高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

合集下载

高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)

高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数测试（含解析）新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数测试（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数测试（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。

函数的单调性与导数（时间：25分,满分50分）班级姓名得分1．(5分）函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数,当a2－3b<0时,f（x）是( ）A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数【答案】A2．（5分）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x【答案】B【解析】显然y＝sin x在（0，＋∞）上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝x e2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝x e2在（0，＋∞）内为单调增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3（x＋错误!)（x－错误!），故函数在（－∞，－错误!)，（错误!，＋∞)上为单调增函数，在（－错误!，错误!）上为单调减函数；对于D，y′＝错误!－1 (x〉0)．故函数在（1,＋∞)上为单调减函数，在(0,1)上为单调增函数．故选B.3．(5分）如果函数f(x）的图象如图，那么导函数y＝f′(x）的图象可能是（）【答案】A【解析】由f(x）与f′（x)关系可选A。

4．（5分）设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是（) A．b2－4ac〉0 B．b>0,c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac〈0【答案】D5。

高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（x）=x3+ax-2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥-3．故选B．.【考点】利用导数研究函数的单调性．.2.已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；【答案】(1)详见解析（2）.【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．试题解析：解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是． 4（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．.3.已知函数f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R．（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．【答案】（1）f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。

（2）ⅰ. 7分ⅱ.当时，若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点；有极大值点。

若时， f(x)有极大值点,无极小值点。

【解析】（1）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。

所以，，故，f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。

（2）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。

《函数的单调性与导数》专题训练及答案解析

《函数的单调性与导数》专题训练1.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是下列选项中的( )2．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数 3．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，e －2) B ．(0，e －2) C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3) 5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m＋12)上是单调函数，求实数m的取值范围．《函数的单调性与导数》专题训练答案解析1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的()【答案】C【解析】题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【答案】C【解析】由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C. 3．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)【答案】B【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)【答案】B【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.] 5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【答案】D【解析】f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 【答案】－32－6【解析】f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【答案】(1,2)【解析】[f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间．【解析】f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x .(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(1)＝4e ，f (1)＝e. 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x .令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8，∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(1)(3)(0)x x x x--> ∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，52.。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.设f（x）＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′（x）的最小值为－12.（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f（x）在[－1,3]上的最大值与最小值．【答案】（1）a＝2，b＝－12，c＝0.；（2）函数的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．的极大值为，极小值为又，所以当时，取得最小值为，当x＝3时取得最大值1.【解析】利用导数的几何意义求曲线在点（1，f（1））处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）∵为奇函数，∴．即∴.∵的最小值为－12，∴.又直线x－6y－7＝0的斜率为，因此，故，，.（2）f（x）＝2x3－12x，f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），列表如下（－∞，－－（－，）（，＋∞））＋0－＋所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．f（x）的极大值为f（－）＝8，极小值为f（）＝－8又f（－1）＝10，f（3）＝18，所以当x＝时，f（x）取得最小值为－8，当x＝3时f（x）取得最大值1【考点】（1）由函数的性质求参量；（2）函数性质的应用.2.已知是实数，函数。

（Ⅰ）若=3，求的值及曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先求出，然后直接利用得到的值，最后将的值代入中求出得到切点，而切线的斜率等于，写出切线方程即可；（Ⅱ）令即可求出的值，利用的值分三个区间讨论的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值即可．试题解析：（Ⅰ），因为，所以．又当时，，，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）令，解得，．当，即时，在上单调递增，从而．当，即时，在上单调递减，从而．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而．综上所述，【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．3.已知函数为自然对数的底数）（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．【答案】（I）当时，函数的极小值为，极大值为；（II）的取值范围是．【解析】（I）先确定函数的定义域，然后求出函数的导函数，在函数的定义域内解不等式和，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可.（II）令导函数在时恒成立即可求出的取值范围.试题解析：（I）当时，，当变化时，，的变化情况如下表：－＋－所以，当时，函数的极小值为，极大值为（II）令①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减；②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减；③若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减.综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系.4.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，因此函数在区间上是减函数，，已知是定义在上的非负可导函数，且满足因此所以是减函数，，当等号成立.【考点】函数的单调性与导数5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】(,+)【解析】求导得==，由题在上单调递增知 =≥0，即对恒成立，设=(),=,当时，，当时，，所以在（1，）是增函数，在（）上是减函数，故当=时，取最大值=，所以.【考点】常见函数的导数；导数的运算法则；导数与函数单调性的关系6.已知函数在区间上为减函数，则的取值范围是__ ___．【答案】【解析】因为，由，所以函数的单调减区间为，要使函数在区间上为减函数，则，所以．【考点】函数的单调性与导数．7.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.8.设，（1）若在处有极值，求a；（2）若在上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求原函数的导数，知-1是极值点，然后解方程即可.（2）转化为>0对恒成立，即在上恒成立，在上最小值为，所以.（1）由已知可得f(x)的定义域为，又，-2分由已知. 3分经验证得符合题意 4分（2）解：>0对恒成立，， 7分因为，所以的最大值为的最小值为， 11分又符合题意，所以； 12分【考点】导数的几何意义；不等式恒成立问题.9. 设函数在R 上可导，其导函数为且函数的图像如图所示，则下列结论一定成立的是（）A ．函数的极大值是，极小值是B ．函数的极大值是，极小值是C ．函数的极大值是，极小值是D ．函数的极大值是，极小值是【答案】D 【解析】当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

导数与函数的单调性练习含答案

第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性一、选择题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为() A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0,1)．答案 A2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin x，则f(x)() A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数解析因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.答案 B3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由a f (b )>f (a )．答案 C4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52. 答案 D5．(2017·上饶模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.答案 B二、填空题6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析因为f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．答案(－2，2)7．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－(x－1)(x－3)x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.答案(0,1)∪(2,3)8．(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．解析由f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c ，得f ′(x )＝2x ＋2x －5，又函数f (x )在区间(m ，m ＋1)上为递减函数， ∴f ′(x )≤0在(m ，m ＋1)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2m －5≤0，2m ＋1＋2(m ＋1)－5≤0，解得12≤m ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1三、解答题 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a 0，则f (x )在(－∞，1)上为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .答案 C12．(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立．令t ＝cos x ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1,1]上恒成立．∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立．令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－3a －1≤0，g (－1)＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C13．(2017·合肥质检)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f (－x )－x＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)．则f (x )＝xg (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g (x )<0，解得x >2或－2<x <0，故不等式f (x )>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2].。

导数与函数的单调性练习题

答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0 或 f ′(x )≤03．函数 f (x )＝x ＋的单调区间为________．－1)，令 f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得 x < ，7．已知 y ＝ x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3 在 R 上不是单调增函数，则 b 的范围为________．基础巩固题：1.函数 f(x)= ax + 1x + 2导数与函数的单调性在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（）1 1 1 <a< <-1 或 a> > >-22 2 21 - 2a 1答案：C 解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即 a> .x + 2 22．已知函数 f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数 f (x )在(0,1)上单调，则实数 a 的取值范围是()A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0 或 a ≤－4D ．a >0 或 a <－4ax在(0,1)上恒成立，即 2x 2＋2x ＋a ≥0 或 2x 2＋2x ＋a ≤0 在(0,1)上恒成立，所以 a ≥－(2x 2＋2x )或 a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记 g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0，∴a ≥0 或 a ≤－4，故选 C.9x答案：(－3,0)，(0,3)解析：f ′(x )＝1－x 2＝ x 29 x 2－9 ，令 f ′(x )<0，解得－3<x <0或 0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数 y = x 2 - x 3 的单调增区间为，单调减区间为___________________2 答案： (0, ) ； (-∞,0),( 32 3 , +∞) 解析： y ' = -3x 2 + 2 x = 0, x = 0, 或x =23 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令 3(x －2)(x －4)＞0，解得 x ＞4 或 x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令 3(x －2)(x －4)＜0，解得 2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3 的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =3x －x 3 的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数 y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，1 2∴函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)13= x 2 x 2 [答案] b <－1 或 b >2[解析] 若 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0 恒成立，则 Δ＝4b 2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意 b ＜－1 或 b ＞2.8.已知 x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设 f （x ）=e x －x －1,则 f ′（x ）=e x －1．∴当 x =0 时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当 x ＞0 时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0．当 x ＜0 时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数 y =x + 1 x，试讨论出此函数的单调区间.1 x2 - 1 ( x + 1)( x - 1) ( x + 1)( x - 1)解：y ′=(x + )′=1－1·x －2= 令＞ 0. x x 21 ( x + 1)( x - 1)解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =x + 的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令x x 21＜0，解得－1＜x ＜0 或 0＜x ＜1. ∴y =x + 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x10．已知函数的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1，f （－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由 f(x)的图象经过 P （0，2），知 d=2，所以由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数 f(x)=x 3-x 2+bx+c. (1)若 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求 b 的取值范围; 解（1）=3x 2-x+b,因 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即 3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2 在（-∞，+∞）恒成立.设 g(x)=x-3x 2. 当 x=时，g(x)max =,∴b≥. 12.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足≥0 即可.的对称轴是 x=,∴a 的取值应满足：或解得:a≤.∴a 的取值范围是 a≤.∵=3x 2-2(a+1)x+a13．已知函数 f ( x ) = 4 x + ax 2- 2 3x 3( x ∈ R) 在区间 [-1,1]上是增函数，求实数 a 的取值范围．解： f ' ( x ) = 4 + 2ax - 2 x 2 ，因为 f (x )在区间 [-1,1]上是增函数，所以 f ' ( x ) ≥ 0 对x ∈[-1,1] 恒成立，即 x 2 - ax - 2 ≤ 0 对 x ∈[-1,1] 恒成立，解之得： -1 ≤ a ≤ 1(x －1)2 解析：f ′(x )＝＝(x －1)3 (x －1)3当 b －1＝1，即 b ＝2 时，f (x )＝，所以函数 f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，所以实数 a 的取值范围为 [-1,1]．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 f ' ( x ) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ' ( x ) ≤ 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1， f (-1) ）处的切线方程 6 x - y + 7 = 0 ，（1）求函数 y = f ( x ) 的解析式；（2）求函数 y = f ( x ) 的单调区间。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在上单调递增即在恒成立,则有在恒成立即,构造函数,,当时, ,当时, ,所以当时,因此,答案为.【考点】1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题2. .定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，由于，所用在上是增函数，【考点】函数的单调性与导数的关系.3.已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.【答案】(1)所以在为减函数，在为增函数;(2)最大值为1【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）定义域为，，当时，，所以在上为增函数； 2分当时，由得，且当时，，当时，所以在为减函数，在为增函数． 6分（Ⅱ）当时，，若在区间上为增函数，则在恒成立，即在恒成立 8分令，；，；令，可知，，又当时，所以函数在只有一个零点，设为，即，且； 9分由上可知当时，即；当时，即，所以，，有最小值， 10分把代入上式可得，又因为，所以，又恒成立，所以，又因为为整数，所以，所以整数的最大值为1． 12分【考点】（1）利用导数求函数的单调性；（2）利用导数求函数的最值问题.4.设函数(其中).（1）当时,求函数的单调区间;（2）当时,求函数在上的最大值.【答案】（1）函数的递减区间为,递增区间为,；（2）【解析】（1）由，利用导数的符号判断函数的单调性和求单调区间；（2）试题解析：解：（1）当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:单调递增极大值单调递减极小值单调递增右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.（2）,令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以所以当时,;当时,；所以令，则，令，则在上递减，而所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“=”.综上，函数在上的最大值.【考点】1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.5.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.6.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.7.已知f(x)=e x-ax-1．（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）若，的单调增区间为 , ,的单调增区间为；（2）.【解析】（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2) 在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.试题解析：解：（1） 1分若，则，此时的单调增区间为 2分若，令，得此时的单调增区间为 -6分（2）在R上单调递增，则在R上恒成立 -8分即恒成立即，因为当时，所以 -12分-0 +【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.8.在区间内不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项中，时都有，所以在上为单调递增函数，所以在是增函数；选项在，而在上为增函数，所以在是增函数；选项，令得或，所以在为增函数，而，所以在上增函数；选项，令，得。

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析1.奇函数的定义域为，且满足，已知，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为根据已知可知f(x)在(-1,1)上递减，那么则满足a-2>3-2a,同时a-2,和2a-3都要满足在区间(-1,1)内，那么可以解得为选项D.2.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为由图可知，函数单调递减，并且导数值都为读书，变量越大利用导数的几何意义可知，那么成立的为f’(-2)<f(-2)<f(-3)<f’(-3)<03.已知函数满足，且在区间和区间上分别单调。

（Ⅰ）求解析式；（Ⅱ）若函数求的值。

【答案】解：（Ⅰ）∵，∴。

① 1分又∵在区间和区间上分别单调，∴的对称轴为，即。

②由②得，。

2分把代入①得，。

3分（Ⅱ）∵∴4分，5分∴。

6分【解析】本试题主要是考查了函数的单调性质和函数的求值的运用。

（1）根据已知f(-1)=-5,那么得到a.b的关系式，并结合对称性可知参数啊，b的值。

（2）由函数为分段函数可知函数的对应的自变量的值。

4.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。

【答案】【解析】解：因为，利用导数符号与函数单调性关系可知道f(x)的最大值，最小值分别为5.已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以，其中且. ………… 2分即, 其中且.所以. ………………………… 6分（Ⅱ）解：. ………………………… 8分因为在区间上单调递增,所以在上恒成立，……… 9分即在上恒成立，因为在上的最小值，所以．验证知当时，在区间上单调递增. … 13分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数的性质中的运用，奇偶性和单调新的综合运用。

（1）根据奇偶性的定义先判定的定义域再看f(x)和f(-x)的关系得到结论。

导数运算及函数单调性（有答案）

导数及函数单调性班级班级姓名姓名1．下列求导运算正确的是（．下列求导运算正确的是（）''22'2'3111.()1 B.(log )ln 2.(3)3log .(cos )2sin x x A x x x x x C e D x x x x+=+===-2．已知32'()32,(1)4, f x ax x f a =++-=若则的值等于（）19101613. B. C. D.3333A3．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（，则（）A ．f ’(x 0)>0 B ．f ’(x 0)<0 C ．f ’(x 0)=0 D ．f ’(x 0)不存在不存在4．下列函数中，在x =0处的导数不等于零的是处的导数不等于零的是（）A ．)1(x x y -=B ．xe x y -+= C ．y=l n （1－x 2） D．x e x y ×=2 5．若y =32x lg (1－co s2x )，则x y ¢为（）A ．4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] B . 4·9x[2ln 3lg (1－co s2x )+lg 10·co t x ] C . 2·9x[ln 3·lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] D . 以上皆非以上皆非6. （05湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4p的点中，坐标为整数的点的个数是数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．设()f x ¢是函数()f x 的导函数的导函数,,()y f x ¢=图象如下左图图象如下左图,,则()y f x =图象最有可能是图象最有可能是（））8．若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（的取值范围是（）A ．),31(+¥B ．)31,(-¥C ．),31[+¥D ．]31,(-¥9. 已知抛物线y 2=2px (p >0)与一个定点M (p ,p ),则抛物线上与M 点的距离最小的点为( ) A.(0,0) B.(2p,p ) C.(p p 2,2) D.(p p 332,2) 1010．函数．函数f(x)=x(x －1)(x －2)·…·(x －100)在0x =处的导数值（处的导数值（）A.0 B.2100 C.200 D.100！O 1 2 y xy=f /(x)O1 2 yxO 12 yxO1 2 yx O 12 yxA B C D 1111．若．若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim000--® =_________.12．设函数),,())()(()(是两两不等的常数c b a c x b x a x x f ---=，则)()(b f ba f a ¢+¢ =¢+)(c f c . .13．设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为a ，则角a 的取值范围是______________。

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。

高中试卷-5.3.1 函数的单调性与导数(人教A版选择性必修第二册)(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时同步练5.3.1 函数的单调性与导数一、单选题1．下列函数在区间()0,+¥上是增函数的是（）A ．2xy xe =+B ．cos xy x e=-C ．1y x x=-D ．24y xx=-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项，对于A ，2x y xe =+，其导数'2x y x e =+，当0x >时，有'20x y x e =+>恒成立，则函数()f x 在()0,+¥上为增函数，符合题意；对于B ，cos xy x e =-，其导数为'sin xy x e =--，在(),2p p 上，'0y <，则函数()f x 在(),2p p 上为减函数，不符合题意；对于C ，1y x x =-，其导数为21'1y x =--，当0x >时，有21'10y x--<═恒成立，则函数()f x 在()0,+¥上为减函数，不符合题意；对于D ，24y x x =-，为二次函数，在()0,2上为减函数，不符合题意；故选A ．2．函数ln y x x =的单调递减区间是（）A ．1(,)e -+¥B ．1()e--¥,C ．1(0)e-,D ．(,)e +¥【答案】C【解析】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>¢，令()0f x ¢<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.故选C 3．已知函数()xxf x e =，则()f x （）A ．在()01，上递增B ．在()12，上递增C ．在()1-¥，上递减D ．在()0¥，+上递减【解析】依题意，()1-=x x x x f x e e¢=当1x < 时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x ¢<，函数()f x 单调递减.对照选项可知：函数()f x 在()01，上递增.故选A.4．函数(2ln f x x x =-的单调减区间是（）A ．æ-¥ççèB ．æççèC ．[)1,+¥D ．ö+¥÷÷ø【答案】D 【解析】由题,对()2ln f x x x =-函数定义域()0,+¥,求导可得()2112'2x f x x x x -=-=,令()212'0x f x x -=£,可得x .故选D.5．函数3()3f x x x =-的单调递增区间（）A ．(0,)+¥B ．(,1)-¥-C ．(1,1)-D ．(1,)+¥【答案】C 【解析】由题得2()333(1)(1)f x x x x ¢=-=+-，解不等式2()333(1)(1)0f x x x x ¢=-=+->，所以11x -<<.所以函数的单调增区间为(1,1)-.故选C 6．函数()()3x f x x e =- 的单调递增区间是（）A ．(),2-¥-B ．()2,+¥C ．(1,4)D ．(0,3)【解析】()()3x f x x e =-Q ，()()2x f x x e ¢\=-，解不等式()0f x ¢>，解得2x >，因此，函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是()2,+¥，故选B.7．若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．(,1)(3,)-¥-+¥U B ．()1,3-C ．(0，3)D ．()3,+¥【答案】C【解析】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >，因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x¢---+=--==，令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故选C.8．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+¥上单调递增，则实数k 的取值范围是（）A ．(],2-¥-B ．(],1-¥-C ．[)2,+¥D ．[)1,+¥【答案】D【解析】1(),f x k x¢=-Q 函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+¥单调递增，()0f x ¢\³在区间(1,)+¥上恒成立，则1k x ³，而1y x =在区间(1,)+¥上单调递减，1k \³，k \的取值范围是[1,).+¥故选D ．9．已知函数()x f x ax e =-在()0,1上不单调，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,e C ．()1,e D ．(,)e -¥【答案】C【解析】()'x f x a e =-.因为()f x 在()0,1上不单调.所以()'0f x =在()0,1上有解，又()'f x 在()0,1上单调递减，所以()'010f a =->，()10f a e ¢=-<，故()1,a e Î.故选C10．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增区间”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增区间”，则“缓增区间”I 为（）A ．[1，＋∞)B ．[0]C ．[0，1]D ．[1，]【答案】D【解析】因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，()13122f x x x x=-+，令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=，由g′(x)≤0得1x £，即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为，故选D.11．已知函数()y f x =对于任意的0,2x p æöÎç÷èø满足()cos ()sin 1ln f x x f x x x =+¢+,其中()f x ¢是函数()y f x =的导函数,则下列不等式成立的是（）A ()(34f f p p C(()64p p<D((36f pp<【答案】B【解析】由题意构造函数()()cos f x g x x=,则()()()''2cos cos ()cos f x x f x x g x x-¢=()21()cos ()sin cos f x x f x x x¢=+.对于任意的0,2x p æöÎç÷èø满足()cos ()sin 1ln f x x f x x x =+¢+,故21ln ()cos xg x x ¢+=,当10,x e æöÎç÷èø时,()0g x ¢<,当1,2x e p æöç÷Îç÷èø时, ()0g x ¢>,因此()g x 在10,e æöç÷èø单调递减,在1,2e p æöç÷ç÷èø单调递增.又因为16432e p p p p<<<<,因此346g g g p p p æöæöæöç÷ç÷ç÷>>ç÷ç÷ç÷èøèøèø ,因此有312f p æöç÷ç÷èø,343646f f p p p p p p æöæöæöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷>>ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø.故选B12．若函数()ln mf x x m x x=+-在区间[]35，上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A ．92546æöç÷èø，B ．()8+¥，C ．256éö+¥÷êëø，D ．984éö÷êëø，【答案】A【解析】因为函数()ln mf x x m x x=+-在区间[]35，上不是单调函数，所以()22210m m x mx mf x x x x--¢=--==在区间[]35，上有解，且不是重解.即20x mx m --=可得21x m x=+，令()21x g x x=+，[]35x Î，，则()()()()222221211x x x x xg x x x +-+¢==++，当[]35x Î，时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增.故()gx 的值域为92546æöç÷èø，.故选A.二、填空题13．函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为_______【答案】(1,)+¥，【解析】函数的定义域为()0,¥+，()2'11x f x x x x-=-=，故当1x >时，()'0f x <，也即函数的递减区间为()1,+¥.故填()1,+¥.14．若函数()e x f x m x =-在[2,0]-上为减函数，则m 的取值范围为___________.【答案】[)1,+¥【解析】由题意可知()e 0x f x m ¢=-£，即x m e ³对[2,0]x Î-恒成立，所以()maxxm e³，所以0e 1m ³=即[)1,m Î+¥.故填[)1,+¥.15．已知函数()()x f x x a e =+×，若函数()f x 在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是_____.【答案】[2,)-+¥【解析】因为()()e x f x x a =+×，所以()(1)e x f x x a ¢=++×，函数()f x 在(1,)+¥上单调递增，可知e 0()(1)xf x x a ¢=++×…在(1,)+¥上恒成立，即1x a --…，所以11a --£，即2a -…，则实数a 的取值范围是[2,)-+¥．故填[2,)-+¥．16．定义域为R 的函数()f x 满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x ¢>，则不等式2()1f x x <+的解集为 _____________．【答案】()1-¥，.【解析】令()()21g x f x x =--，因为1()2f x ¢>，所以()()210g x f x ¢=¢>-.所以()gx 为单调增函数.因为()11f =，所以()()121110g f ==--.所以当1x <时，()0g x <，即()21f x x <＋，得{}|1x x <，解集为()1-¥，故填()1-¥，17．已知函数()1x x f x e e -=-+（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x的取值范围是___________．【答案】(1,3)-【解析】令()()1g x f x =- ，则()g x 为奇函数，且为增函数，所以()()22142f x f x -+->222(21)(4)0(21)(4)214g x g x g x g x x x Þ-+->Þ->-Þ->-223013x x x Þ--<Þ-<<故填(1,3)-18．已知函数()2143ln 2f x x x x =-+在区间3,2t t æö+ç÷èø上是单调函数，则实数t 的取值范围______．【答案】[)31,3,2éù+¥êúëûU 【解析】函数()2143ln 2f x x x x =-+的定义域为()0,¥+，()23434x x f x x x x-+¢=-+=.令()0f x ¢>，可得01x <<或3x >；令()0f x ¢<，可得13x <<.所以，函数()yf x =的单调增区间为()0,1和()3,+¥，单调递减区间为()1,3.由于函数()y f x =在3,2t t æö+ç÷èø上单调，则3,2t t æö+ç÷èø为以上三个区间的子集.①若()3,0,12t t æö+Íç÷èø，可得0312t t t ³ìïÞÎÆí+£ïî；②若()3,1,32t t æö+Íç÷èø，可得1332t t ³ìïí+£ïî，解得312t ££；③若()3,3,2t t æö+Í+¥ç÷èø，则3t ³.因此，实数t 的取值范围是[)31,3,2éù+¥êúëûU .故填[)31,3,2éù+¥êúëûU .三、解答题19．已知函数331y x x =-+.（1）求在()0,1处的切线的方程；（2）求函数的单调区间.【解析】（1）函数331y xx =-+，则233y x¢=-，故在()0,1处的切线的斜率3k y ¢==-，故切线的方程是13(0)y x -=--，即310x y +-=；（2）令2330y x¢=->，得1x <-或1x >，令2330y x ¢=-<，得11x -<<，故函数的单调增区间是()()11-¥-+¥，，，，单调减区间是()1,1-.20．已知函数24()a 2ln 3f x x x x =+-的导函数()¢f x 的一个零点为1x =．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）4()223f x ax x+-¢=，由2(1)203f a =¢+=，得13a =-．（2）由（1）得214()2ln 33f x x x x =-+-，则242(1)(2)()2333x x f x x x x----¢=-+=．令()0f x ¢=，得1x =或2x =．当()0f x ¢>时，12x <<；当()0f x ¢<时，01x <<或2x >．因此()f x 的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1),(2,)+¥．21．已知函数()ln f x x =，1()2g x ax b =+.（1）若()f x 与()g x 在1x =处相切，求()g x 的表达式；（2）若(1)()()1m x x f x x j -=-+在[2,)+¥上是减函数，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()ln f x x =Q ，1()(0)f x x x ¢\=>，又()f x Q 与()g x 在1x =处相切，1(1)12f a ¢\==，解得：2a =，()1ln10f == ，即1(1)(1)02g a b f =+==，解得：1b =-，()1g x x \=-；（2）(1)()()1m x x f x x j -=-+Q 在[2,)+¥上是减函数，即(1)()ln 1m x x x x j -=-+在[2,)+¥上是减函数，222(1)(1)1(22)1()0(1)(1)m x m x x m x x x x x x j +---+--¢\=-=£++在[2,)+¥上恒成立，即2(22)10xm x --+³在[2,)+¥上恒成立，则122m x x-£+在[2,)+¥上恒成立，又1x x+Q 在[2,)+¥上单调递增，15,2x x éö\+Î+¥÷êëø，5222m \-£，解得：94m £，即实数m 的取值范围是9,4æù-¥çúèû.22．已知函数()2ln ()a f x ax x a x=--ÎR .（1）若函数()f x 在区间[1,)+¥上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）讨论函数()f x 的单调性.【解析】（1）由题意得，22222()(0)a ax x a f x a x x x x-+=+->¢=.①当0a …时，()0f x ¢<，函数()f x 单调递减.②当0a >时，令2()2g x ax x a =-+，∵函数()f x 在区间[1,)+¥上是单调函数，∴()0g x …在区间[1,)+¥上恒成立，∴221x a x +…在区间[1,)+¥上恒成立.令22(),[1,)1x u x x x =Î+¥+，∵2()11u x x x ==+…，当且仅当1x =时取等号，∴1a …，∴当1a …时，函数()f x 单调递增，∴实数a 的取值范围是(,0][1,)-¥È+¥.（2）由（1）可知，①当0a …时，()0f x ¢<，函数()f x 在(0,)+¥上单调递减，②当1a …时，函数()f x 在(0,)+¥上单调递增，③当01a <<时，由220ax x a -+=，解得x =x =∴函数()f x在æçç，ö+¥÷÷ø上单调递增，在上单调递减.。

2022年高考数学利用导数研究函数的单调性专项练习含答案

专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]2. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a 0时，xf′(x)−f(x)<0，若a =f(e)e,b =f(ln2)ln2,c =f(−3)−3，则a,b,c 的大小关系正确的是( )A. a 0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)6. 已知函数f(x)=e x−x 22−1，若f(x)≥kx 在x ∈[0,+∞)时总成立，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e 2]7. 设点P 为函数f(x)=12x 2+2ax 与g(x)=3a 2lnx +b(a >0)的图像的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( )A. 23e 23B. 32e 23C. 23e 32D. 32e 328.已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x在区间[0,2]上的最小值为()A. −3eB. −2eC. eD. 2e9.已知函数f(x)=xe x−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是()A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)10.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n项和大于363，则n的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x−1)的解集为__________．12.若函数f(x)=xx2+a (a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a的值为________．13.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．14.函数f(x)的定义域为R，f(0)=2，对于任意的x∈R，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为__________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．16.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）18. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：因为对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)[f (x 2)−f (x 1)]<0，所以函数f (x )在(−∞,0]单调递减．又因为f(x)=e |2x|−4ax 2=e −2x −4ax 2，所以f′(x )=−2e −2x −8ax ，因此−2e −2x −8ax ≤0对(−∞,0]恒成立，即4a ≤−e −2x x对(−∞,0]恒成立．令ℎ(x )=−e −2x x，则ℎ′(x )=e −2x (2x+1)x 2，因此当x ∈(−∞,−12)时，ℎ′(x )<0，函数ℎ(x )是减函数；当x ∈(−12,0)时，ℎ′(x )>0，函数ℎ(x )是增函数，所以当x =−12时，函数ℎ(x )有最小值ℎ(−12)=2e ，因此4a ≤2e ，即a ≤e2．故选A ．19. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a 0)，则g′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)<0， ∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数， ∵a g(b)即bf(b)<af(a)故选C．20.已知函数f(x)=e x−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e4,+∞) B. (e2,+∞) C. (e24,+∞) D. (e22,+∞)【答案】C【解析】解：令f(x)=e x−ax2=0，当x=0时显然不成立，故a=e xx2，令g(x)=e xx2，则问题转化为直线y=a与g(x)=exx2的图象有三个交点，∵g′(x)=(x−2)e xx3，令g′(x)=0，解得x=2，∴当x<0或x>2时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)在x=2处取极小值，g(2)=e24，作出g(x)的图象如下：要使直线y=a与曲线g(x)=e xx2有三个交点，，则a>e24，故实数a的取值范围是．故选C．21.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，若a=f(e)e ,b=f(ln2)ln2,c=f(−3)−3，则a,b,c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. c<a0时，∵xf′(x)−f(x)<0， ∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0,+∞)单调递减．又∵函数f(x)为奇函数， ∴g(x)=f(x)x是偶函数，∴c =f(−3)−3=g(−3)=g(3)，∵a =f(e)e=g(e)，b =f(ln2)ln2=g(ln2)，ln2<1<e <3，∴g(3)<g(e)<g(ln2)， ∴c <a 0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解：由图知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)，所以在区间(−∞,−1)及(1,+∞)上，f′(x)>0，在(−1,1)上，f′(x)<0，又(x −2)f′(x)>0，所以{x −2>0f′(x)>0或{x −2<0f′(x)<0, 得x >2或−1<x <1，即不等式(x −2)f′(x)>0的解集为(−1,1)∪(2,+∞)．故选D ．23.已知函数f(x)=e x−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是()A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]【答案】A【解析】解：当x=0时，f(x)≥kx显然恒成立；当x>0时，f(x)≥kx即为e x−12x2−kx−1≥0，设g(x)=e x−12x2−kx−1(x>0)，则g′(x)=e x−x−k，令ℎ(x)=g′(x)=e x−x−k，ℎ′(x)=e x−1>0，∴函数g′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当k≤1时，g′(x)>g′(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；②当k>1时，g′(0)=1−k<0，g′(k)=e k−2k>0，故存在x0∈(0,k)，使得g′(x0)= 0，∴当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)<g(0)=0，即f(x)<kx，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为(−∞,1]．故选：A．24.设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为()A. 23e23 B. 32e23 C. 23e32 D. 32e32【答案】B【解析】解：设P(x0,y0)，由于点P为两曲线的公切点，则12x02+2ax0=3a2lnx0+b．又在点P处的切线斜率相同，则f′(x0)=g′(x0)，即x0+2a=3a2x0，即(x0+3a)(x0−a)= 0．又a>0，x0>0，所以x0=a，于是b=52a2−3a2lna，其中a>0．设ℎ(x)=52x2−3x2lnx，其中x>0，则ℎ′(x)=2x(1−3lnx)，其中x>0，所以ℎ(x)在(0,e 13)内单调递增，在(e13,+∞)内单调递减，所以实数b 的最大值为ℎ(e 13)=32e 23．故选B ．25. 已知函数f(x)=13x 3+mx 2+nx +2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x 在区间[0,2]上的最小值为( )A. −3eB. −2eC. eD. 2e【答案】B【解析】f′(x)=x 2+2mx +n ，要使导函数f′(x)为偶函数，则m =0，故f(x)=13x 3+nx +2，则f(1)=13+n +2=−23，解得n =−3，所以f′(x)=x 2−3，故g(x)=e x (x 2−3)，g′(x)=e x (x 2−3+2x)=e x (x −1)(x +3)，当x ∈[0,1)时，g′(x)<0，当x ∈(1,2]时，g′(x)>0．所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e ×(1−3)=−2e ．故选B ．26. 已知函数f(x)=xe x −mx +m 2(e 为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m 的范围是( )A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)【答案】D【解析】解：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，当x =12时，方程不成立，即x ≠12，则m =xe xx−12，设ℎ(x)=xe xx−12，(x >0且x ≠12)，则ℎ′(x)=(xe x )′(x−12)−xe x(x−12)2=e x (x 2−12x−12)(x−12)2=12e x(x−1)(2x+1)(x−12)2，∵x >0且x ≠12，∴由ℎ′(x)=0得x =1，当x >1时，ℎ′(x)>0，函数为增函数，当0<x <1且x ≠12时，ℎ′(x)<0，函数为减函数，则当x =1时函数取得极小值，极小值为ℎ(1)=2e ，当0<x <12时，ℎ(x)<0，且单调递减，作出函数ℎ(x)的图象如图：要使m =xe xx−12有两个不同的根，则m >2e 即可，即实数m 的取值范围是(2e,+∞)，方法2：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，设g(x)=xe x ，ℎ(x)=m(x −12)，g′(x)=e x +xe x =(x +1)e x ，当x >0时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，设ℎ(x)=m(x −12)与g(x)=xe x 相切时的切点为(a,ae a )，切线斜率k =(a +1)e a ，则切线方程为y −ae a =(a +1)e a (x −a)，当切线过(12,0)时，−ae a =(a +1)e a (12−a)，即−a =12a +12−a 2−a ，即2a 2−a −1=0，得a =1或a =−12(舍)，则切线斜率k =(1+1)e =2e ，要使g(x)与ℎ(x)在(0,+∞)上有两个不同的交点，则m >2e ，即实数m 的取值范围是(2e,+∞) 故选：D ．27. 已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0,且a ≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363，则n 的最小值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】解：∵f(x)=a x ⋅g(x)(a >0且a ≠1)，∴f(x)g(x)=a x ，又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)， ∴(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)>0，∴f(x)g(x)=a x 是增函数， ∴a >1， ∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103．∴a +a −1=103，解得a =13或a =3，综上得a =3．∴数列{f(n)g(n)}是等比数列，f (n )g (n )=3n ． ∵数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363， ∴3+32+33+⋯+3n =3(1−3n )1−3=12(3n+1−3)>363，即3n+1>729，∴n +1>6，解得n >5． ∴n 的最小值为6．故选C ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）28. 设定义域为R 的函数f (x )满足f′(x )>f (x )，则不等式e x−1f (x )<f (2x −1)的解集为__________．【答案】(1,+∞) 【解析】解：设F(x)=f(x)e x，则F ′(x)=f ′(x)−f(x)e x，∵f ′(x)>f(x)，∴F ′(x)>0，即函数F(x)在定义域R 上单调递增， ∵e x−1f(x)<f(2x −1)， ∴f(x)e x<f(2x−1)e 2x−1，即F(x)<F(2x −1)，∴x <2x −1，即x >1，∴不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解集为(1,+∞)，故答案为(1,+∞)．29. 若函数f(x)=xx 2+a (a >0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a 的值为________．【答案】√3−1【解析】解：f′(x)=x 2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，当x>√a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当−√a<x<√a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x=√a时，f(x)=√a2a =√33，√a=√32<1，不合题意．∴f(x)最大值=f(1)=11+a=√33，a=√3−1，经检验a=√3−1满足题意．故答案为√3−1．30.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．【答案】√3【解析】解：因为f(x)=a−x2(0<x<√a)，所以f′(x)=−2x，所以在点P处的切线的斜率为k=f′(t)=−2t，又f(t)=a−t2，所以在点P处切线方程为y−(a−t2)=−2t(x−t)，令x=0，得y N=a+t2，令y=0得x M=t2+a2t，所以是坐标原点)的面积为：S(t)=12(a+t2)·t2+a2t=14·t4+2at2+a2t=14(t3+2at+a2t)，所以S′(t)=14(3t2+2a−a2t2)=14·3t4+2at2−a2t2，由S′(t)=0，得t=√a3，当0<t<√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，当t>√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，所以当t=√a3时，S(t)取得最小值，此时t0=√a3，所以√a t 0=√a √a 3=√3．故答案为√3．31. 函数f(x)的定义域为R ，f(0)=2，对于任意的x ∈R ，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x +1的解集为__________．【答案】(0,+∞)【解析】解：构造函数g (x )=e x ·f (x )−e x ，则g ′(x )=e x ·f (x )+e x ·f ′(x )−e x=e x [f (x )+f ′(x )]−e x >e x −e x =0，∴g (x )=e x ·f (x )−e x 为R 上的增函数，∵g (0)=e 0·f (0)−e 0=1，∴不等式e x ·f(x)>e x +1转化为g (x )>g (0)，∴x >0．则解集为(0,+∞)．故答案为(0,+∞)．三、解答题（本大题共3小题，共30分）32. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx +1．(Ⅰ)若x =3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x −(a +1)+a x， ∵x =3是f(x)的极值点，∴f′(3)=3−(a +1)+a 3=0，解得a =3，当a =3时，f′(x)=(x−1)(x−3)x ，当x 变化时，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即当x>0时，12x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，设g(x)=12x2−(a+1)x+alnx，则g′(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x，(ⅰ)当a≤0时，由g′(x)<0得单减区间为(0,1)，由g′(x)>0得单增区间为(1,+∞)，故g(x)min=g(1)=−a−12≥0，得a≤−12；(ii)当0<a<1时，由g′(x)<0得单减区间为(a,1)，由g′(x)>0得单增区间为(0,a)，(1,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iii)当a=1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iv)当a>1时，由g′(x)<0得单减区间为(1,a)，由g′(x)>0得单增区间为(0,1)，(a,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,−12]．33.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x =ax+1x，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无减区间；当a<0时，函数f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a,+∞)单调递减，(2)由已知e x−1−lnx−ax−1+a≥0在x≥1恒成立，令F(x)=e x−1−lnx−ax−1+a，x≥1，则F′(x)=e x−1−1x−a，易得F′(x)在[1,+∞)递增，∴F′(x)≥F′(1)=−a，①当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)在[1,+∞)递增，所以F(x)≥F(1)=0成立，符合题意．②当a>0时，F′(1)=−a<0，且当x=ln(a+1)+1时，F′(x)=a+1−1x−a=1−1x>0，∴∃x0∈(1,+∞)，使F′(x0)=0，即∃x∈(1,x0)时F′(x)<0，F(x)在(1,x0)递减，F(x)<F(1)=0，不符合题意．综上得a≤0．34.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．【答案】解：的定义域是(0,+∞)，且 f′(x)=−ax2+1x=x−ax2；①若a⩽0，则f′(x)>0，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，②若a>0，令f′(x)=0，得x=a，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，∴f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；综上，当a⩽0时，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；(2)a=0时，，∴ℎ′(x)=bx−2+1x =bx2−2x+1x ，∵ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则ℎ′(x)=0在(0,1)上有唯一实数解，且两侧异号，由ℎ′(x)=0，得bx2−2x+1=0；令p(x)=bx2−2x+1，则p(x)在(0,1)上有且只有一个零点，易知p(0)=1>0，①当b =0，由p(x)=0，得x =12，满足题意;②当b >0时，由{Δ=4−4b >0p (1)=b −1<0，解得00p (1)=b −1<0，得b <1，故b <0；综上所述，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时，b <1．故实数b 的取值范围为(−∞,1)．。

高中数学导数应用练习题及参考答案2023

高中数学导数应用练习题及参考答案2023本文为高中数学导数应用的练习题及参考答案，旨在帮助学生深入理解和掌握导数的应用。

一、函数的单调性1.求以下函数的单调区间：（1）$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$（2）$g(x)=\frac{1}{x-2}+\ln(x-1)$答案：（1）$f'(x)=3x^2-6x+4=3(x-1)^2+1>0$所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。

（2）$g'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x-1}=\frac{x-3}{(x-2)^2(x-1)}$当$x<1$或$1<x<2$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增。

当$x>2$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减。

所以$g(x)$的单调区间为$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$。

二、函数的极值2.求以下函数的极值及其所在点：（1）$y=x^3-3x^2-9x+5$（2）$y=2\sin x+\cos 2x$答案：（1）$y'=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$令$y'=0$，解得$x=-1$或$x=3$。

又$y''=6x-6$，当$x=-1$时，$y''<0$，$y(x)$取极大值；当$x=3$时，$y''>0$，$y(x)$取极小值。

所以$y(x)$的极大值为$y_{max}=17$，其所在点为$x=-1$；极小值为$y_{min}=-19$，其所在点为$x=3$。

（2）$y'=2\cos x-2\sin 2x$，$y''=-2\sin x-4\cos 2x$令$y'=0$，解得$x=\frac{1}{4}\arctan\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{3}}+k\pi$，$k\in Z$。

导数与单调性训练题及答案

导数与单调性训练题及答案1、若函数bx x x f +-=334)(有三个单调区间，则b 的取值范围是。

2、若函数)(3x x a y -=的递减区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33，则a 的取值范围是（） A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜13、设函数)(x f y =是偶函数，若曲线)(x f y =在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1，则该曲线在点（－1，f （－1））处的切线的斜率为（）A ．1B ．－1C ．不存在D ．24、已知函数ax x x x f 22131)(23++-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32上存在单调增区间，则a 的取值范围是。

5、)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()(<'∙+x f x x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集是（）A ． ),4()0,4(+∞-B ．)4,0()0,4( -C ． ),4()4,(+∞--∞D ．)4,0()4,( --∞6、定义在R 上的可导函数)(x f ，已知)(x f ey '= 的图象如图所示，则)(x f y = 的增区间是( )A ．)1,(-∞B ．)2,(-∞C ．)1,0(D ．)2,1(7、已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x 的单调递增区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]8、已知函数f(x)＝12x 3＋ax ＋4，则“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9、如果函数f(x)的导函数f ′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是()10、函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f(12)，c ＝f(3)，则()A ．a<b<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．b<c<a11、已知函数f(x)(x ∈R)的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，那么函数f(x)的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1，2)D ．[2，＋∞)12、已知函数y ＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )13、设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)14、已知函数f(x)的导函数为f ′(x)＝5＋cosx ，x ∈(－1，1)，且f(0)＝0，若f(1－x)＋f(1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．15、若函数f(x)的定义域为R ，且满足f(2)＝2，f ′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．16、已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)．(1)实数k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．17、若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围。

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

高中数学函数的单一性与导数综合测试题(含答案 )选修 2-2 1.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx＋d(a0)，则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A ．b2－ 4ac0 B．b0， c0C．b＝0，c D ． b2－ 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0，f(x)为增函数，f(x) ＝3ax2＋ 2bx＋ c0 恒建立，＝(2b)2－ 43ac＝ 4b2－ 12ac0， b2－3ac0.2．(2009 广东文， 8)函数 f(x) ＝ (x－ 3)ex 的单一递加区间是() A ．(－， 2) B． (0,3)C．(1,4) D ． (2，＋ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用．f(x) ＝(x－ 3)ex＋ (x－ 3)(ex) ＝ (x－ 2)ex，令 f(x)0 ，解得 x2，应选 D.3．已知函数y＝ f(x)(xR) 上任一点 (x0， f(x0)) 处的切线斜率k ＝(x0 －2)(x0 ＋ 1)2，则该函数的单一递减区间为 ()A ．[－1，＋ ) B．(－， 2]C．(－，－ 1)和 (1,2) D ． [2，＋ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单一减区间为 (－， 2] ．4．已知函数y＝xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 )，下边四个图象中，y＝ f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ，故 y＝f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ，f(x)0 ，故 y＝ f(x) 在(1，＋ )上为增函数，所以否认 A、B、D 应选 C.5．函数 y＝xsinx ＋ cosx， x(－)的单一增区间是()A. －，－ 2 和 0，2B.－ 2， 0 和 0，2C.－，－ 2，D.－ 2，0 和[答案]A[ 分析 ] y＝xcosx，当－ x2 时，cosx0， y＝xcosx0 ，当 02 时， cosx0，y＝ xcosx0.6．以下命题建立的是 ()A ．若 f(x) 在 (a，b)内是增函数，则对任何 x(a，b)，都有 f(x)0B．若在 (a， b)内对任何x 都有 f(x)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上是增函数C．若 f(x) 在 (a， b)内是单一函数，则f(x) 必存在D ．若 f(x) 在 (a， b)上都存在，则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0 ，故 A 错； f(x)在(a，b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系，故 C 错；f(x) ＝2 在 (a， b)上的导数为f(x) ＝ 0 存在，但f(x) 无单一性，故D错．7． (2019 福建理， 11)已知对随意实数 x ，有 f( － x) ＝－ f(x) ，g(－x) ＝ g(x) ，且 x0 时， f(x)0 ，g(x)0 ，则 x0 时 () A ．f(x)0 ，g(x) B ． f(x)0 ， g(x)0C．f(x)0 ，g(x) D ． f(x)0 ， g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 )，x0 时， f(x)0 ，g(x)0. 8． f(x) 是定义在 (0，＋ )上的非负可导函数，且知足xf(x) ＋f(x)0 ，对随意正数 a、 b，若 ab，则必有 ()A ．af(a)f(b)B ． bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D ．bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) ＋ f(x)0 ，且 x0 ，f(x)0 ，f(x) －f(x)x ，即 f(x) 在(0，＋ )上是减函数，又 0＜ a＜ b， af(b)bf(a) ．9．对于 R 上可导的随意函数f(x) ，若知足 (x －1)f(x)0 ，则必有()A ．f(0) ＋ f(2)2f(1)B ． f(0) ＋ f(2)2f(1)C．f(0) ＋ f(2)2f(1) D ． f(0) ＋ f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单一递加，在(－，1] 上单一递减或f(x) 恒为常数，故 f(0) ＋ f(2)2f(1) ．故应选 C.10．(2019 江西理， 12)如图，一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) ＝0)，则导函数y＝ S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，此中恰露出一个角时变化不连续，应选 A.二、填空题11．已知 y ＝13x3 ＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．[ 答案 ] b－1 或 b2[ 分析 ]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒建立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意 b＜－ 1 或 b＞2.12．已知函数f(x) ＝ax－ lnx ，若 f(x) ＞ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，实数 a 的取值范围为 ________．[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒建立．设 g(x) ＝ 1＋ lnxx ，则 g(x) ＝－ lnxx2 ＜ 0(x＞ 1)，g(x) ＝ 1＋ lnxx 在区间 (1，＋ )内单一递减，g(x) ＜ g(1)，∵g(1)＝ 1，1＋ lnxx ＜ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，a1.13．函数 y＝ln(x2 － x－2)的单一递减区间为__________．[答案 ] (－，－ 1)[ 分析 ]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令 f(x) ＝ x2－x － 2， f(x) ＝ 2x－10，得 x12 ，函数 y＝ ln(x2 －x－ 2)的单一减区间为 (－，－ 1)．14．若函数y＝ x3 － ax2＋ 4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋ )[ 分析 ] y＝3x2 － 2ax，由题意知3x2－ 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立，即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立， a3.三、解答题15．设函数 f(x) ＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x ＋y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)议论函数f(x) 的单一性．[ 分析 ] (1)求导得 f(x) ＝ 3x2－6ax＋3b.因为 f(x) 的图象与直线12x＋y － 1＝0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11，f(1) ＝－ 12，即 1－ 3a＋3b＝－ 113－6a＋3b＝－ 12，解得 a＝ 1，b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f(x) ＝3x2－ 6ax＋3b＝ 3(x2－ 2x－ 3)＝3(x ＋1)(x － 3)．令 f(x)0 ，解得 x －1 或 x3；又令 f(x)0 ，解得－ 13.所以当 x(－，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x(3 ，＋)时，f(x) 也是增函数；当 x( － 1,3)时， f(x) 是减函数．16．求证：方程x－ 12sinx＝ 0 只有一个根x＝ 0.[ 证明 ]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则 f(x) ＝ 1－12cosx＞ 0，f(x) 在(－，＋ )上是单一递加函数．而当 x＝ 0 时， f(x) ＝ 0，方程 x－ 12sinx ＝0 有独一的根x＝ 0.17．已知函数y＝ ax 与 y＝－ bx 在(0，＋ )上都是减函数，试确立函数 y＝ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 剖析 ] 可先由函数 y＝ax 与 y＝－ bx 的单一性确立 a、b 的取值范围，再依据 a、 b 的取值范围去确立 y＝ ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 分析 ]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由 y＝ ax3＋bx2＋ 5 得 y＝ 3ax2＋ 2bx.令 y＞ 0，得 3ax2＋ 2bx＞0，－ 2b3a＜ x＜ 0.当 x－ 2b3a， 0 时，函数为增函数．令 y＜ 0，即 3ax2＋ 2bx＜0，x＜－ 2b3a，或 x＞ 0.在－，－ 2b3a，(0，＋ )上时，函数为减函数．18． (2019 新课标全国文，21)设函数 f(x) ＝x(ex － 1)－ ax2.(1)若 a＝ 12，求 f(x) 的单一区间；(2)若当 x0 时 f(x)0 ，求 a 的取值范围．[ 分析 ] (1)a＝12 时， f(x) ＝x(ex － 1)－12x2，f(x) ＝ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)(x ＋ 1)．当 x( －，－ 1)时， f(x)0 ；当 x(－ 1,0)时， f(x)0 ；当 x(0 ，＋ )时， f(x)0.故 f(x) 在 (－，－ 1]， [0，＋ )上单一递加，在[ －1,0] 上单一递减．(2)f(x) ＝ x(ex － 1－ ax)．令 g(x) ＝ ex－ 1－ ax，则 g(x) ＝ex－ a.“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。

导数与函数的单调性测试题(含答案)

导数与函数的单调性测试题一、单项选择题（本大题共10小题，共50分） 1. 函数y =12x 2−lnx 的单调递减区间为( )A. (−1,1]B. (0,1]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2. 设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )A. B.C. D.3. 函数y =(x −3)e x 的单调增区间是( )A.B. (0,3)C. (1,4)D.4. 已知函数f(x)=32x 2−4x +lnx ，则函数f(x)的单调递减区间是( )A. (0,13),(1,+∞)B. (0,1),(3,+∞)C. (0,13),(3,+∞)D. (13,1)5. 已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)=x 2+3xf′(3)，则f′(3)=( )A. −1B. −2C. −3D. −46. 函数f(x)=xlnx( )A. 在(0,5)上单调递增B. 在(0,5)上单调递减C. 在(0,1e )上单调递减，在(1e ,5)上单调递增 D. 在(0,1e )上单调递增，在(1e ,5)上单调递减7. 若函数f(x)=x 3−ax 2−x +6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a =1C. a ≤1D. 0<a <18. 函数f(x)=x 3+ax +b 在区间(−1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，则( )A. a =1，b =1B. a =1，b ∈RC. a =−3，b =3D. a =−3，b ∈R9. 已知函数f(x)=x 3+mlnx 在区间[2 , 3]上不是单调函数，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−81)B. (−24,+∞)C. (−81,−24)D. (−81,+∞)10.函数f(x)=x3+ax−2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. [−3,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)二、填空题（本大题共2小题，共10分）11.若函数f(x)=e x(x2+ax+3)在R上单调递增，则实数a的取值范围为______ ．12.函数f(x)=x的单调递减区间为_______________．lnx三、解答题（本大题共4小题，共40分）−1．13.已知函数f(x)=lnxx(1)求函数在点(1,f(1))处的切线方程．(2)试判断函数f(x)的单调性；14.已知函数f(x)=x2−ax+lnx+b(a,b∈R)，(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值;(2)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a−3)x−1．(1)若f(x)的单调递减区间为(−1,1)，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(−1,1)内单调递减，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)=x3+ax2−a2x+2．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．答案和解析1.解：令f(x)=12x2−ln x定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x≤0，得0<x≤1，函数的单调递减区间为(0,1]，2.解：由f(x)的图象知当x∈(−∞,1)时，f(x)单调递减，f′(x)<0当x∈(1,4)时，f(x)单调递增，f′(x)>0当x∈(4,+∞)时，f(x)单调递减，f′(x)<03.解：∵y=(x−3)e x，∴y′=e x+(x−3)e x=(x−2)e x，由y′>0得x−2>0，解得x>2，∴函数y=(x−3)e x的单调增区间是(2,+∞)．4.解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=3x−4+1x =3x2−4x+1x，由f′(x)<0得3x2−4x+1x<0，得3x2−4x+1<0，得(x−1)(3x−1)<0，得13<x<1，即函数的单调递减区间为(13,1)，5.解：∵f(x)=x2+3xf′(3)，∴f′(x)=2x+3f′(3)，令x=3，则f′(3)=2×3+3f′(3)，解得：f′(3)=−3，6.解：∵y=xlnx，∴y′=lnx+1，由y′=lnx+1=0，得极值点x=1e，∵x∈(0,5)，∴当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，函数是单调递减函数．当x∈(1e,5)时，f′(x)>0，函数是单调递增函数．7.解：f′(x)=3x2−2ax−1，导函数为二次函数，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴结合导函数的性质可得不等式3x2−2ax−1<0在(0,1)内恒成立．∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1．8.解：∵f(x)=x3+ax+b，∴f′(x)=3x2+a．∵f(x)在(−1,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，∴f′(1)=3+a=0．∴a=−3，b∈R．9.解：f′(x)=3x2+mx =3x3+mx，若f(x)在[2,3]不单调，则3x3+m=0在[2,3]有解，且在解的两边正负号不同，即y=m和y=−3x3在(2,3)有交点，而x∈(2,3)时，函数y=−3x3单调递减，y∈(−81,−24)，故m的取值范围为(−81,−24)．10.解：f′(x)=3x 2+a ，因为函数f(x)=x 3+ax −2在区间(1,+∞)内是增函数，所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即a ≥−3x 2在(1,+∞)上恒成立，易知函数y =−3x 2在(1,+∞)上单调递减，所以y <−3，所以a ≥−3．即实数a 的取值范围是[−3,+∞)．11.解：由题知f′(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +3]≥0恒成立，即x 2+(a +2)x +a +3≥0恒成立，∴△=(a +2)2−4(a +3)≤0，即−2√2≤a ≤2√2，故答案为：[−2√2,2√2].12.解：因为函数，其定义域为(0,1)∪(1,+∞)．f ′(x )=lnx−x·1x(lnx )2=lnx−1(lnx )2，令f ′(x )<0，则lnx <1,解得0<x <1或1<x <e ．所以函数f(x)=xlnx 的单调减区间为(0,1)，(1,e)．故答案为(0,1)，(1,e)．13.解：(1)由题可知：f′(x)=1−lnx x 2；所以：f′(1)=1，f(1)=−1；∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为：y −(−1)=x −1即：y =x −2． (2)因为函数的定义域(0,+∞)且f′(x)=1−lnx x 2；令f′(x)=1−lnx x >0得0<x <e ，f′(x)=1−lnx x <0得x >e ，因此函数单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∞)．14.解：∵f(x)=x 2−ax +lnx +b ，∴f ′(x)=2x −a +1x ，∴f(1)=1−a +b ，f′(1)=3−a ，(1)∵函数f(x)在x =1处的切线方程为x +y +2=0∴{k =f ′(1)=3−a =−11+f(1)+2=0,解得：a =4，b =0；(2)f(x)=x 2−ax +lnx +b 的定义域为{x|x >0}∵f(x)在其定义域内单调递增 ∴f ′(x)=2x −a +1x ≥0在x ∈(0,+∞)恒成立(允许个别点处取到等号) ∵2x −a +1x ≥0(x >0)即a ⩽2x +1x (x >0)(允许个别值处取到等号)令g(x)=2x +1x (x >0)，则a ≤g(x)min ，因为g(x)=2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2，当且仅当2x =1x 即x =√22时取到等号．所以 g(x)min =2√2，所以a ≤2√2．15.解：(1)∵f(x)=x 3+ax 2+(2a −3)x −1，∴f′(x)=3x 2+2ax +2a −3=3(x +1)(x +2a−33)由于f(x)的单调减区间为(−1,1)，∴−1和1是方程f′(x)=0的两根，∴2a−33=−1，解得a =0;(2)由(1)可知，f′(x)=3(x+1)(x+2a−33)，∵f(x)在区间(−1,1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(−1,1)内恒成立，又函数y=f′(x)为二次函数，且图象开口向上，方程f′(x)=0的一个根为−1，又方程f′(x)=0的另一个根为3−2a3，∴3−2a3≥1，∴a≤0，∴实数a的取值范围为(−∞,0]．16.解(1)∵a=1，∴f(x)=x3+x2−x+2，∴f′(x)=3x2+2x−1，∴f′(1)=4.又f(1)=3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．(2)f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)，由f′(x)=0得x=−a或x=a3.又a>0，由f′(x)<0，得−a<x<a3，由f′(x)>0，得x<−a或x>a3，故f(x)的单调递减区间为(−a,a3)，单调递增区间为(−∞,−a)和(a3,+∞)．。

高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案

高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为( )．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C解析：依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥，设()()e ,1,2xg x x x =∈，所以()()1e 0xg x x =+>'，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -．故选：C ．2．(2014高考数学课标2文科·第11题)若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是 ( ) A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】D解析：∵函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴1()0f x k x '=-≥恒成立。

∴1k x≥恒成立，∵(1,)x ∈+∞，∴[1,)k ∈+∞。

∴选D 。

3．(2015高考数学陕西文科·第9题)设()sin f x x x =-，则()f x =( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B解析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数； ()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数．故答案选B4．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析一】()21cos2cos 03f x x a x '=-+对x R ∈恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立，即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得1133a-．故选C ．【解析二】用特殊值法：取1a =-，()1sin 2sin 3f x x x x =--，()21cos2cos 3f x x x '=-- 但()22011033f '=--=-<，不具备在(),-∞+∞单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．。

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

高中数学 专题1.3.1 函数的单调性与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)

高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

《函数的单调性与导数》专题训练及答案解析

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

导数与函数的单调性练习含答案

导数与函数的单调性练习题

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析

导数运算及函数单调性（有答案）

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

高中试卷-5.3.1 函数的单调性与导数(人教A版选择性必修第二册)(含答案)

2022年高考数学利用导数研究函数的单调性专项练习含答案

高中数学导数应用练习题及参考答案2023

导数与单调性训练题及答案

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

导数与函数的单调性测试题(含答案)

高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案

高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)