北京科技大学材料力学课件第九章教材
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的临界载荷Pcr。
§9–２ 两端铰支细长压杆的临界力
确定临界载荷的平衡方法
y" = M(x) EI z
（近似挠曲线微分方程）
当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同，梁的近 似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为：
EIy
,,
k
=
M(x)k
k 1, 2,..., n
y" = M(x) EI z
§9–4 欧拉公式的适用范围，经验公式
柔度又称长细比，用 表示。柔度是综
＝μl 合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆临界载荷影响的量，由右式确定：
i
其中，i为压杆横截面的惯性半径：
i I A
从上述二式可以看出，柔度反映了压杆长度、支承条件以及 压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
临界应力
对于弹性屈曲, 必须有：
cr
Pcr A
p
p—比例极限
l —柔度
i
Pcr =
2EI (μl)2
i I —截面的惯性半径 A
cr
Pcr A
p
欧拉公式的适用范围：
cr
Pcr A
π2EI / A
(l)2
π 2 E (i)2
(l)2
π2E
( l )2
i
π2E
2
p
设：cr＝ P 时， =p
1.0 0.5
—反映不同支 承影响的系数， 称为长度系数 （coefficient of 1ength） ——可由屈曲 后的正弦半波长 度与两端铰支压 杆屈曲时的正弦 半波长度的比值 确定。
观察失稳曲线 拐点处无弯矩
确定两个拐点(inflexion)
P cr
π 2 EI ( l 2)2
l —不同压杆屈 曲后挠曲线上正 弦半波的长度， 称为有效长度 (effective length)；
y x0 0, y xl 0
y y
PPcr
(i) B 0, (ii) 0 Asin kl A 0, sin kl 0
x l
解的形式为: kl πn, (n 1,2,3,......)
d2y k2y 0 dx2
PPcr
k2
( nπ )2
P cr
l EI
P π2n2EI
cr
l2
n称为半波数
y
解：压杆在正视图平面
内，两端约束为铰支,
x 屈曲时横截面将绕 z 轴
转动：
x z = z l / iz ,
z
iz
Iz A
bh3 / 12 h
bh 2 3
z
l
iz
1 2.3 2 0.06
3 132.8 p 101
y
压杆在俯视图平面内，
两端约束为固定端,屈曲 x 时横截面将绕 y 轴转动：
（近似挠曲线微分方程）
y
临界载荷作用下的弯矩方程:
Pc
y
PPc
M (x) P y cr
r
x
r
l
Pcr
N y
d2
y
M
(x)
P cr
y
M
dx2 EI
EI
令
k2
P cr
EI
d2y k2y 0 dx2
求解此常微分方程,可以得到含待定常数的通解:
y Asin kx B coskx
考虑杆的边界条件:
—欧拉公式
E—压杆材料的弹性模量 I—压杆失稳方向的惯性矩
l—压杆长度
—长度系数（coefficient of 1ength）
l —有效长度(effective length)
Pcr =
2EI (μl)2
—欧拉公式
注意：
1、当约束与空间取向无关时（如：球铰链），惯性矩 I 应
当取最小值 Imin。
cr＝ s
将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类 压杆的临界载荷。
临界应力总图
根据三种压杆的临界应力表达式，在σcr －λ坐标系中可以作出关系曲线，称为临界应 力总图 (figures of critical stresses) 。
临界应力总图
σcr σcr=σs σs
σcr=a - b λ
压杆失效与稳定性设计
稳定校核条件
— nst =
Pcr
Pw
nst
或
其中：
nst – 实际稳定安全因数 [nst ] – 许用稳定安全因数
Pw – 杆内最大工作压力
Pcr – 杆的临界压力
— Pw Pcr
nst
例题
正视图
俯视图
已知：b = 40 mm, h = 60 mm, l = 2300 mm, Q235钢 E＝ 205 GPa, FP＝150 kN, [n]st = 1.8 校核: 稳定性是否安全。
Ａ型柱的连接杆焊点突然失效，导致Ａ型柱失稳破坏 柱脚与地面连接强度不足，局部杆受力大，导致另一柱脚被拔起
杆件失稳 ≠ 不平衡
杆件在失稳后，有可能以弯曲曲线形式的 平衡状态的维持，也可能不再平衡。
1. 稳定平衡和临界平衡
一个处于平衡状态的受力系统，当受到一个轻微的扰动后， 仍然能够恢复原有形式的平衡状态，则称为稳定平衡。反之， 称为非稳定平衡。
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由，一端固定
♣ 一端铰支，一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
对于细长杆，临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复 杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常 用是直线公式：
cr＝a－b
其中， a 和 b 为与材料有关的常数，单位为MPa。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材 料)，故其临界应力即为材料的屈服应力
FP < FPcr : 直线平衡构形
FP>FPcr : 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
FP > FPcr, 不稳定的直线平衡构型
2 结构杆件发生失稳的必要条件
(1)结构必须是由细长或薄壁构件（长杆、 薄板或壳体）组成 (2)构件必须承受压载荷作用
(3)压载荷必须达到或超过失稳的临界
载荷，即：P Pcr
3. 压杆的临界载荷
当压载荷达到某数值时，即：
P Pcr
在外界干扰力作用下，直线平衡构形转 变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡构形，则称：压载荷为达到失稳
故：
p ＝
E
P
三类不同压杆的区分
大柔度杆 — 柔度 大于或等于极限值 p 时
的压杆称为大柔度杆或细长杆。
中柔度杆—柔度 小于 p，但大于或等于 另一个极限值 s 时的压杆称为中柔度杆或中长杆。
小柔度杆—柔度 小于极限值 s 时，压杆
不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为小
柔度杆或粗短杆。
l
i
i I d A4
＝
a
l i
1 5m d
20m d
4
b＝
l
i
0.5 9m d
18m d
4
FPcr a FPcr b
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
首先计算柔度，判断属于 哪一类压杆：
a
20 d
20m 0.16m
125
b
18 d
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大；
2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大：
从临界应力总图可以看出： 材料相同的压杆，柔度越大，临 界应力越小。 所以判断哪一根压杆的临界载荷 大，必须首先计算压杆的柔度。
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大：
2、当约束与空间取向有关时（如：夹板式铰链），则按照
两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束(μ)。分别计算临
界压力，取其最小值为杆的 Pcr 。
压力P与压杆内最大挠度Vmax的关系
P
D A
稳 定
Pcr 承
载
O
精确解
E G
F H
Pmax
实际材料失稳
C
理想材料失稳
A`
近似解
真实压杆的缺陷： •初曲率 •非均匀性 •偏心载荷
y Asin kx B coskx
kl πn, (n 1,2,3,......)
n=1
Pcr n = 2
4Pcr
9Pcr
n=3
§9–3 其它支座条件下细长压杆的临界力
不同的约束
不同挠曲线近似微分方程
不同边界条件
不同的 P cr
Pcr
?
♣ 两端固定端约束
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
18m 0.16m
112.5
Q235钢 p=101
二者都属于细长杆，采用欧拉公式。
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
二者都属于细长杆，采用 欧拉公式。
FPcr
a
cr
A
2E 2
源自文库
d 4
2
2 206109 (160103)2
1252
地面未夯实，局部杆受力大； 横杆之间的距离太大 2.2m>规定值1.7m; 与墙体连接点太少； 安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。
2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进 行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载 煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。
若令中长杆的临界应 力等于屈服强度，由
cr＝a－b
s＝
a－
b
s
小结：
细长杆(p)—发生弹性屈曲，用欧拉公式。 中长杆(s < p)—发生弹塑性屈曲，用经验公式。 短粗杆(< s)—不发生屈曲，而发生 屈服。
例题
两根直径均为 d 的压杆， 材料都是 Q235 钢，但二者长 度和约束条件各不相同。试；
FP < FPcr, 稳定的直线平衡构型
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP>FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr－λ关系，可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限，得到
＝
P
π 2E
P
对于不同的材料，由于E、σ P 各 不相同， λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P，即可算得λP。
选择一个半波: n=1, P 2 EI
cr 最小临界载荷
l2
欧拉公式
讨论:
(1)
P EI , cr
Pcr
1 l2
(2) I 应当选取最小惯性矩
P 2EI
cr
l2
y
例如:两端铰支压杆, I = Imin= Iy
x h
(3) n=1, 表示失稳曲线仅有一个半波.
b
P π2n2EI
cr
l2
n称为半波数
结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作 用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称 为平衡位置，又称为平衡构形（equilibrium configuration）。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种 平衡构形——直线的平衡构形与弯曲的平衡构形。
平衡构形—压杆的两种平衡构形
FP FP
§9–1 稳定性失效的概 念
细长杆件承受轴向压缩载荷作用时， 将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这 种失效称为稳定性失效 (failure by lost stability), 又 称 为 屈 曲 失 效 (failure by buckling)。
压杆失稳破坏的实例
1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、 总重565.4kN大型脚手架屈曲坍塌， 5人死亡、7人受伤 。
vmax
实际支承处，约束类型的确定
已经讨论过的杆端约束，均为典型的理想约 束。然而，实际工程中杆端的约束情况是比较复 杂的，有时很难将其归结为某一种理想约束。在 实践中，可能将其表示为理想约束与弹簧的组合 形式。
因此，为了计算压杆临界载荷，在实际工程 中杆端的约束形式及杆的等效长度，应当视具体 情况，查工程设计规范而决定。
4
2.60106 N 2.60103 kN
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
FPcr
b
cr
A
2E 2
d 4
2
2
206109 112.52
(160 103)2
4
3.21106 N 3.21103 kN
§9–5 压杆的稳定计算
显然，只有p时，即：对于大柔度杆，才可以 用欧拉公式计算压杆临界力。
应当记忆： 对于一般钢材， P =200~300MPa。其p~100左右。
三类不同的压杆
•细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲 •中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲 •粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服
三类压杆的临界应力公式
§9–２ 两端铰支细长压杆的临界力
确定临界载荷的平衡方法
y" = M(x) EI z
（近似挠曲线微分方程）
当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同，梁的近 似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为：
EIy
,,
k
=
M(x)k
k 1, 2,..., n
y" = M(x) EI z
§9–4 欧拉公式的适用范围，经验公式
柔度又称长细比，用 表示。柔度是综
＝μl 合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆临界载荷影响的量，由右式确定：
i
其中，i为压杆横截面的惯性半径：
i I A
从上述二式可以看出，柔度反映了压杆长度、支承条件以及 压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
临界应力
对于弹性屈曲, 必须有：
cr
Pcr A
p
p—比例极限
l —柔度
i
Pcr =
2EI (μl)2
i I —截面的惯性半径 A
cr
Pcr A
p
欧拉公式的适用范围：
cr
Pcr A
π2EI / A
(l)2
π 2 E (i)2
(l)2
π2E
( l )2
i
π2E
2
p
设：cr＝ P 时， =p
1.0 0.5
—反映不同支 承影响的系数， 称为长度系数 （coefficient of 1ength） ——可由屈曲 后的正弦半波长 度与两端铰支压 杆屈曲时的正弦 半波长度的比值 确定。
观察失稳曲线 拐点处无弯矩
确定两个拐点(inflexion)
P cr
π 2 EI ( l 2)2
l —不同压杆屈 曲后挠曲线上正 弦半波的长度， 称为有效长度 (effective length)；
y x0 0, y xl 0
y y
PPcr
(i) B 0, (ii) 0 Asin kl A 0, sin kl 0
x l
解的形式为: kl πn, (n 1,2,3,......)
d2y k2y 0 dx2
PPcr
k2
( nπ )2
P cr
l EI
P π2n2EI
cr
l2
n称为半波数
y
解：压杆在正视图平面
内，两端约束为铰支,
x 屈曲时横截面将绕 z 轴
转动：
x z = z l / iz ,
z
iz
Iz A
bh3 / 12 h
bh 2 3
z
l
iz
1 2.3 2 0.06
3 132.8 p 101
y
压杆在俯视图平面内，
两端约束为固定端,屈曲 x 时横截面将绕 y 轴转动：
（近似挠曲线微分方程）
y
临界载荷作用下的弯矩方程:
Pc
y
PPc
M (x) P y cr
r
x
r
l
Pcr
N y
d2
y
M
(x)
P cr
y
M
dx2 EI
EI
令
k2
P cr
EI
d2y k2y 0 dx2
求解此常微分方程,可以得到含待定常数的通解:
y Asin kx B coskx
考虑杆的边界条件:
—欧拉公式
E—压杆材料的弹性模量 I—压杆失稳方向的惯性矩
l—压杆长度
—长度系数（coefficient of 1ength）
l —有效长度(effective length)
Pcr =
2EI (μl)2
—欧拉公式
注意：
1、当约束与空间取向无关时（如：球铰链），惯性矩 I 应
当取最小值 Imin。
cr＝ s
将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类 压杆的临界载荷。
临界应力总图
根据三种压杆的临界应力表达式，在σcr －λ坐标系中可以作出关系曲线，称为临界应 力总图 (figures of critical stresses) 。
临界应力总图
σcr σcr=σs σs
σcr=a - b λ
压杆失效与稳定性设计
稳定校核条件
— nst =
Pcr
Pw
nst
或
其中：
nst – 实际稳定安全因数 [nst ] – 许用稳定安全因数
Pw – 杆内最大工作压力
Pcr – 杆的临界压力
— Pw Pcr
nst
例题
正视图
俯视图
已知：b = 40 mm, h = 60 mm, l = 2300 mm, Q235钢 E＝ 205 GPa, FP＝150 kN, [n]st = 1.8 校核: 稳定性是否安全。
Ａ型柱的连接杆焊点突然失效，导致Ａ型柱失稳破坏 柱脚与地面连接强度不足，局部杆受力大，导致另一柱脚被拔起
杆件失稳 ≠ 不平衡
杆件在失稳后，有可能以弯曲曲线形式的 平衡状态的维持，也可能不再平衡。
1. 稳定平衡和临界平衡
一个处于平衡状态的受力系统，当受到一个轻微的扰动后， 仍然能够恢复原有形式的平衡状态，则称为稳定平衡。反之， 称为非稳定平衡。
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由，一端固定
♣ 一端铰支，一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
对于细长杆，临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复 杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常 用是直线公式：
cr＝a－b
其中， a 和 b 为与材料有关的常数，单位为MPa。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材 料)，故其临界应力即为材料的屈服应力
FP < FPcr : 直线平衡构形
FP>FPcr : 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
FP > FPcr, 不稳定的直线平衡构型
2 结构杆件发生失稳的必要条件
(1)结构必须是由细长或薄壁构件（长杆、 薄板或壳体）组成 (2)构件必须承受压载荷作用
(3)压载荷必须达到或超过失稳的临界
载荷，即：P Pcr
3. 压杆的临界载荷
当压载荷达到某数值时，即：
P Pcr
在外界干扰力作用下，直线平衡构形转 变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡构形，则称：压载荷为达到失稳
故：
p ＝
E
P
三类不同压杆的区分
大柔度杆 — 柔度 大于或等于极限值 p 时
的压杆称为大柔度杆或细长杆。
中柔度杆—柔度 小于 p，但大于或等于 另一个极限值 s 时的压杆称为中柔度杆或中长杆。
小柔度杆—柔度 小于极限值 s 时，压杆
不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为小
柔度杆或粗短杆。
l
i
i I d A4
＝
a
l i
1 5m d
20m d
4
b＝
l
i
0.5 9m d
18m d
4
FPcr a FPcr b
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
首先计算柔度，判断属于 哪一类压杆：
a
20 d
20m 0.16m
125
b
18 d
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大；
2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大：
从临界应力总图可以看出： 材料相同的压杆，柔度越大，临 界应力越小。 所以判断哪一根压杆的临界载荷 大，必须首先计算压杆的柔度。
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大：
2、当约束与空间取向有关时（如：夹板式铰链），则按照
两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束(μ)。分别计算临
界压力，取其最小值为杆的 Pcr 。
压力P与压杆内最大挠度Vmax的关系
P
D A
稳 定
Pcr 承
载
O
精确解
E G
F H
Pmax
实际材料失稳
C
理想材料失稳
A`
近似解
真实压杆的缺陷： •初曲率 •非均匀性 •偏心载荷
y Asin kx B coskx
kl πn, (n 1,2,3,......)
n=1
Pcr n = 2
4Pcr
9Pcr
n=3
§9–3 其它支座条件下细长压杆的临界力
不同的约束
不同挠曲线近似微分方程
不同边界条件
不同的 P cr
Pcr
?
♣ 两端固定端约束
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
18m 0.16m
112.5
Q235钢 p=101
二者都属于细长杆，采用欧拉公式。
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
二者都属于细长杆，采用 欧拉公式。
FPcr
a
cr
A
2E 2
源自文库
d 4
2
2 206109 (160103)2
1252
地面未夯实，局部杆受力大； 横杆之间的距离太大 2.2m>规定值1.7m; 与墙体连接点太少； 安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。
2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进 行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载 煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。
若令中长杆的临界应 力等于屈服强度，由
cr＝a－b
s＝
a－
b
s
小结：
细长杆(p)—发生弹性屈曲，用欧拉公式。 中长杆(s < p)—发生弹塑性屈曲，用经验公式。 短粗杆(< s)—不发生屈曲，而发生 屈服。
例题
两根直径均为 d 的压杆， 材料都是 Q235 钢，但二者长 度和约束条件各不相同。试；
FP < FPcr, 稳定的直线平衡构型
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP>FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr－λ关系，可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限，得到
＝
P
π 2E
P
对于不同的材料，由于E、σ P 各 不相同， λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P，即可算得λP。
选择一个半波: n=1, P 2 EI
cr 最小临界载荷
l2
欧拉公式
讨论:
(1)
P EI , cr
Pcr
1 l2
(2) I 应当选取最小惯性矩
P 2EI
cr
l2
y
例如:两端铰支压杆, I = Imin= Iy
x h
(3) n=1, 表示失稳曲线仅有一个半波.
b
P π2n2EI
cr
l2
n称为半波数
结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作 用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称 为平衡位置，又称为平衡构形（equilibrium configuration）。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种 平衡构形——直线的平衡构形与弯曲的平衡构形。
平衡构形—压杆的两种平衡构形
FP FP
§9–1 稳定性失效的概 念
细长杆件承受轴向压缩载荷作用时， 将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这 种失效称为稳定性失效 (failure by lost stability), 又 称 为 屈 曲 失 效 (failure by buckling)。
压杆失稳破坏的实例
1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、 总重565.4kN大型脚手架屈曲坍塌， 5人死亡、7人受伤 。
vmax
实际支承处，约束类型的确定
已经讨论过的杆端约束，均为典型的理想约 束。然而，实际工程中杆端的约束情况是比较复 杂的，有时很难将其归结为某一种理想约束。在 实践中，可能将其表示为理想约束与弹簧的组合 形式。
因此，为了计算压杆临界载荷，在实际工程 中杆端的约束形式及杆的等效长度，应当视具体 情况，查工程设计规范而决定。
4
2.60106 N 2.60103 kN
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
FPcr
b
cr
A
2E 2
d 4
2
2
206109 112.52
(160 103)2
4
3.21106 N 3.21103 kN
§9–5 压杆的稳定计算
显然，只有p时，即：对于大柔度杆，才可以 用欧拉公式计算压杆临界力。
应当记忆： 对于一般钢材， P =200~300MPa。其p~100左右。
三类不同的压杆
•细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲 •中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲 •粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服
三类压杆的临界应力公式