正方形的判定定理

(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、
一组邻边相等 平行四边形
正方形
且一内角是直角
2、
菱形
一内角是直角 或对角线相等
正方形
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
或对角线互相垂直
你 还 知 道 正 方 形 其 它 的 判 定 方 法 吗 ？
正方形的判定方法1： 定义:一组邻边相等且有一个角是直角的
平行四边形是正方形
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形 ABCD四条边上的点，并AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
A D/ D C/ B B/ C
从 条 件 分 析
证题思路分析
①.由已知正方形证三角形全等； ②.证得菱形； ③.再证直角； ④.是正方形
思：
15分钟
• 认真完成导学提纲。
议：9分钟
1、4人组交流导纲内容，有疑惑的做出标记。
2、8人组解决疑惑。
展：
（9分钟）
正方形的6种判定方法
1、定义:四条边都相等，四个角都是直角的
四边形是正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
4、对角线互相垂直的矩形是正方形. 5、对角线相等的菱形是正方形.
B C
D
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.
求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
4、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
)
A
∴ 四边形ABCD为矩形(
∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC ∴ DE=DF(
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
）
) )
5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A D
B
C
正方形的判定方法4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:
∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. A ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. B ∴四边形ABCD是正方形.
A/
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ａ Ｈ Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
有三个角是直角的四边形是矩形
角平分线上的点到角两边的距离相等的定理
)
∴四边形ABCD是正方形（
有一组邻边相等的矩形是正方形 )
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B的角平分 线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：四边形CEDF是正方形。
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G ∵AD是∠CAB的平分线 DF⊥AC，DG⊥AB ∴ DF=DG 同理：DE=DG ∴DE=DF ∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形 ∴四边形ADFC是正方形
华东师大版八年级（下册）
第19章矩形、菱形与正方形
19.3正方形（第3课时）
正方形的判定
导：
【学习目标】
4分钟
1.回忆正方形的定义和性质. 2.掌握正方形的多种判定方法. 3. 会用正方形的判定解决实际问题.
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
Байду номын сангаас
正方形的判定方法：
已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BC 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900, ∴四边形ABCD是矩形. A 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
B C
D
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. A 证明: ∵四边形ABCD是矩形, 又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是正方形.
D
O
C
正方形的判定方法5
对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
6、一组邻边相等且有一个角是直角的平
行四边形是正方形
判断题:
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ） ）
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （√ (4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 ( (
× ×
是正方形（ √ ） (5)四个角都相等的四边形是正方形 (6)四条边都相等的四边形是正方形
A O B C D
正方形的6种判定方法 归纳：
1、定义:四条边都相等，四个角都是直角的
四边形是正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
4、对角线互相垂直的矩形是正方形. 5、对角线相等的菱形是正方形.
6、一组邻边相等且有一个角是直角的平
行四边形是正方形
A
F
D
G
C
E
B
填图： 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形 四边形
评：
平行四边形
矩形
正方形
菱形
正方形被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形 是正方形，可以从两步来着手， 一步：先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；二步： 先判定四边形是菱形，再证有一内角是直角。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结