第四章 多自由度体系(自由振动)

第四章多自由度体系无阻尼自由振动

主要内容

1 多自由度体系的自振振型和自振频率

2 振型的正交性

3 位移的振型展开和能量的振型展开

1 多自由度体系的自振振型和自振频率

所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。

当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。

多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。

结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。

多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：

其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是

N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。

上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。

[]{}[]{}{}0=+u K u

M

根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：

{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，

不随时间变化，称为振型。ω—简谐振动的频率，θ—相位角。

上式对时间求两次导数可得

{}{}{})

sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2

θωφω+−==t t u u

对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。

0)()(02

11212=++++−−a a a a N N N N ωωω

把相应的自振频率ωn 代入运动方程的特征方程得到振型{φ}n ={φ1n , φ2n , …, φNn }T —体系的n 阶振型。

由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n =1，才能确定其余的值。

¾实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。

¾所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。

[][](){}{}

02

=−n n M K φω

以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。

得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，

其中，ωn —n 阶自振频率，{φ}n —n 阶振型。

[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。

[]{}{}{}[]N φφφ 2

1=Φ[]⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΩN ωωω 00000021

[例1]（p98）如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。结构模型及各刚度元素：

[例1]

解：（1）结构的质量阵、刚度阵：

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0.10005.10000.2M []⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=600600060018001200012003000333231232221

131211k k k k k k k k k

K

当结构为自由度在2阶及以上时，频率求解方法：

1 因式分解法

2 直接解代数方程

3 若为对称结构，利用对称性降阶

。。。

（3）根据运动方程的特征方程求振型：

设φ3n =1，则

则振型方程为：[][]{}{}0)(2

=−n n M K φω{}⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=121321n n n n n n

φφφφφφ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−0001110

15.13202

2560021n n n n

n B B B φφ

{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−=16066.06790.02φ{}⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=15420.24395.23φ{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=16485.03018.01

φ

从以上给出的振型图看，对层间模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。

以上给出的振型的求解公式是解耦的，不用求联立方程组，这只有当结构是层间模型时，即特征方程的系数

[例2](p101)确定由两个梁单元构成的结构的自振频率和自振周期，梁的弯曲刚度均为EI。忽略轴向变形，采用集中质量法, 梁的质量集中到梁端, 而梁成为无质量梁。

结构模型及自由度：

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦

⎤−−0067233212323φφωωEI mL EI mL

0972

[例2]

令φ1n =1，由特征方程的第一式得：

将ω1(λ1=0.5695)代入上式，得到φ21=2.097将ω2(λ2=4.0972)代入上式，得到φ22=-1.431结构的两阶振型为：

3

/)38(12n n n φλφ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡−−−−002333821n n n n

φφλλ{}{}⎭

⎬⎫⎩⎨⎧−=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=431.11,

097.212

1φφ