北京科技大学材料力学课件第九章教材
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精品课件-材料力学(张功学)-第9章

9-3)。图9- 4(a)所示狭长矩形截面梁,当载荷F达到或超过一定数值时, 梁将突然发生翘曲;图9-4(b)所示承受径向外压的圆柱形薄 壳,当外压p达到或超过一定数值时,圆环形截面将突然变为 椭圆形。
第9章 压杆稳定 图9-3
第9章 压杆稳定 图9-4
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界载荷
第9章 压杆稳定 表9-1 几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷
第9章 压杆稳定 例9-1 图9-10所示细长圆截面连杆,长度l=800 mm,
直径d=20mm,材料为Q235钢,其弹性模量E=200 GPa。试计 算该连杆的临界载荷。
图9-10
第9章 压杆稳定
解 该连杆为两端铰支细长压杆,μ=1。根据欧拉公式, 其临界载荷为
第9章 压杆稳定 图9-1
第9章 压杆稳定
对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9-2所示两 端铰支的细长理想直杆,受力后处于直线平衡构形。在任意微 小侧向干扰下,压杆将产生微小弯曲(见图9-2 (a))。外 界微小干扰去除后将出现两种不同情况:当轴向压力较小时, 压杆最终将恢复其直线平衡构形(见图9-2 (b));当轴向 压力较大时,压杆不仅不能恢复其直线平衡构形,而且将继续 弯曲,产生显著的弯曲变形(见图9-2(c)),甚至破坏。上 述情况表明:当轴向压力小于临界载荷Fcr时,压杆直线平衡 构形是稳定的;当轴向压力大于临界载荷Fcr时,压杆直线平 衡构形是不稳定的,在任意微小的外界扰动下,压杆的直线平 衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形,这种过程称为屈曲或失 稳。在临界载荷Fcr作用下,压杆既可在直线构形下保持平衡, 也可在微弯构形下保持平衡。所以,当轴向压力达到或超过临 界载荷时,压杆直线平衡构形将会失稳。
界应力,并用σcr表示。根据式(9-6),细长压杆临界应力
第9章 压杆稳定 图9-3
第9章 压杆稳定 图9-4
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界载荷
第9章 压杆稳定 表9-1 几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷
第9章 压杆稳定 例9-1 图9-10所示细长圆截面连杆,长度l=800 mm,
直径d=20mm,材料为Q235钢,其弹性模量E=200 GPa。试计 算该连杆的临界载荷。
图9-10
第9章 压杆稳定
解 该连杆为两端铰支细长压杆,μ=1。根据欧拉公式, 其临界载荷为
第9章 压杆稳定 图9-1
第9章 压杆稳定
对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9-2所示两 端铰支的细长理想直杆,受力后处于直线平衡构形。在任意微 小侧向干扰下,压杆将产生微小弯曲(见图9-2 (a))。外 界微小干扰去除后将出现两种不同情况:当轴向压力较小时, 压杆最终将恢复其直线平衡构形(见图9-2 (b));当轴向 压力较大时,压杆不仅不能恢复其直线平衡构形,而且将继续 弯曲,产生显著的弯曲变形(见图9-2(c)),甚至破坏。上 述情况表明:当轴向压力小于临界载荷Fcr时,压杆直线平衡 构形是稳定的;当轴向压力大于临界载荷Fcr时,压杆直线平 衡构形是不稳定的,在任意微小的外界扰动下,压杆的直线平 衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形,这种过程称为屈曲或失 稳。在临界载荷Fcr作用下,压杆既可在直线构形下保持平衡, 也可在微弯构形下保持平衡。所以,当轴向压力达到或超过临 界载荷时,压杆直线平衡构形将会失稳。
界应力,并用σcr表示。根据式(9-6),细长压杆临界应力
秦飞编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律

*9.6 应变能
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律 2
9.1 应力状态
(1)单元体与应力状态
应力是比较特殊的量(张量):
• 哪一点?
应力
要明确
• 在哪一个面上(面的方位)? • 面的哪个方向?
过一点不同方向面上应力的集合称为这一点的应力状态。 通常用包围该点的正六面体—单元体(element volume)的 各个面上的应力表示该点的应力状态。
α =60˚斜截面上的应力为
x y
2 x y
x y
2
cos 2 xy sin 2 16.3MPa
2
sin 2 xy cos 2 3.66MPa
25
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
9.2 二向应力状态分析
秦飞 编著《材料力学》PPT 讲义
第9章 应力状态分析与广义胡克定律
Stress Analysis and Generalized
Hook’s Law
第9章 应力状态分析与广义胡克定律
9.1 应力状态
9.2 二向应力状态分析
9.3 三向应力状态分析简介
9.4 广义胡克定律
*9.5 由测点处的正应变确定应力状态
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
8
9.1 应力状态
例题9–2
解:该悬臂梁承受扭矩、剪力和弯矩,由 内力图,固定端截面内力分别为
T Me
FS F
M Fl
A点处的单元体如图所示,单元体上各应力的大 小为 M 32Fl T 16M e A A Wz πd 3 W πd 3
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律 2
9.1 应力状态
(1)单元体与应力状态
应力是比较特殊的量(张量):
• 哪一点?
应力
要明确
• 在哪一个面上(面的方位)? • 面的哪个方向?
过一点不同方向面上应力的集合称为这一点的应力状态。 通常用包围该点的正六面体—单元体(element volume)的 各个面上的应力表示该点的应力状态。
α =60˚斜截面上的应力为
x y
2 x y
x y
2
cos 2 xy sin 2 16.3MPa
2
sin 2 xy cos 2 3.66MPa
25
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
9.2 二向应力状态分析
秦飞 编著《材料力学》PPT 讲义
第9章 应力状态分析与广义胡克定律
Stress Analysis and Generalized
Hook’s Law
第9章 应力状态分析与广义胡克定律
9.1 应力状态
9.2 二向应力状态分析
9.3 三向应力状态分析简介
9.4 广义胡克定律
*9.5 由测点处的正应变确定应力状态
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
8
9.1 应力状态
例题9–2
解:该悬臂梁承受扭矩、剪力和弯矩,由 内力图,固定端截面内力分别为
T Me
FS F
M Fl
A点处的单元体如图所示,单元体上各应力的大 小为 M 32Fl T 16M e A A Wz πd 3 W πd 3
材料力学(第四版)第九章

max
Pl M z max 4 43.3MPa Wz Wz
它比α=150时的斜弯曲最大正应力151.5Mpa小很多。可见, 当 Wy Wz 时,尽管荷载偏离y轴一个不大的角度,也会使梁的 正应显著增加,所以,在工程中应尽量避免发生斜弯曲.
例 :矩形截面木檩条如图,跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用, []=12MPa,容许挠度为:L/200 ,E=9GPa, q 试校核此梁的强度和刚度。
Mz My
z
中性轴
y
6.最大正应力及强度条件 在危险截面上作与中性轴平行且与截面只有一个交点的直 线,则这些交点距离中性轴最远。由斜弯曲正应力计算公式可 知,这些交点就是最大正应力作用点。 本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面 的a点(最大拉应力)和c点(最大压应力),强度条件为:
max
M z ,max y max Iz M y ,max Wy
M y ,max z max Iy
Mz My
M z ,max Wz
P y
z
中性轴
7.变形计算 斜弯曲的变形计算也可用叠加法。 Py引起的自由端的挠度 Py l 3 P cos l 3
fy 3EI z 3EI z
2.查型钢表得: No.32a工字钢的 Wz 692.2cm3
Wy 70.758cm3
A
C
B x Pz z
P a Py y l P
3.校核梁的正应力强度
max
M z max M y max 151.5MPa 160MPa Wz Wy
所以,梁的正应力强度足够。 附:本题中,若α=00,则梁发生平面弯曲,此时
Pl M z max 4 43.3MPa Wz Wz
它比α=150时的斜弯曲最大正应力151.5Mpa小很多。可见, 当 Wy Wz 时,尽管荷载偏离y轴一个不大的角度,也会使梁的 正应显著增加,所以,在工程中应尽量避免发生斜弯曲.
例 :矩形截面木檩条如图,跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用, []=12MPa,容许挠度为:L/200 ,E=9GPa, q 试校核此梁的强度和刚度。
Mz My
z
中性轴
y
6.最大正应力及强度条件 在危险截面上作与中性轴平行且与截面只有一个交点的直 线,则这些交点距离中性轴最远。由斜弯曲正应力计算公式可 知,这些交点就是最大正应力作用点。 本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面 的a点(最大拉应力)和c点(最大压应力),强度条件为:
max
M z ,max y max Iz M y ,max Wy
M y ,max z max Iy
Mz My
M z ,max Wz
P y
z
中性轴
7.变形计算 斜弯曲的变形计算也可用叠加法。 Py引起的自由端的挠度 Py l 3 P cos l 3
fy 3EI z 3EI z
2.查型钢表得: No.32a工字钢的 Wz 692.2cm3
Wy 70.758cm3
A
C
B x Pz z
P a Py y l P
3.校核梁的正应力强度
max
M z max M y max 151.5MPa 160MPa Wz Wy
所以,梁的正应力强度足够。 附:本题中,若α=00,则梁发生平面弯曲,此时
材料力学课件PPT

力学性质:在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸(含碳量0.3%以下)
e
b
f 2、屈服阶段bc(失去抵抗变 形的能力)
b
e P
a c s
s — 屈服极限
(二)关于塑性流动的强度理论
1.第三强度理论(最大剪应力理论) 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素,即不论材料处于简单还是复杂应力状态,只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响, 且对三向均匀受拉时,塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解: N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力:圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce(恢复抵抗变形
的能力)
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
北京科技大学材科基第二学期复习重点(共21张PPT)

• 形核(均匀、非均匀)
• 临界晶核半径、临界形核功、形核率 • 晶核长大
• 液固界面结构(光滑、粗糙) • 晶核长大方式
• 固溶体的结晶
• 平衡凝固、非平衡凝固 • 平衡分配系数、Scheil方程、成分过冷
• 共晶凝固和包晶凝固
共二十一页
第十一章 凝固(nínggù)
• 相关公式
CLC0fLk01
共二十一页
8. (本题20分) 用成分-自由能曲线表述二元过饱和固溶体脱溶驱动力和 形核驱动力。说明脱溶可能的贯序,解释产生这些贯序可能的原因。 下图为铝铜合金不同过渡相的转变曲线图,回答以下问题:①合金
经固溶处理后,在室温放置多少时间才开始出现G.P.区?②在什么 温度G.P.区出现最快?需要多少时间?③G.P.区能出现的最高温 度是多少?④q’’相出现的最高温度是多少?⑤在130 C时效
• 奇异晶界、邻位晶界 • 小角晶界和大角晶界:能量、偏析、迁移 • 取向差 • 相界—共格、半共格、非共格 • 体缺陷
共二十一页
第八章 固体中原子的扩散
• 扩散机制—间隙、空位、换位
• 扩散系数—微观意义、影响因素 • 扩散激活能 • 扩散方程的解
•误差函数解、高斯解、三角函数解、数值(shùzí)解、平方根关系
C S k 0 C 01 fSk 0 1
mLC01k0 GL DL k0 v
共二十一页
第十二章 固态转变
• 合金脱溶 • 脱溶贯序
• 时效 • 共析转变、块状转变
• 连续型转变—调幅分解、无序—有序转变 • 无扩散型相变 • 回复和再结晶
• 组织、性能变化、驱动力 • 再结晶基本规律、动力学及影响因素(yīn sù)
高;Σ3孪晶界是共格的,很稳定,能量很低,甚至低于小角晶界;杂质偏析少,迁移率
• 临界晶核半径、临界形核功、形核率 • 晶核长大
• 液固界面结构(光滑、粗糙) • 晶核长大方式
• 固溶体的结晶
• 平衡凝固、非平衡凝固 • 平衡分配系数、Scheil方程、成分过冷
• 共晶凝固和包晶凝固
共二十一页
第十一章 凝固(nínggù)
• 相关公式
CLC0fLk01
共二十一页
8. (本题20分) 用成分-自由能曲线表述二元过饱和固溶体脱溶驱动力和 形核驱动力。说明脱溶可能的贯序,解释产生这些贯序可能的原因。 下图为铝铜合金不同过渡相的转变曲线图,回答以下问题:①合金
经固溶处理后,在室温放置多少时间才开始出现G.P.区?②在什么 温度G.P.区出现最快?需要多少时间?③G.P.区能出现的最高温 度是多少?④q’’相出现的最高温度是多少?⑤在130 C时效
• 奇异晶界、邻位晶界 • 小角晶界和大角晶界:能量、偏析、迁移 • 取向差 • 相界—共格、半共格、非共格 • 体缺陷
共二十一页
第八章 固体中原子的扩散
• 扩散机制—间隙、空位、换位
• 扩散系数—微观意义、影响因素 • 扩散激活能 • 扩散方程的解
•误差函数解、高斯解、三角函数解、数值(shùzí)解、平方根关系
C S k 0 C 01 fSk 0 1
mLC01k0 GL DL k0 v
共二十一页
第十二章 固态转变
• 合金脱溶 • 脱溶贯序
• 时效 • 共析转变、块状转变
• 连续型转变—调幅分解、无序—有序转变 • 无扩散型相变 • 回复和再结晶
• 组织、性能变化、驱动力 • 再结晶基本规律、动力学及影响因素(yīn sù)
高;Σ3孪晶界是共格的,很稳定,能量很低,甚至低于小角晶界;杂质偏析少,迁移率
北京科技大学材料力学课件第九章教材

地面未夯实,局部杆受力大; 横杆之间的距离太大 2.2m>规定值1.7m; 与墙体连接点太少; 安全因数太低:1.11-1.75<规定值3.0。
2006年12月9日,北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进 行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载 煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。
对于细长杆,临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆,由于发生了塑性变形,理论计算比较复 杂,工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力,最常 用是直线公式:
cr=a-b
其中, a 和 b 为与材料有关的常数,单位为MPa。
对于粗短杆,因为不发生屈曲,而只发生屈服(韧性材 料),故其临界应力即为材料的屈服应力
σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr-λ关系,可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限,得到
=
P
π 2E
P
对于不同的材料,由于E、σ P 各 不相同, λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P,即可算得λP。
Pcr
Pcr
Pcl/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由,一端固定
♣ 一端铰支,一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大;
2006年12月9日,北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进 行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载 煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。
对于细长杆,临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆,由于发生了塑性变形,理论计算比较复 杂,工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力,最常 用是直线公式:
cr=a-b
其中, a 和 b 为与材料有关的常数,单位为MPa。
对于粗短杆,因为不发生屈曲,而只发生屈服(韧性材 料),故其临界应力即为材料的屈服应力
σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr-λ关系,可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限,得到
=
P
π 2E
P
对于不同的材料,由于E、σ P 各 不相同, λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P,即可算得λP。
Pcr
Pcr
Pcl/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由,一端固定
♣ 一端铰支,一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大;
材料力学 第九章

)
D 3
Wp= 16 ( 1- 4 )
=d / D
41
§9–6圆轴扭转破坏与强度条件
一、扭转失效与扭转极限应力
低碳钢试件: 沿横截面断开。
铸铁试件: 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
42
在扭转实验中,塑性材料试件受扭时,首先屈服,在试 件表面出现横向与纵向的滑移线,继续增大扭转力偶, 试件沿横截面剪断;脆性试件没有变形很小,最后会在 与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
17
§9–3 切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆筒:壁厚
t
1 10
r0
(r0:为平均半径)
一、实验:
1.实验前: ①绘纵向线,圆周线; ②施加一对外力偶 m。
18
2.实验后: ①圆周线不变; ②纵向线变成斜直线。
3.结论:①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变,只是绕轴线作了相对转动。
剪应变和扭转角之间的关系.
物性实验得到扭矩和扭转角之 间的线性关系.
对于线性材料引入剪切模量
变形大小
(材料常数,需事先给定)
27
§9–4 圆轴扭转截面上的应力
①变形几何方面
扭转圆轴横截面应力
②物理关系方面 ③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察:
1. 横截面变形后 仍为平面;
2. 轴向无伸缩; 3. 纵向线变形后仍为平行。
m2 1
m3 2 m1
3 m4
x
T1 m2 4.78kN m
n
T2 m2 m3 0 ,
工程力学北京科技大学版材料力学部分

整理ppt
3
§1-2 轴向拉压时的内力 Internal force
1. 内力: 由于外力的作用引起的构件各部分之间的附加内力.
2. 截面法 Method of Sections:
以特殊的例题说明求内力的一般方法.
(1)切 假想切开(一刀两断);
P
(2)去 去掉一半(原则上哪一半均可);
P
(3)代 代以内力(最好代以正内力).
强度极限 b ultimate strength
颈缩阶段: 颈缩现象.
延伸率
= [(l1 – l) / l] 100%
断面收缩率 = [(A – A1) / A] 100%
2. 加载-卸载实验
(1-7) (1-8)
卸载定律: 卸载过程中应力和应变按直线变化
弹性阶段: 弹性现象, 弹性极限 e elastic limit
3. 加载-卸载-重新加载实验
冷作硬化现象 Phenomenon of Cold-working :
试件加载超过屈服极限,卸载后重新加载引起比例极限增加和残余变形减少
的现象.
基本假设: 假设材料是均匀, 连续和各向同性的.
杆件的基本变形有: 轴向拉压, 剪切, 扭转与弯曲.见P.4
组合变形: 叠加基本变形的结果.
整理ppt
2
第一章 轴向拉伸与压缩
Axial Tension and Compression
§1-1 实例与问题的抽象:
受拉之杆曰杆。如活塞杆、连杆、柱等。其受力简图为:
(4)实验证明
NdAA, A
N.
A
(1-1)
圣维难原理 St. Venant's Principle :在远离(一个特性常数)加力处的应 力分布, 只与加力的合力有关, 而与加力方式无关.
材料力学课件第9章

U E R1R3 R2R4 (R1 R2 )(R3 R4 )
电桥平衡
U 0
R1R3 R2 R4
B
R1
R2
A
C U
R4 D R3 E
10
9.2 电测应力分析的基本原理
当产生
1
2 3 4
R1 R2 R3 R4
U E (R1 R1)(R3 R3 ) (R2 R2 )(R4 R4 ) (R1 R1 R2 R2 )(R3 R3 R4 R4 )
三 基底---绝缘的薄纸,塑料片
部 分
丝栅d=0.02~0.05mm镍铬,镍铜合金绕成栅
引线 d=0.15~0.18mm 镀锔的铜线
产品标定
l---标距 l=1---20mm lmin=0.2mm 阻值 R=50---200Ω 一般120Ω
8
9.2 电测应力分析的基本原理
2. 转换原理 将电阻片用特殊的胶贴在被测构件,
R2
A
C U
R4 D R3 E
12
9.2
结论
电测应力分析的基本原理
B
R1
R2
A
C U r 1 2 3 4
R4 D R3 E
(1)可以从电桥输出量的大小来确定应变值r。 若只有R1为工作片,则读数值 r 1
(2)电桥输出为相邻两臂符号相反,相对两臂符号相同.
(3)根据上述特性, 相邻两臂可以消除等值同号应 变成分,相对两臂可以消除等值异号应变成分。 利用这一特性可解决温度补偿,提高测量精度.
略高阶微量得
U E ( R1 R2 R3 R4 ) 4 R1 R2 R3 R4
11
9.2 电测应力分析的基本原理
U E ( R1 R2 R3 R4 )
材料力学第九章课件

m g
10kN C f
FAx
A
FAy
m
作折杆的受力图,折杆及 受力对称,只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FN FAx 3kN
FB
M(x) FAy x (4kN) x
§9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
最大弯矩在 C 处的m-m横截面,m-m 截面为 危险截面
Ft Fl t b A 4W
当
b
正应力沿截面高度的变化情 况还取决于b、t值的相对大 小。可能的分布还有:
=
t
当
b
<
t
危险点处为单轴应力状态,故可将最大拉应力与 材料的许用应力相比较,以进行强度计算。
注意:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时, 杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆 件的拉、压强度条件。
F2 F1
§9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形 心为 e (称为偏心距)的偏心拉力F为例,来说明.
F O1 A z (yF ,zF ) y F Mey = FzF O1 z Mez = FyF y z n O C (y ,z) n y
将偏心拉力 F 用静力等 效力系来代替。把 A 点处 的拉力 F向截面形心 O1 点 简化,得到轴向拉力 F 和 两个在纵对称面内的力偶 Mey、Mez。
§9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例1 一折杆由两根无缝钢管焊接而成,已知两钢管 的外径均为 140mm ,壁厚均为 10mm 。试求折杆危 险截面上的最大拉应力和最大压应力。
C FA
' FA
10kN
1.2m
解:求支反力,由平衡方程
材料力学课件第9-10章

14
9.2 电测应力分析的基本原理
方法二:桥路补偿法
由 r 1 2 3 4
B R1
A
R2
C U
相邻两臂 采用相同
电阻片
R4 D R3
贴法 R1工作片 E
构件 温度下
R2工作片
tR1
tR2
消除了工作片上由于温度变化而引起的
应 变, 达到了温度补偿.
15
9.3 测量电桥的接法及其应用
布片方案: 由受力, 所测内容确定.
M
r 2(1 )
E M
E r 2(1 )
21
9.3 测量电桥的接法及其应用
例2 通过应变测量(1)求偏心载荷F;(2) 求e.
试确定布片、接桥方案。截面bh
y
y
e
解: (1)测F
zF
Fe F
x
分析:
Ra N+M
Rb NM
Ra=N+M+t Rb=NM+t
Rb
Ra Ra,Rb应对臂,采用全桥接法
B
Ra
2
Rd
Rb
D
23
9.3 测量电桥的接法及其应用
y
(2) 求e.(测M=Fe)
Fe F z
x
Ra N+M
Rb NM
Ra=N+M+t
Rb=NM+t
Rb
Ra
Ra,Rb应临臂,采用半桥接法
r 1 2 Ra Rb 2M
B
Ra
Rb
M
r
2
M
E M
M Wz
A
D
C
M
E M
Wz
Ebh2 r
材料力学课件第九章 (1)全文

2EI
L sin
2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图 示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并 求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)
压杆失稳可能有以下三种形式: 1.每根压杆两端固定分别失稳
Fcr1
I d 4
64
0.5
Fcr1
2
2EI
L2
2E d 4
Fcr3
2
2EI
L2
2
2
E
d 4 a
64 2
2L2
2
d 2
4
3E
d 4 4a2d 2 128L2
Fcr1
3Ed
8L2
4
Fcr 2
3Ed 4
128L2
Fcr min
Fcr 2
3Ed 4
128L2
一中心受压直杆如图所示,两端固定,但上端可沿 水平方向移动,设EI为常数,求临界力。
F L
x F
x
M0
y
x
y
F M0
M (x) Fy M 0
F
M (x)
x
y
M (x) Fy M 0
EIy M (x) Fy M 0
x
y F y M0 EI EI
k2 F EI
y k 2 y k 2 M 0 F
F
M (x)
y Asin kx B cos kx M0 F
y kAcos kx kBsin kx
但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例极限或屈 服强度有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸,( 和截(面形状)对临界约压束力的综合影响。
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σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr-λ关系,可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限,得到
=
P
π 2E
P
对于不同的材料,由于E、σ P 各 不相同, λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P,即可算得λP。
显然,只有p时,即:对于大柔度杆,才可以 用欧拉公式计算压杆临界力。
应当记忆: 对于一般钢材, P =200~300MPa。其p~100左右。
三类不同的压杆
•细长杆(大柔度杆)—发生弹性屈曲 •中长杆(中柔度杆)—发生弹塑性屈曲 •粗短杆(小柔度杆)—不发生屈曲,而发生屈服
三类压杆的临界应力公式
选择一个半波: n=1, P 2 EI
cr 最小临界载荷
l2
欧拉公式
讨论:
(1)
P EI , cr
Pcr
1 l2
(2) I 应当选取最小惯性矩
P 2EI
cr
l2
y
例如:两端铰支压杆, I = Imin= Iy
x h
(3) n=1, 表示失稳曲线仅有一个半波.
b
P π2n2EI
cr
l2
n称为半波数
FP < FPcr, 稳定的直线平衡构型
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 (statical criterion for elastic stability)
FFPP FP
FP>FPcr :在扰动作用下,
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形,扰动除去后, 不能恢复到直线平衡构形, 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作 用下发生变形,最终在某一位置保持平衡,这一位置称 为平衡位置,又称为平衡构形(equilibrium configuration)。
承受轴向压缩载荷的细长压杆,有可能存在两种 平衡构形——直线的平衡构形与弯曲的平衡构形。
平衡构形—压杆的两种平衡构形
FP FP
FP < FPcr : 直线平衡构形
FP>FPcr : 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 (statical criterion for elastic stability)
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下,
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形,扰动除去后, 能够恢复到直线平衡构形, 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
A型柱的连接杆焊点突然失效,导致A型柱失稳破坏 柱脚与地面连接强度不足,局部杆受力大,导致另一柱脚被拔起
杆件失稳 ≠ 不平衡
杆件在失稳后,有可能以弯曲曲线形式的 平衡状态的维持,也可能不再平衡。
1. 稳定平衡和临界平衡
一个处于平衡状态的受力系统,当受到一个轻微的扰动后, 仍然能够恢复原有形式的平衡状态,则称为稳定平衡。反之, 称为非稳定平衡。
—欧拉公式
E—压杆材料的弹性模量 I—压杆失稳方向的惯性矩
l—压杆长度
—长度系数(coefficient of 1ength)
l —有效长度(effective length)
Pcr =
2EI (μl)2
—欧拉公式
注意:
1、当约束与空间取向无关时(如:球铰链),惯性矩 I 应
当取最小值 Imin。
1.0 0.5
—反映不同支 承影响的系数, 称为长度系数 (coefficient of 1ength) ——可由屈曲 后的正弦半波长 度与两端铰支压 杆屈曲时的正弦 半波长度的比值 确定。
观察失稳曲线 拐点处无弯矩
确定两个拐点(inflexion)
P cr
π 2 EI ( l 2)2
l —不同压杆屈 曲后挠曲线上正 弦半波的长度, 称为有效长度 (effective length);
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大;
2.已知: d =160 mm、 E =206 GPa , 求:二杆的临界载荷
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大:
从临界应力总图可以看出: 材料相同的压杆,柔度越大,临 界应力越小。 所以判断哪一根压杆的临界载荷 大,必须首先计算压杆的柔度。
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大:
§9–4 欧拉公式的适用范围,经验公式
柔度又称长细比,用 表示。柔度是综
=μl 合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆临界载荷影响的量,由右式确定:
i
其中,i为压杆横截面的惯性半径:
i I A
从上述二式可以看出,柔度反映了压杆长度、支承条件以及 压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
FP > FPcr, 不稳定的直线平衡构型
2 结构杆件发生失稳的必要条件
(1)结构必须是由细长或薄壁构件(长杆、 薄板或壳体)组成 (2)构件必须承受压载荷作用
(3)压载荷必须达到或超过失稳的临界
载荷,即:P Pcr
3. 压杆的临界载荷
当压载荷达到某数值时,即:
P Pcr
在外界干扰力作用下,直线平衡构形转 变为弯曲平衡构形,扰动除去后,不能恢复 到直线平衡构形,则称:压载荷为达到失稳
2、当约束与空间取向有关时(如:夹板式铰链),则按照
两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束(μ)。分别计算临
界压力,取其最小值为杆的 Pcr 。
压力P与压杆内最大挠度Vmax的关系
P
D A
稳 定
Pcr 承
载
O
精确解
E G
F H
Pmax
实际材料失稳
C
理想材料失稳
A`
近似解
真实压杆的缺陷: •初曲率 •非均匀性 •偏心载荷
y Asin kx B coskx
kl πn, (n 1,2,3,......)
n=1
Pcr n = 2
4Pcr
9Pcr
n=3
§9–3 其它支座条件下细长压杆的临界力不同的约束不同挠曲线近似微分方程
不同边界条件
不同的 P cr
Pcr
?
♣ 两端固定端约束
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
临界应力
对于弹性屈曲, 必须有:
cr
Pcr A
p
p—比例极限
l —柔度
i
Pcr =
2EI (μl)2
i I —截面的惯性半径 A
cr
Pcr A
p
欧拉公式的适用范围:
cr
Pcr A
π2EI / A
(l)2
π 2 E (i)2
(l)2
π2E
( l )2
i
π2E
2
p
设:cr= P 时, =p
18m 0.16m
112.5
Q235钢 p=101
二者都属于细长杆,采用欧拉公式。
2.已知: d =160 mm, Q235 钢, E =206 GPa , 求:二杆的临界载荷.
二者都属于细长杆,采用 欧拉公式。
FPcr
a
cr
A
2E 2
d 4
2
2 206109 (160103)2
1252
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由,一端固定
♣ 一端铰支,一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
(近似挠曲线微分方程)
y
临界载荷作用下的弯矩方程:
Pc
y
PPc
M (x) P y cr
r
x
r
l
Pcr
N y
d2
y
M
(x)
P cr
y
M
dx2 EI
EI
令
k2
P cr
EI
d2y k2y 0 dx2
求解此常微分方程,可以得到含待定常数的通解:
y Asin kx B coskx
考虑杆的边界条件:
的临界载荷Pcr。
§9–2 两端铰支细长压杆的临界力
确定临界载荷的平衡方法
y" = M(x) EI z
(近似挠曲线微分方程)
当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同,梁的近 似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为:
EIy
,,
k
=
M(x)k
k 1, 2,..., n
y" = M(x) EI z
若令中长杆的临界应 力等于屈服强度,由
cr=a-b
s=
a-
b
s
小结:
细长杆(p)—发生弹性屈曲,用欧拉公式。 中长杆(s < p)—发生弹塑性屈曲,用经验公式。 短粗杆(< s)—不发生屈曲,而发生 屈服。
例题
两根直径均为 d 的压杆, 材料都是 Q235 钢,但二者长 度和约束条件各不相同。试;
对于细长杆,临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆,由于发生了塑性变形,理论计算比较复 杂,工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力,最常 用是直线公式:
cr=a-b
其中, a 和 b 为与材料有关的常数,单位为MPa。
对于粗短杆,因为不发生屈曲,而只发生屈服(韧性材 料),故其临界应力即为材料的屈服应力