有意义，首先被开方数必须是一个非 负数。
2其次，心表示一个非数的算术平方根，它的值不 可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：,a中a>0,a>0
（5）初中所学的三类非负数i：绝对值非负即|a|>0丘：偶次方非负即a偶次>0
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为土..a，读作正负根号a
其实它的完整写法是土2a我们称2是根指数，a叫做
被开方数，、叫根号，我们平常省略了根指数2。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
【数学教案-立方根】 立方根公式
下面就介绍它的奇异求法．
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先用前三位数 140 来确定立方根的十位数．因为 53＜140＜63，所以 十位数是 5，而不是 6．再用最终一位数 8 来确定立方根的个位数．因为 23＝8，所以个位数是 2．就是说，140608 的立方根是 52．确定立方根的 个位数时要留意下面规律：我们知道：13＝1，43＝64，53＝125，63＝216， 93＝729，就是说当被开方数的末位数是 1、4、5、6、9 时，立方根的个 位数就等于它本身(1、4、5、6、9)；
五、教学过程〔 fwsir 〕
(一)复习提问 请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？
3．开立方概念：
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求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
4．开立方运算与立方运算互为逆运算． 因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根． 例 1． 求以下各数的立方根： 解：(1)∵(-2)3=-8， (2)∵23=8，
5．立方根的性质： (1)正数有一个正的立方根． (2)负数有一个负的立方根． (3)0 的立方根是 0． 这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方 根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有 平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是 0 的平方根，立方根都是它本身．
(7) 的立方根为________ .
性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个
(8)一个自然数的算术平方根是 a，那么与这个自然数相邻的下一个 特殊重要的概念，希望同学们能够娴熟地把握它，尤其是它们之间的联系
七年级下册的立方根知识点
七年级下册的立方根知识点立方根是一种数学运算，得到一个数的立方根要求这个数是一个立方数（也就是一个自然数的三次方）。
例如，8的立方根是2，因为2的三次方等于8。
在七年级下册的数学课程中，学生将会学习立方根知识。
下面是七年级下册的立方根知识点：一、立方根的定义立方根是指一个数的三次方等于该数的运算，例如，8的立方根是2，因为2的三次方等于8。
二、立方根的符号立方根的符号是∛。
我们可以将立方根的符号放在一个数前面，表示对这个数进行立方根运算。
例如，∛8表示对8进行立方根运算。
三、立方根的性质1. 一个正数的立方根是唯一的。
例如，8的立方根只有一个值，即2。
2. 负数也有立方根，但是不是实数。
例如，-8的立方根是-2+√3i和-2-√3i，其中i表示虚数单位。
四、立方根的计算方法1. 特殊情况下的计算方法。
(1)当一个数是立方数时，我们可以直接求出它的立方根。
例如，8的立方根是2。
(2)当一个数不是立方数时，我们可以通过试除法来逼近它的立方根。
例如，要计算∛5，我们可以先取一个近似值，如∛8≈2.83。
然后用5除以2.83的平方，得到5/8.0089≈0.6245。
再用2.83加上0.6245，得到3.4545。
用3.4545的立方与5比较，判断是否还需要迭代计算。
如果差异很小，就可以得到5的近似立方根。
2. 一般情况下的计算方法(1)牛顿迭代法利用牛顿迭代法可以快速地计算立方根。
这种方法的核心思想是逐步逼近正确答案，具体做法是选取一个近似值，通过不断迭代逼近该值。
例如，要计算∛5，我们可以取一个初始值x0=2，然后用公式x1=(2/3)x0+(1/3)(5/x0^2)求出近似值x1。
再将x1代入公式中计算x2，直到收敛于正确答案。
(2)二分法利用二分法也可以计算立方根。
假设要求∛a的值，首先确定一个范围[0,a]，然后取中点值m=(0+a)/2，计算m的立方根，如果小于a则认为其值过小，取[m,a]继续计算，否则值过大，取[0,m]继续计算。
八年级数学上册第2章习题课件：立方根(北师大版)
解：设正方体的棱长为x m，则x3＝3.375， ∴x＝3 3.375＝1.5. ∴S＝1.52×6＝13.5. 答：制作此木箱至少需要13.5 m2的木板．
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3 立方根
7．下列各组数互为相反数的一组是( A )
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3 立方根
4．要做一个体积为27 cm3的正方体模型，它的棱长为 3 cm. 【解析】 这就是要求一个数，使它的立方等于27， ∵33＝27，∴这个正方体的棱长为3 cm.
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3 立方根
5．求下列各数的立方根．
(1)－27；
(2)0.729；
61 (3)164.
解：(1)∵(－3)3＝－27，∴3 －27＝－3.
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3 立方根 (3)∵－343＝－2674， ∴－2674的立方根是－34，即 3 －2674＝－34. (4)∵21207＝6247，而433＝6247， ∴21207的立方根是43，即 3 21207＝43. (5)(a－1)3的立方根为a－1，即3 a－13＝a－1.
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3 立方根
【变式跟进 1】 求下列各数的立方根： (1)64； (2)－125； (3)－2674； (4)21207； (5)(a－1)3. 解：(1)∵43＝64，∴64的立方根是4，即3 64＝4. (2)∵(－5)3＝－125， ∴－125的立方根是－5，即3 －125＝－5.
类型之三 立方根在实际生活中的应用 一个正方体的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，则这个正方体
立方根精讲精练（含答案）-
立方根精讲精练（含答案）-立方根【基础知识精讲】1.立方根的意义 (1)立方根的意义：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(或三次方根). 就是说，如果x 3＝a ，那么x 就叫做a 的立方根. (2)立方根的定义：数a 的立方根用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数.2.立方根的性质(1)任何数都有立方根，且只有一个立方根.(这与平方根的性质不同，正数有两个平方根，负数没有平方根).(2)正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根还是0. 3.开立方运算开立方运算与立方运算互为逆运算. 【重点难点解析】重点难点分析重点本节的重点是立方根的概念. 难点本节的难点是立方根的求法. 【典型例题解析】例1 求下列各数的立方根.(1)343； (2)0.729； (3)-22710. 分析：本题考查立方根的求法，解题方法是运用立方根的定义求解. 解(1)∵ 73＝343，∴ 343的立方根是7，即3343＝7. (2)∵ 0.93＝0.729，∴0.729的立方根是0.9，即3729.0＝0.9.(3)∵ (-34)3＝-2764＝-22710，∴ -22710的立方根是-34，即327102 ＝-34.总结本题的易错点是和求平方根混淆或弄错符号，解题关键是运用立方根的定义求解.例21.下列说法正确的是( )A. 81的平方根是±3；B.1的立方根是±1；C. 1＝±1；D. x >0.解选A.2. 38的平方根是 .解 38＝2，2的平方根是±2. 例3 求下列各式的值：(1)-36427-； (2)3973.01-； (3)-327105-； (4)32004524?? 解 (1)- 36427- ＝36427＝43； (2)3973.01-＝3027.0＝0.3； (3)-327105-＝-327174＝-327125＝-35； (4)32004524??＝32231023532＝33331032??＝2×3×10＝60.2.求下列各式的值： (1)3216； (2)- 3827； (3)3512343-. 解 (1)3216＝6；(2)- 3827＝-23；(3)3512343＝-3512343＝-87.例4 求下列各式的x ；(1)(x+3)3+27＝0； (2)(x-0.5)3+10-3＝0.分析：本题考查立方根的求法，解题思路是把x+3和x-0.5先看成一个数，分别求出其立方根，再求x.解 (1)(x+3)3+27＝0.∴ (x+3)3＝-27.∴ x+3＝327-.x+3＝-3.∴ x ＝-6; (2)(x-0.5)3+10-3＝0. ∴ (x-0.5)3＝-10-3.∴ x-0.5＝3310--.即x-0.5＝-0.1.∴ x ＝0.4.总结本题的解题关键是先求出x+3和x-0.5的立方根. 【难题点拨】例1 若x x y x --++3922＝0，求：3x+6y 的立方根.解由xx y x --++3922＝0，知≠-=-=+0309022x x y x ③②①由 ?≠-=-03,092x x ③②得x ＝-3.把x ＝-3代入①，得y ＝6.∴ 3x+6y ＝3×(-3)+6×6＝-9+36＝27. ∴ 3x+6y 的立方根，即为327＝3. 【难题解答】例2 求下列式子中的x ：(x-1)3＝8解：x-1＝38 ∴x-1＝2 即x ＝3【命题趋势分析】(1)本节的中考热点是考查立方根的定义及性质.(2)本节内容在中考中常以填空题、选择题的形式出现.解答时要透彻理解立方根的定义及性质.【典型热点考题】例1 求下列各式中的x 的值：(1)(0.1+x)3＝-27000； (2)41(2x+3)3＝54.解(1)0.1+x ＝327000-＝-327000＝-30，∴ x ＝-30.1;(2)(2x+3)3＝4×2×27＝23×33＝63，∴ 2x+3＝336＝6，故x ＝23. *例2 设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3,xyz>0,且3222199819971996z y x ++＝31996+31997+31998，求x 1+y 1+z1. 解设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3＝a ，则1996x 2＝x a ,1997y 2＝ya,1998z 2＝z a , 31996＝x a 3,31997＝ya 3,31998＝z a 3，所以条件等式变为3)111(zy x a ++＝)111(3z y x a ++,∴3111zy x ++＝x 1+y 1+z 1,∴x 1+y 1+z 1＝1.例3 当x 为何值时，下列各根式有意义? (1)2x -； (2)3232+x x. 解当-2x ≥0时，2x-才有意义，∴ x ≤0. (2)∵ 当3x+2≠0时，3232+x x有意义，∴ x ≠-32.【同步练习】1.选择题(1)下列说法错误的是( )A.3a 中的a 可以是正数、负数、零；B.a 中的a 不可能是负数C.数a 的平方根有两个，它们互为相反数；D.数a 的立方根有一个 (2)下列语句正确的是( )A. 64的立方根是2B.-3是27负的立方根C.216125的立方根是±65D.(-1)2的立方根是-1(3)要使33)4(a -＝4-a 成立，那么a 的取值范围是( )A.a ≤4B.-a ≤4 4C.a ≥4D.一切实数(4)下列计算或命题中，正确的个数有( )①±3都是27的立方根；②33a ＝a ；③364的立方根是2；④32)8(±＝±4.A.1个B.2个C.3个(5)16的平方根和立方根分别是( )A.±4，316B.±2，±34C.2，34D.±2，34(6)下列说法正确的是( )A.零不存在算术平方根B.一个数的算术平方根一定是正数C.一个数的立方根一定比这个数小D.一个非零数的立方根，仍然是一个非零数(7)如果一个数的平方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (8)如果一个数的立方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (9)下列式子中，不正确的是( )A. 3125827＝352B.±3216＝±6C. 3064.0＝0.4D.33)5451 (10)若一个数的立方根等于这个数的立方，则不满足这个条件的数必为( )A.1B.0C.-1D.不为1，0，-1的其他数 (11)计算下列各式所得结果中( )①25.0；②1691；③3227；④10000；⑤0001.01；⑥416.A.大于1的有两个B.小于1的有两个C.结果相同的有两个D.上述结论都不对2.填空题(1)3a 读作，其中被开方数是，根指数是，被开方数的范围是 .(2)若x 3＝-27，则x ＝ ;y 3+64＝0，则y ＝ ;3z 3-81＝0,则z ＝ . (3)-64的立方根是，3729的平方根是， (-13)3的立方根是 . (4)-103是的立方根. (5)32)8(-＝，3310-＝，316437-＝ . (6)数a 的平方根最多有个，最少有个，立方根最多有个，最少有个.(7)一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 . (8)若x 2＝(-5)2，则(x-1)3＝ .(9)若3x -有意义，则xx --1)1(2＝ .(10)若a<0,则2a +33a ＝ .(11)若a,b 互为相反数，c,d 互为负倒数，则2 222ba b a +--5cd ＝ . 3.求下列各式中的x.(1)(x+3)3+27＝0(2)(x-0.5)3+10-3＝0(3)(10-0.1x )3＝-0.027(4)343x 3-38-＝-625(5)21(2x-3)3+32＝0(6)64x 2-3＝46(7)8(x-1)3＝-64125(8)81 +25x 3＝-1164.计算(1)3125.0-3161+3281??-(2)14-+25.0-3375.3(3)31-3008.0-3000343.0 (4)3827+641-3641891--256311-【素质训练】5.x 取什么值时，下列各式有意义：(1)32x -；(2)325-x6.已知3x ＝4，且(y-2z+1)2+43-z ＝0，求3333z y x ++的值.参考答案【同步练习】1.(1)C (2)A (3)D (4)B (5)D (6)D (7)C (8)D (9)A (10)D (11)C2.(1)三次根号a,a,3，全体实数(2)－3，－4，3 (3)－2，±3，－13 (4)100027(5)4，101，－43(6)两，零，一，一 (7)4 (8)64或－216 (9)1 (10)0 (11)1 3.(1)x ＝－6 (2)x ＝0.4 (3)x ＝103 (4)x ＝－73 (5)x ＝－21 (6)x ＝±8 7(7)x ＝83(8)x ＝－354.(1)－1 (2)－0.5 (3)1.13 (4)21615.(1)x 为全体实数(2)x ≠±2 【素质训练】6.6。
立方根 教学设计(二)
立方根教学设计（二）教学设计思想：这节课我们讨论立方根的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法，这是本章的重点内容之一．在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性(实数范围内)的讨论上，组织教学活动时，引导学生多举一些实例。
在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结。
让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：知识与技能：1．能说出立方根的概念，会表示一个数的立方根。
2．知道开立方与立方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求一个数的立方根。
3表示的是非负数a的平方根。
过程与方法：通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同。
情感态度价值观：发展求同存异思维；由立方与立方根的教学，渗透数学的转化思想；教学重难点：重点：立方根的概念及求法难点：立方根与平方根的区别。
教学方法：类比及引导探索法课时安排1课时教学媒体多媒体教学过程：(一)复习提问请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？在同学们回答后，启发学生是否可试着给数的立方根下个定义．（二）立方根1．立方根的概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．2．立方根的表示方法：类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，注意，在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根.练习：用根号表示下列各数的立方根：3．开立方概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．4．开立方运算与立方运算互为逆运算．因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根．例1．求下列各数的立方根：解：(1)∵(－2)3=－8，(2)∵23=8，(4)∵ (0.6)3=0.216，(5)∵03=0，下面我们思考这样一个问题：一个正数有几个平方根？负数有没有平方根？一个正数有几个立方根？负数有没有立方根？请学生来回答这个问题．由前面刚刚做过的题我们不难看出像8、0.126、103、这样的正数，有一个正的立方根；像－8、、这样的负数有一个负的立方根；0的立方根是0．由此我们得了立方根的性质．5．立方根的性质：(1)正数有一个正的立方根．(2)负数有一个负的立方根．(3)0的立方根是0．这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身．例2．求下列各式的值：解：(1)∵33=27，(2)∵ (－3)3=－27，(5)∵ (102)3=106，(6)∵ (103)3=109，例3．解方程：(1)x3=0.125；(2)3(x－4)3－1536=0．解：(1)x3=0.125x=0.5．(2)3(x－4)3－1536=0(此题可由学生先做，教师纠正错误)3(x－4)3=1536(x－4)3=512x－4=8x=12．尽管我们学习了立方根，而我们也只能由立方根的定义求解x3=a(a为常数)这一类型的简单的三次方程，所以像第(2)小题，我们要把(x－4)看成一个整体，依然转化成为x3=a 的形式，再由立方根定义去解．填空练习：(1)1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．(2)平方根是它本身的数是____．(3)立方根是其本身的数是____．(4)算术平方根是其本身的数是________．(5)的立方根为________.(6)的平方根为________.(7)的立方根为________ .(8)一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．解：(1)±1；1；1．(2)0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)(3)±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)(4)0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)(5)－2（此题学生易得出－4的答案，应引导学生将翻译为－8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）(6)（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）(7)－2．(8)，（此题引导学生先根据算术平方根来表示被开方数为a2，再表示相邻的下一个自然数为a2+1，注意表示其平方根时有两个值．）（三）小结今天我们主要学习了立方根的概念和性质，一定要与平方根的概念和性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个非常重要的概念，希望同学们能够熟练地掌握它，尤其是它们之间的联系与区别．（四）板书设计。
北师大版-数学-八年级上册-第二章第三节立方根教案-.
《八年级上第二章第三节立方根》教案第1课时 2.3立方根【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：(一)教学知识点1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.(二)能力训练要求1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.(三)情感与价值观要求当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.【教学重点】1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.【教学难点】：立方根的概念【教学工具】：小黑板◆教学情景导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a.若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？◆教学过程设计1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=3a，读作x等于三次根号a.开立方的定义［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.(2)立方根的性质［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.(3)平方根与立方根的区别与联系.［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±a，立方根表示为3a.2.例题讲解［例1］求下列各数的立方根：(1)－27；(2)1258；(3)0.216；(4)－5. ［师］请大家思考下列问题.3a 表示a 的立方根，则(3a )3等于什么？33a 等于什么？大家可以先举例后找规律.： (3a )3=a .又∵a 3是a 的立方,所以a 3的立方根就是a ，所以33a =a .下面就这两个式子进行练习.［例2］求下列各式的值： (1)38-；(2)3064.0；(3)－31258；(4)(39)3 Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.求下列各式的值：333333)16(;5;64;125.0-.2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？解：设正方体的棱长是x 厘米，得(二)补充练习1.求下列各数的立方根：0，1，－8127，6，－1000125，0.001 2.求下列各式的值：3233333333)278(;)2(;)2(;16463;1251;1;027.0------ 3.下列说法对不对？ －4没有立方根；1的立方根是±1；361的立方根是61；－5的立方根是－35；64的算术平方根是 Ⅳ.议一议1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？2.一个正方体的体积变为原来的n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？解：设原正方体的棱长为a ，后来的正方体的棱长为b ，得na 3=b 3∴3333n a b =∴b =a n n a 333=. 即后来的棱长变为原来的3n 倍.Ⅴ.课时小结1.立方根的定义.2.立方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别与联系.5.会求一个数的立方根.Ⅵ.课后作业习题2.5.Ⅶ.活动与探究1.求下列各式中的x.(1)8x3+27=0；(2)(x－1)3－0.343=0；(3)81(x+1)4=16；◆课堂板书设计§2.3 立方根一、(1)立方根开立方的定义(2)立方根的性质(3)立方根与平方根的联系与区别二、例题讲解(求立方根)三、练习四、议一议五、小结六、作业。
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
【答案】B；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C．4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
【答案】D.
例2．（1）下列运算中错误的有（）
① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）
（3）
课堂巩固
1.估算31的立方根在两个整数之间.
【答案】4和5
2.比较 的大小
【答案】
3.比较3
【答案】<
【答案】
例4求下列各式中x的值
（1） （2）8(x－1)3＝－ （3） ．
【答案】（1） ； （2）x＝－ ；（2）x=3.
【详解】
（1） ； ； ；
（2） ； ； ；
（3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x＝3
实数
第二讲立方根
知识讲解
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
补充：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
五、平方根与立方根的联系
典例讲解
例1、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4； 是 的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
课堂巩固
1.下列说法正确的是（ ）
求立方根（笔算开立方）方法
1、从个位向左每3位数分一节，最左一节可能是3位、2位也可能是1位数。
分出几节说明 立 方根就有几位数。
2、求出最高（左边第一）节位立方根（整数），余数连接下一节3位数作为下一组的被除数。
3、用求出的立方根的2次方×300后试除被除数，能商几就用前面立方根的平方×300×商＋前面立方根×30×商的平方＋商的立方。
（注：一般实际商会比试商少1，因为在试商的情况下还要＋新商的立 方 ）这个商就是所 求立 方根的第2位数。
4、同上：将第二次的余数连接下一节3位数作为新的被除数。
5、将前面已 有 两位数组成的立方根的平方×300后试除新的被除数，能商几就 用 ：前两位立方根的平方×300×商＋前两位立方根×30×商的平方＋商的立方。
这个商就是所求 立 方根的 第 3位数。
6、反复采用上述计算方法，直到余数是0为止。
通过试商，如果发现商大或商小了就减小或增大数字就行了。
总之求出的 立 方根必须与题目相符。
例1：求17576的立方根解：分节：17’576说明立方根有2位数17的立方根（整 数 部分）是22×2×2=817-8=99000+576＝95762的平方×300＝12009576÷1200最多商77-1=6（试商）2×2×300×6+2×30×6×6+6×6×6=95769576-9576=020+6=2617576的立方根 是 26例2：求13144256的立方根解：分节：13’144’256说明立方根有3位数13的立方根（整数部分）是2 2×2×2=813-8=55000+144＝51442的平方×300＝12005144÷1200最多商44-1=3（试商）2×2×300×3+2×30×3×3+3×3×3=41675144-4167=977977000+256=97725623×23×300＝158700977256÷158700最多可以 商 623×23x300x6＋23×30×6×6+6×6×6 ＝977256977256-977256=0200+30+6=23613144256立方根 是 236。
人教版七年级下数学6.2立方根(2用计算器求立方根、用有理数估计一个数立方根的大小)教案
《§6.2立方根（2）》一、教材分析：1、说教材的地位和作用这一节课是人教版（2012年版）义务教育教科书数学七年级下册第六章《实数》§6.2立方根，本节共两课时，这节课的内容为第二课时。
本章内容是在前面学习有理数的基础上，把有理数的范围进行扩大，也可以看成是其后的代数内容的起始章，是学习二次根式、一元二次方程以及解三角形的基础，因此本章内容起着承上启下的作用，在中学数学中占有重要的地位。
通过本章的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的。
在此之前，学生已学习了数的平方根内容和研究方法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
通过本节课的学习，学生可以更深入的了解无理数，为后面学习实数奠定基础。
2、说教学目标知识与技能：（1）会正确使用计算器求一个数的立方根。
（2）能用有理数估计一个立方根的大致范围，使学生形成估算的意识，培养估算能力。
过程与方法：经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。
情感态度与价值观：培养学生严谨的数学学习态度，科学的探索精神。
4、说教学重点和难点（1）重点：计算器的使用方法和用有理数估计一个立方根的大致范围。
（2）难点：探索立方根的变化规律及应用。
二、学情分析七年级具有学生年龄低、好奇心强、发言积极、爱好表现，有话就说，小组合作初步形成，兼有一定的形象思维和初步的逻辑思维能力，知识经验不够丰富的特点，因此探索的结论还需要同学公认和老师把关。
三、教法分析针对以上学生基础知识薄弱，主动参与学习的积极性高，学习探究能力较差的这种情况及本节课的特点，我采用“类比探究----验证结论-----归纳概括----巩固应用”为主线的教学程序。
通过创设生动有趣的情境，本着结论让学生得，疑难让学生议，思路让学生想，错误让学生析，规律让学生找，小结让学生讲的原则，在方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，激发学生对数学学习的兴趣。
沪科版数学七下6.1.2 立方根(精品课件)
一定是零；
(×)
(4)一个数的立方根不是正数就是负数；( × )
(5) 0 的平方根和立方根都是 0 .
(√ )
2. 求下列各式的值：
（1）3 64 ； （2）3 0.001 ；
3
(3)
64
.
125
解：（1） 3 64 4.
（2） 3 0.001 0.1.
3
（3）
64
4.
125 5
3. 求下列各式的值：
因为(
1 2
)3
= 0.125，所以
0.125
的立方根是（
1 2
）；
因为( 0 )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（ 0 ）；
因为(-2)3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（-2）；
因为(
2 3
)3
＝
8 27
，所以
8 27
的立方根是（
2 3
）.
知识要点 立方根的性质
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用 方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解．
用计算器求立方根
例3 用计算器求下列两数的立方根：343，-1.331. 解：依次按键： 2ndF 3 3 4 3 = 显示：7 所以， 3 343 = 7. 依次按键：2ndF 3 (-) 1 . 3 3 1 = 显示：-1.1 所以，3 1.331 = 1.1.
零的立方根是零.
立方根是它本身的数 有 1，-1，0； 平方根是它本身的数
只有 0.
平方根与立方根的异同
被开方数
平方根
立方根
正数 有两个，互为相反数 有一个，是正数
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82=64
(3 a )3 a
13.比较下列各组数的大小.
（1） 3 9 与2;
（2） 3 3 与 3 .
2
解：因为 ( 3 9)3 = 9 因为 ( 3 3)3 = 3
23 = 8 因为8<9 所以 2< 3 9
( 3)3 27
2 因为
8 27 3< 8
所以 3 3 < 3
2
14、观察a，b所在位置，完成化简
．+
-
a2 a
解：原式＝ b b a (a b)
＝b+ b﹣a ﹣a+b ＝3b﹣2a．
3 a3 a
• 15．已知x+2是27的立方根，3x+y﹣1的算术 平方根是4，求7x+3y平方根．
解：由x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4， 得：
，
解得：
，
∴7x+3y＝7+42＝49， ∵49的平方根为±7， ∴7x+3y的平方根为±7．
第六章 实数
6.2. 立方根（第2课时）
概念复习
针对练习
算术平方根、平方根、立方根联系和区别：
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
性 正数
0
质负数aa Nhomakorabea3a
a≥ 0
a≥ 0
a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
7．若a是（﹣8）2的平方根，则 等于（ C ）
±8
64
A．﹣8 B．2 C．2或﹣2 D．8或﹣8
8、估计68的立方根的大小在（ C ）
A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间
43=64 53=125
9．如果
≈1.333，
约等于（ C ）
A28.7 B．0.2872
≈2.872，那么 C．13.33 D．0.1333
若 3 x =2， y2 =4，求 x 2 y 的值.
解：∵ 3 x =2， y2 =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ x 2 y = 16 = 4 或 x 2 y = 0 = 0.
是本身
0,1
0
0,1,-1
2、立方和开立方是互逆运算
a (3 a )3 a 3 a3
3 a 3 a
平方和开平方是互逆运算
( a )2 a（a≥0） a2 a
3、被开方数的小数点每向右（或左）移 动两位，开方后算术平方根的小数点就向 右（或左）移动一位。
被开方数的小数点每向右（或左）移动三 位，开方后立方根的小数点就向右（或左） 移动一位。
a2
• 10．若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3
a2+3
• 的正数的平方根是（ C ）
A．
B．
C．
D．
11．若一个数的算术平方根与它的立方根相等，那么
这个数是 0和1．
12．已知一个数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的
立方根是 4 ．
3a+1+a+11=0 ,
a=-3
-3+11=8,
作业
1、课本52页练习 第5、6、8、9题 2、课本61页 第4题
当堂练习
1.算一算：
(1)
- 3 27 =___-_3___
,
3 64
4
____5____,
125
(2) 0.125的立方根是____0_._5_____,
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729
(3) - 3 1 ____1_____ , 3 103 ___1_0____ .
•
-3
±2
4．﹣27的立方根与4的平方根的和是（
C
）
• A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．±5或±1
a=±2
b=3
-2-3=-5
• 5．若a2＝4，b3＝27且ab＜0，则a﹣b的值为（ D ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
6．若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根
是（ D ）
64
A．±2 B．±4 C．2 D．4
（4）已知则
a 1 , b 3 2
2ab 2 1 (3) 3 2
，则
＝ -1 ．
-8
• 2． 的立方根是（ C ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．不存在
• 3．小雪在作业本上做了四道题目：① ＝﹣3；②
± ＝4；③ ＝9；④
＝ 6，√她做对了的题目
有（ B ）
√
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道