高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

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高中数学函数的单调性与导数综合测试题

(含答案)

选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数

一、选择题

1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A.b2-4ac0 B.b0,c0

C.b=0,c D.b2-3ac0

[答案] D

[解析]∵a0,f(x)为增函数,

f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立,

=(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0.

2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3)

C.(1,4) D.(2,+)

[答案] D

[解析]考查导数的简单应用.

f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,

令f(x)0,解得x2,故选D.

3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k =(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为()

A.[-1,+) B.(-,2]

C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+)

[答案] B

[解析]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-,2].

4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()

[答案] C

[解析]当01时xf(x)0

f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数

当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.

5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是()

A.-,-2和0,2

B.-2,0和0,2

C.-,-2,

D.-2,0和

[答案] A

[解析]y=xcosx,当-x2时,

cosx0,y=xcosx0,

当02时,cosx0,y=xcosx0.

6.下列命题成立的是()

A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0

B.若在(a,b)内对任何x都有f(x)0,则f(x)在(a,b)上是增函数

C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f(x)必存在

D.若f(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数

[答案] B

[解析]若f(x)在(a,b)内是增函数,则f(x)0,故A错;f(x)在(a,b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系,故C错;f(x)=2在(a,b)上的导数为f(x)=0存在,但f(x)无单调性,故D错.

7.(2019福建理,11)已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x0时,f(x)0,g(x)0,则x0时()

A.f(x)0,g(x) B.f(x)0,g(x)0

C.f(x)0,g(x) D.f(x)0,g(x)0

[答案] B

[解析]f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),x0时,f(x)0,g(x)0. 8.f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若ab,则必有()

A.af(a)f(b) B.bf(b)f(a)

C.af(b)bf(a) D.bf(a)af(b)

[答案] C

[解析]∵xf(x)+f(x)0,且x0,f(x)0,

f(x)-f(x)x,即f(x)在(0,+)上是减函数,

又0<a<b,af(b)bf(a).

9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f(x)0,则必有()

A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1)

C.f(0)+f(2)2f(1) D.f(0)+f(2)2f(1)

[答案] C

[解析]由(x-1)f(x)0得f(x)在[1,+)上单调递增,在(-,1]上单调递减或f(x)恒为常数,

故f(0)+f(2)2f(1).故应选C.

10.(2019江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S(t)的图像大致为[答案] A

[解析]由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增减增减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.

二、填空题

11.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.

[答案]b-1或b2

[解析]若y=x2+2bx+b+20恒成立,则=4b2-4(b+2)0,-12,

由题意b<-1或b>2.

12.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+)内恒成立,实数a的取值范围为________.

[答案]a1

[解析]由已知a>1+lnxx在区间(1,+)内恒成立.

设g(x)=1+lnxx,则g(x)=-lnxx2<0(x>1),

g(x)=1+lnxx在区间(1,+)内单调递减,

g(x)<g(1),

∵g(1)=1,

1+lnxx<1在区间(1,+)内恒成立,

a1.

13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.[答案](-,-1)

[解析]函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+)(-,-1),令f(x)=x2-x-2,f(x)=2x-10,得x12,

函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-,-1).

14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.

[答案][3,+)

[解析]y=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax0在区间(0,2)内恒成立,

即a32x在区间(0,2)上恒成立,a3.

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