CH15电路方程的矩阵形式(含割集状态方程)

Sk
Sk I U (2)独立源：U S k U dk
I S k
I k I ek Z k
U k
1. 复合支路
Z k ：单一元件(R k 、j ωL k 、1/j ωC k )
k ：第k 条支路，
不允许存在无伴电流源支路在元件上产生的电流方向与一致。

ek
I 在元件上产生的电流方向与一致。

ek
I
U S k
I S k
I k I ek Z k
U k
即：
)
1()1(11++++−=g s g e g g U I Z U g
b-g
22323221212...s eg g e e e U I M j I M j I Z I M j U −±±±+±=ωωωsg
eg
g e g e g e g g
U I Z I M j I M j I M j U
−+±±±=3
33
21
1ωωω二、复合支路的VCR 矩阵形式
2.有互感、无受控源:
U S k
I S k
I k I ek Z k
U k
......
sb
eb
b
b
U I Z U
−=电路如图，列出回路电流方程(矩阵形式)
1
2为树，作单连支回路1,2
3 4 1 2 5
34
1
2
j L j L R R ωω1 2 3 4 5
=支路 3 4 1 2 5U S2I S1
R 2
R 1
j ωC 5
j ωL 3
j ωL 4
10000T
s I ⎡⎤−⎣⎦ 支路 1 2 3 4 5支路 1 2 3 4 5
⎤⎡⎥⎥⎤
−
+111l I C j C
j ωω⎡=U S2I S1
R 2
R 1
j ωC 5
j ωL 3
j ωL 4
U S k
I dk I S k
I k I ek Z k
U k
电压、电流
(1)支路电压(2)独立源
+= (2.有互感，无受控源
由前节：
U S k
I S k
I k I ek Z k
U k
)(sj
j j ej dk U U Y I I +==ββsk
dk sk k k k I I U U Y I −++=)(则：sk
sj j j sk k k k sk sj j kj sk k k k I U U Y U U Y I CCCS I U U g U U Y I VCCS −+++=−+++=)()(:)()(:β⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡sb sk
sj s s sb b sk k sj j s s b k kj j b k j I I I I I U U U U U U U U U U Y Y Y Y Y Y I I I I I ..................0.........
0 (212211)
2121s s I U U Y I −+=)(即：Y ：含控制系数，非对角阵U S k
I dk
I S k
I k I ek Z k
U k ) (1)M =0；(2)M ≠0
1 2 3 4 5 6
34000s s I I ⎥⎥⎥⎤−+
+1
141111
11L j L j R ωωω⎢⎡+=⎥⎤⎢⎡310s n I I U U 1.列结点电压方程(矩阵形式) (1)M =0；(2)M ≠0
(1)(2)
(3)
(0)
⎢⎢⎡21L j M j M j L j ωωωω0
)2(≠M ⎢⎢⎢⎡−Δ−
Δ12
L M M L 1.列结点电压方程(矩阵形式) (1)M =0；(2)M ≠0(1)(2)
(3)
(0)⎥⎤+
+−
++22
11M M L L 1.列结点电压方程(矩阵形式) (1)M =0；(2)M ≠0
(1)(2)
(3)
(0)
U t1(s )
U t2U 1 2 5 3 41i S1
R 2
R 1
L 3
L 4C 5
i S2
U )()(YU Q s I Q s U YQ Q f s f t T
f f −=∴i S1
R 2
R 1
L 3
L 4C 5i S2
：
∴
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++
−−−+−+=4354344233111111110
1
011sL sL sC sL sL sL sL R sL sL R i S1
R 2R 1L 3L 4C 5i S2U t2U U t1
(s )
L c
i dt
du C =01
0++=L c i C dt du 二、状态方程的形式
KVL: u R +u L +u c =u s
状态变量: u c ,i L
状态方程:以u c ,i L 为变量的一阶微分方程
例:列出状态方程
c
L s L
u Ri u dt di L −−=s L c L u L
i L R u L dt di 11+−−=[]S L C L C u L i u L R L C dt di dt du ⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10110
)()1(21i i dt
du C
c
+−=s R c u u u dt di L loop ++=11
1
:1)2(2112:2R s R c u u u u dt
di
L loop −++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−−
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡s s c c i u L R L L i i u L R R L R L L R L R L C C dt di dt di dt du 2121
21221212
1211
121101001
111
0)3整理：
（解:状态变量:u c ,i 1,i 2
s c u i i R u ++−=)(211)
()(22211s s c i i R u i i R u +−++−=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=72
2:i dt du C KCL 解：327
7
u u dt di L −−=)(1
4316
666u u u R R u i s ++−==
例2.写状态方程
673
3i i dt du C −=864
4
i i dt
du C −−=KVL:
5
488u u dt di
L +=消去非状态变量i 6、u 5
)(11895
555i i G i G u s −==
4
85
9545443322
11
1u i G i G u u u u u u u u u s n n n n −+−=−−=−==−=∴Dv
Cx y +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡91587432543211000000010
100001000001000
001s s n n n n i u G i i u u u G u u u u 整理得：
输出方程：输出量与状态变量、
输入量间的关系式。

例：上题中以结点电压u n1,u n2, u n3 ,u n4 ,为输出量，写输出方程。

解：1.选特有树树支:包含所有电压源支路以u C ，u S ，＋
－
3.单电感连支回路列KVL 方程
(12L L i R u u di
M di L −=−+−＋
－。