第5章 概率与概率分布习题

P{ X 1}

1
1!
e e
2
5 - 18
24 2 2 P{ X 4} e 2 4! 3e
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.15 设随机变量X服从参数为的泊松分布：
k P{ X k} e k!
(k 0,1,2,)
问k取何值时 P{ X k} 最大？（为整数时）
i 1 3
0.1 0.2 0.5 0.5 0.4 0.7 0.55
5-9
习题
P( Ai B) P( Ai | B ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
j 1 j j
3
P( A1 B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) 0.1 0.2 P( A1 | B ) 3 2 / 55 P( B) 0.55 P ( A ) P ( B | A ) j j
5 - 23
习题
1 X 200 1 P(190 X 210) P{ } 2 20 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 ( ) 1 2
5 - 24
A∩B
P(A ∩ B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.5+0.65-0.85=0.3
5-2
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.03 设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生 的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发 生的概率。

A B A B

5-3
习题 第 5 章 概率与概率分布
5 - 16
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.13 一张考卷上5道题目，同时每道题列出 4个选择答案， 其中有一个答案是正确的。某学生凭猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ 答对4道题包括两种情况：4对1错或5对
C (1/ 4) (3/ 4) C (1/ 4) 1/ 64
4 5 4 5 5 5
5.04 设A与B是两个随机事件，已知 P(A)=P(B)=1/3, P(A|B)=1/6,求 P( A | B )
P( AB ) P( A | B ) P( B ) P( AB ) P( A) P( B ) P( A B ) P( A B ) P( AB) 1 P( AB) P( AB) P( B) P( A | B)
5.11 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽 中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是1/2，假设各 种奖不能同时抽中，求： 1) 此人收益的概率分布； 2) 此人收益的期望值。
X = xi P(X=xi)=pi 0 0.789 1 0.2 10 0.01 100 0.001
j 1
P( A2 | B ) 5/11 P( A3 | B ) 28/55
5 - 10
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.10 考虑掷两枚硬币的试验。令 X 表示观察到正面的个数，试 求X的概率分布。
X = xi P(X=xi)=pi
0 0.25
1 0.5
2 0.25
5 - 11
习题 第 5 章 概率与概率分布
5-6
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.07 某种品牌的电视机用到 5000小时未坏的概率为 3/4, ， 用到 10000 小时未坏的概率为 1/2 。现在有一台这种 品 牌 的 电 视 已 经用了 5000 小时未 坏 ， 问 它 能 用 到 10000小时的概率是多少？
设前5000个小时未坏为事件A，后5000个小时未坏为事件B
5-8
习题
解：设 A1表示“职工文化程度为小学”， A2表示“职工文 化程度为初中”， A3表示“职工文化程度为高中及以上 ”， B表示“职工年龄为25岁以下”。根据全概公式有
P( B) P( A1B) P( A2 B) P( A3 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 ) P( Ai ) P( B | Ai )
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第 5 章 概率与概率分布
5.01 写出下列随机试验的样本空间： 1) 记录某班一次统计学测验的平均分数； 2) 某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇 到第一个红灯停下来以前已经遇到的绿灯次数； 3) 生产产品，直到有 10 件正品为止，记录生产产品 的总件数。
1) =[0，100] 2） =N
P( AB) P( AB) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.38
5-5
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.06 某厂产品的合格率为 96% ，合格品中一级品率为 75%。从产品中任取 一件为一级品的概率是多少？
设合格为事件A，合格中一级品率为事件B P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96*0.75=0.72
3） ={10，11，12，……}
5-1
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.02 某市有 50%的住户订日报，有65%的住户订晚报， 有85%的住户至少订两种报纸的一种，求同时订这两 种报的住户的百分比。
设订日报的住户集合为A，订晚报的住户为B，至少订一种 报的集合为 A∪B ，同时订两种报纸的住户的集合为
E ( X 2 ) x 2 f ( x)dx
0
2
2
0
3x 4 3 5 2 dx [ x ]0 12 / 5 8 40
5 - 15
习题
D( X ) E{[ X E( X )]2 }
D( X ) E{X 2 2 XE( X ) [ E( X )]2}
D( X ) E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )]2 E ( X 2 ) [ E ( X )]2 3 / 20
习题




f ( x)dx 1
3x 2




3
3
dx 1

3x 2
1
dx 1

5 - 14

3x 2
1

3
dx [
x3

3 1
] 1

1

3
1
2
习题
E ( X ) xf ( x)dx
0 2 2
0
3x3 3 4 2 dx [ x ]0 3 / 2 8 32
k 1e
P{ X k 1} (k 1)! k 1 e P{ X k} k 1 k!
5 - 19
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.16 设X~N（3，4），求： 1) P{|X|>2}； 2) P{X>3}。
5 - 20
习题
P(| X | 2) P ( X 2) P ( X 2) X 3 2 3 X 3 23 P{ } P{ } 2 2 2 2 X 3 5 X 3 1 P{ } 1 P{ } 2 2 2 2 5 1 ( ) 1 ( ) 2 2 5 1 1 ( ) ( ) 2 2
E(x)=100*0.001+10*0.01+1*0.2+0*0.789=0.4
5 - 12
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.12 设随机变量X的概率密度是
f ( x) 3x 2 0 x
7 8

3
1) 已知 P ( X 1)
，求的值
2) 求X 的期望与方差。
5 - 13
5 - 17
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.14 设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}。
P{ X k} e k!
k
(k 0,1,2,)
2 P{ X 2} e 2!
5 - 21
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.18 一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N （ 200 ， 400 ），求：记录某班一次统计学测验的平 均分数； 1) 出现错误处数不超过230的概率； 2) 出现错误处数在190~210之间的概率。
5 - 22
习题
X 200 230 200 P( X 230) P{ } 20 20 X 200 3 P{ } 20 2 3 ( ) 2
5-4
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.05 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。在两批 种子中各随机取一粒，求： 1) 两粒都发芽的概率； 2) 至少有一粒发芽的概率； 3) 恰有一粒发芽的概率。 设甲发芽为事件A，乙发芽为事件B P(AB)=P(A)P(B)=0.56 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.94
P(A)=3/4 P(AB)=1/2 P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/3
5-7
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.08 某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程 度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%。25 岁以下青年在小学、初中、高中以上文化程度各组中 的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一 名职工，发现其年龄不到 25 岁，问他具有小学、初 中、高中以上文化程度的概率各为多少？