二次函数的最大值和最小值问题

二次函数的最大值和最小值问题

高一数学组主讲人---------蒋建平

本节课的教学目标：

重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题

难点：理解并会处理含参数的二次函数的最值问题

核心： 区间与对称轴的相对位置

思想： 数形结合、分类讨论

一、复习引入

1、二次函数相关的知识点回顾。

（1）二次函数的顶点式：

（2）二次函数的对称轴：

（3）二次函数的顶点坐标：

2、函数的最大值和最小值的概念

设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ，如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y =

如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y =

二、新课讲解：二次函数最大值最小值问题探究

类型一：无限制条件的最大值与最小值问题

例1、(1)求二次函数322

++-=x x y 的最大值 .

(2)求二次函数x x y 422-=的最小值 .

本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤

1、配方，求二次函数的顶点坐标。

2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。

3、求出最值。

类型二：轴定区间定的最大值与最小值问题

例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 .

(2)求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 .

(3)求函数])2,5[(232--∈-+=x x x y 的最大值 与最小值 .

本题小结：求轴定区间定时二次函数最值的步骤

1、配方，求二次函数的顶点坐标或求对称轴，画简图。

2、判断顶点的横坐标（对称轴）是否在闭区间内。

3、计算闭区间端点的值，并比较大小。

类型三：轴动区间定的最大值与最小值问题

例3、求函数)(32

R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。

变式三：求函数)(32R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最小值。

本题小结：求轴动区间定时二次函数最值的步骤

1、配方，求二次函数的对称轴，画简图。

2、根据对称轴与区间的相对位置进行单调性判断，若函数在区间上是单调的直接求出最大值和最小值，否则须再根据端点与对称轴距离进行分类讨论。

3、根据分类的情况求出对应的最大值与最小值。

类型四：轴定区间动的最大值与最小值问题

例4、求函数322

+-=x x y 在]1,[+t t 上的最小值。

变式四：求函数322+-=x x y 在]1,[+t t 上的最大值。

本题小结：求轴定区间动时二次函数最值的步骤

1、配方，求二次函数的对称轴，画简图。

2、根据对称轴和区间的相对位置进行单调性判断，再根据端点与对称轴距离进行分类讨论。

3、根据分类的情况求出相应的最大值与最小值。

思考： 轴变区间变二次函数的最大值和最小值问题

求二次函数2

249)64(a x a x y -+-+=，),[+∞∈a x 的最小值。

作业：试卷一张

作业

1、求下列二次函数的最值。

（1）232+-=x x y

（2）232+--=x x y

2、求下列二次函数的最大值与最小值。

（1）]4,2[,232

∈+-=x x x y

（2）]4,1[,232-∈+-=x x x y

（3）]1,5[,232--∈+-=x x x y

3、求下列二次函数的最大值与最小值。

（1）]4,2[,222∈+-=x ax x y

（2）]2,[,222+∈+-=a a x x x y

3、 轴变区间变二次函数的最大值和最小值问题

求二次函数2249)64(a x a x y -+-+=，),[+∞∈a x 的最小值。