电路教案线性动态电路的复频域分析

本章重点：
(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质
(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念
(4) 网络函数的极点和零点
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f (t)与复变函数F (s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。

应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。

2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f (t )的拉普拉斯变换式： ⎪⎩
⎪
⎨⎧⎰=⎰=∞+∞-+∞--
d )(πj 21)( d )()(0反变换正变换s
e s F t
f t e t f s F st
j c j c st [][])s (L )( )(L )s ( F t f t f F -1，简写==
S: 复频率，ωσj s +=
注意：
● 积分域：0-：积分下限从0- 开始，称为0- 拉氏变换 。

0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。

今后讨论的均为0 - 拉氏变换。

t e t f t e t f t e t f s F st st st d )(d )( d )()(00
00⎰+⎰=⎰=∞
--+∞
-++--
（[0- ,0＋]区间f (t) = δ (t) 时，此项≠0）
● 象函数F(s) 存在的条件：∞<⎰∞
--t e t f st d )(0
如果存在有限常数M 和 c 使函数 f(t) 满足：),0[ )(∞∈≤t Me t f ct ，即：
c
s M
t Me t e t f t
c t -=⎰≤⎰∞
---∞
--d d )(0)s (s 0 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。

象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)；原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。

3.典型函数的拉氏变换
变换公式： d )()(0t e t f s F st
⎰=+∞--
(1)单位阶跃函数)()(t t f ε=的象函数
s e s t e t e t t s F st st st 101d d )()]([L )(00=∞-=⎰=⎰==--∞
--∞--εε
(2)单位冲激函数)()(t t f δ=的象函数
1d )(d )()]([L )(00
00==⎰=⎰==---∞
+--s st st e t e t t e t t s F δδδ
(3)指数函数at e t f =)(的象函数
[]
a s e a s t e e e s F t a s st at at -=
∞--
=⎰==-
---∞
-101d L )()(0 14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
)(])(L[ , )(])(L[ 2211s F t f s F t f ==若 ，
[][][])()()(L )( L )()( L 221122112211s F A s F A t f A t f A t f A t f A +=+=+则
证明：[][]t e t f A t f A t f A t f A st
d )()()()( L 022112211-∞⎰+=+-
)()(d )(d )(2211022011s F A s F A t e t f A t e t f A st st +=⎰+⎰=-∞
-∞--
结论：
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。

例：的象函数求)1()( : at e K t f --= 解：[]
L ]L[)()
(a s s a s Ka K s K
K s F at Ke ++==
=---
例：的象函数求) sin()( : t t f ω=
解：[]2
2 j 1j 1j 21)(j 21L )(sin L )(ωω
ωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s s s e e ωt s F t j t j 2. 微分性质
[])()( L s F t f =若：,)0()(s d )(d L --=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡f s F t t f 则：
证明：趋于零。

足够大，则无穷大时，若σ )()0()d )((0)()(d d d )(d d )(d L 000s sF f t se t f t f e t f e t e t t f t t f st st
st st +-=⎰--∞=⎰=⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----∞--∞--∞
例：利用导数性质求下列函数的象函数
的象函数) (cos )( 1)( t t f ω=
解：
)(cos d )dsin(t t t ωωω=，t
t t d )
d(sin 1)(cos ωωω=
2
22201)(sin(d d 1L ][cos L ω
ωωωωωω+=⎪⎭⎫
⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s s s s t t t 的象函数) ()( 2)( t δt f =
解：t t t d )(d )(εδ=
，s 1)]([L =t ε []]d )(d [L )(L t t t εδ=101
=-=s s
推广：]d )(d [L 2
2t t f )0()]0()(['----=f f s sF s )0()0()('2----=f sf s F s ]d )
(d [L n
n t
t f )0()0()(11-------=n n n f f s s F s 3.积分性质
)s ()]([L F t f =若：，)s (s
1]d )([L 0F f t
=⎰-ξξ则：
证明：)s (]d )([L 0φ=⎰-t
t t f 令，则：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰=-t t t f t t f 0d )(d d L )]([L -
-=⎰-=00d )()(s )(t t
t
t f s s F φ （由于f(t)有界，则第二项为零）
s
)
s ()s (F =
φ 例：的象函数和求)()t () ()( : 2t t f t t t f εε==
解：[]20111]d )([L )(L s s s t t t t =⋅=⎰=∞-εε，3022]d 2[L )]([L s
t t t t t
=⎰=ε
4.延迟性质
)()]([L s F t f =若：，)()]()([L 000s F e t t t t f st -=--ε则：
证明：[]t e t t t t f t t t t f st d )()()()(L 00000-∞
⎰--=---εε
t e t t f st
t d )(0
0-∞⎰-= τ=-0 t t 令
τττd )(0)
(0⎰=∞
+--t s e
f τττd )(00⎰=∞
---s st e f e
)(0s F e st -= （延迟因子 0st e -）
例：求矩形脉冲的象函数
解：矩形脉冲的原函数为)()()(T t t t f --=εε
根据延迟性质：T e F s s
1
s 1)s (--=
例：求三角波的象函数
解：三角波的原函数为：)]()([)(T t t t t f --=εε
对原函数进行变换：)()()()()(T t T T t T t t t t f -----=εεε
则：T
T e T e F s s 22s
s 1s 1)s (----=
例：求周期函数的拉氏变换 解：设f 1(t)为一个周期的函数(单周期函数)，且)()]([L 11s F t f =
⋅⋅⋅+--+--+=)2()2( )()()()(111T t T t f T t T t f t f t f εε ⋅⋅⋅+++=--)()()()]([L 1211s F e s F e s F t f sT sT
)(11
]1)[(1321s F e
e e e s F sT
sT sT sT -----=
⋅⋅⋅++++= 即： )(11
)]([L 1s F e t f sT
--=
5.拉普拉斯的卷积定理 )()]([L )()]([L 2211s F t f s F t f ==若：
)()( d )()(L )]()([L 21t
02121s F s F f t f t f t f =⎰-=*ξξξ则：
证明：[
]
t f t f e t f t f st d d )()()]()([L t 021021ξξξ⎰-⎰=*∞-
[]t f t t f e st
d d )()()(02
1
0ξξξεξ⎰--⎰=∞∞
- ξ-=t x 令，得：
x e e f x x f sx s d d )()()(0021⎰⎰=∞--∞
ξξεξ
⎰⎰=∞
--∞0201d )(d )()(ξξεξs sx e f x e x x f )()( 21s F s F =
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。

由象函数求原函数的方法： (1)利用公式s e F t f st
j j d )s (πj
21)(c c ⎰=
∞+∞- (2)对简单形式的F (s )可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F (s )分解为简单项的组合（部分分式展开法）
)()()()(21s F s F s F s F n +⋅⋅⋅++= → )()()()(21t f t f t f t f n +⋅⋅⋅++=
设象函数的一般形式为：)( )()()(1
10110m n b s b s b a s a s a s D s N s F n
n n m
m m ≥+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==-- n p p n s ⋅⋅⋅=10)(D (1)个单根分别为有若，利用部分分式可将F (s)分解为：
n
n p s K p s K p s K s F -+⋅⋅⋅+-+-=
2211)( → t
p t p t p e K e K e K t f n 21n 21)(⋅⋅⋅++= 待定常数K i 的确定：
方法1：n 321 ))((、、、i p s s F K i p s i i =-==
原因：⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⋅⋅⋅+--+=-n n p s K p s K p s K F p s 22111)()s ()( （注意：s-p i =0） 方法2：求极限的方法)
s ()
s )(s (lim p D p N K i s i i -=→)s ()s ()s )(s (lim ''p D N p N i s i +-=→ 例：的原函数求 6s 5s 5
s 4)s ( 2+++=F
解法1：6s 5s 5s 4)s (2+++=F 3s 2s 21+++=K
K
33s 5s 421-=++=-=S K ，72s 5
s 43s 2=++=-=K
解法2：35
25
4)()(2
1'
11-=++==
-=s s s p D p N K ，75
25
4()(3
2'
22=++==
-=s s s )p D p N K
)(7)(3)(32t e t e t f t t εε--+-=
具有共轭复根若 0)( )2(=s D ⎩⎨⎧-=+=ωαω
αj p j p 2
1
)s ()s )(s ()s ()s ()s ()s (1D j j N D N F ωαωα+---==
)
s ()
s (s s 1121D N j K j K ++-+--=ωαωα
[]ω
αωαωαj 21
)()
()j )((j ±='=
-=±=s s D s N s s F K s ， （K1、K2也是一对共轭复数） θθj 2j 1e e -设：K K K K ==
则：)t ()()(1)j (2)j (1f e K e K t f t t ++=-+ωαωα
)t ()(1)(j )(j f e e K e e K t j t j ++=--+ωαθωαθ)t (][1)(j )(j f e e e K t t t ++=+-+θωθωα )t (f )cos(K 21++=θωαt e t 例：)( 5
23
)( 2
t f s s s s F 的原函数求+++=
解：的根： 0522=++s s 2j 121±-=,p 4525.050j 50)j 21(2
j 1s 1-∠=-=---=
+-=..s s
K
4525.0)
j 21(s s
2
j 1s 2∠=+--=
--=K 4525.02
2s s
)s ()s (2
j 1s '1-∠=+=
=
+-=D N K 或：
)452cos(2)( -=-t e t f t
具有重根若 0)( )3(=s D ，即 )
p ()(1110n
m
m m s a s a s a s F -+⋅⋅⋅++=- n
n n n p s K p s K p s K p s K s F )
()()()(1111112112
111-+-+⋅⋅⋅+-+-=
-- 1)]()[(11p s n n s F p s K =-= 1)]()(d d
[
111p s n n s F p s s
K =--= ……
1s 11
111)()(d d )!1(1p n
n n s F p s s n K =--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 例：)t ( )1(4
)(2
f s s s s F 的原函数求：++=
解：2)1(4)(++=
s s s s F 2
22
211)
1()1(++++=s K s K s K
4)1(40
2
1=++=
=s s s K ，341
22-=+=
-=s s
s K ，
1221)]()1[(d d -=+=
s s F s s K 4]4[d d 1-=+=-=s s
s s t t te e t f ----=344)(
可见，由F(s)求f(t) 的步骤可归纳为：
1. n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和)
s ()
s ()s (0D N A F += 2. 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式：
n
n p K p K p K A F -+⋅⋅⋅+-+-+
=s s s )s (22
11 3. 求各部分分式的系数
4. 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换
例：的原函数求： 6
511
9)(2
2++++=s s s s s F 解：65119)(22++++=s s s s s F 655412++++=s s s 3
7
231++
+-+=s s )37()()(23t t e e t t f ---+=δ
14.4 运算电路
1.基尔霍夫定律的运算形式
基尔霍夫定律的时域表示：∑=0)(t i ，∑=0)(t u
根据拉氏变换的线性性质得KCL 、KVL 的运算形式：∑=0)(s I ，0)s (=∑U 2.电路元件的运算形式
电阻R 的运算形式。

时域形式：u=Ri ；取拉氏变换：)()(s RI s U =或
)()(s GU s I =。

元件特性：G s Y R s Z ==)()(或
● 电感L 的运算形式。

时域形式：t
i
L
u d d =；取拉氏变换：))0()(()(--=i s sI L s U )0()(--=Li s sLI 或s
i sL s U s I )
0()()(-+=；元件特性：sL s Y sL s Z 1)()(==或（如上图）
● 电容C 的运算形式。

时域形式：ξξd )( 1)0(0⎰+
=-
-t
i C u u ；取拉氏变换：s
u s I sC s U )0()(1
)(-+=
或)0()()(--=Cu s sCU s I ；元件特性：sC s Y sC s Z ==)(1)(或
C 的运算电路
● 耦合电感的运算形式. 时域形式：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t i M t i L u t
i M t i L u d d d d d d d d 1
2222111；取拉氏变换：
⎪⎩⎪⎨
⎧-+-=-+-=----)
0()()0()()()0()()0()()(11222222211111Mi s sMI i L s I sL s U Mi s sMI i L s I sL s U ；元件特性：sM s Y sM s Z M M 1)()(==
耦合电感的运算电路
● 受控源的运算形式。

时域形式：1
211/i i R u i β==；取拉氏变换：
)
()(/)()(1211s I s I R s U s I β==；
受控源的运算电路
RLC 串联电路的运算形式。

)0( 0)0(==--L c i u 若：时域形式：⎰++=-t
c t i C
t i L
iR u 0d 1d d 拉氏变换电路：)(1)()()(s I sC s sLI R s I s U +
+= )()()1
)((s Z s I sC
sL R s I =++=；元件等效：sC
sL R s Y s Z 1
)(1)(++==。

0)0( 0)0(≠≠--L c i u 若：
有：s
u s I sC Li s LI R s I s U )0()(1
)0()(s )()(C --++-+= 整理：s
u Li s U s I s Z s I sC sL R )0()0()()()()()1
(C ---+==+
+ 小结电路的运算形式： 1. 电压、电流用象函数形式； 2. 元件用运算阻抗或运算导纳表示；
3. 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。

例：给出图示电路的运算电路模型。

解：t=0 时开关打开，u c (0-)=25V ；i L (0-)=5A 。

（注意附加50V 电源支路）
14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
1. 运算法的计算步骤
● 由换路前的电路计算uc(0-) , i L (0-) ；
● 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用； ● 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数； ● 反变换求原函数。

例：电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。

解：(1) 计算初值：V 1)0(=-c u ，0)0( =-L i 。

(2) 画运算电路：s L 1s =，
s
11s 11=⨯=sC (3) 应用回路电流法：
0)
0(1)s (1)()11(C 21=-=-++-s
u s I s s I s s
s
s u I s I s 1)0()s ()1
1()s (1C 21==++-- 2)
2(1
)()(2
1++=
=s s s s I s I (4)反变换求原函数
j 1j 10 :30)(D 321--=+-===p p p s ，，个根有
)
j 1s (j 1)(32
1+++-++=
K s K s K s I 2
1
)s (01=
==s s I K ，j)2(11)j 1)((j 12+-=-+=+-=s s s I K ，
j)
2(11
)j 1)((j 13--
=++=--=s s s I K
)j 1()j 1(21j 1)j 1(2121)(++---++-=
s s s s I ； )sin e cos e 1(2
1)()(L 1t t t i s I t
t -----== 例2：图示电路，0)0(),(==-c s u t i δ，求u C (t)、i C (t)。

解：画运算电路
例3.t = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。

解：计算初值：0)0(A,5)0(21==--i i
画运算电路：s
..s s I 4055110)(1++= s s .s .)405(5110++=
s s s )5.12(75.325++= 5
.1275
.12++=s s
则：25.12175.12i e i t =+=-
注意：)0()0(11-+≠i i ，)0()0(22-+≠i i
5.1)s (s 3.0)(11-=I s U L 375.05.1256
.6-+-
=s ，即：t L e t u 5.12156.6)(375.0)t (---=δ
)(1.0)(2s sI s U L = 5
.1219.2375.0+-=s ，即：t
L e t t u 5.12219.2)(375.0)(--+=δ
注意：
● 由于拉氏变换中用0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求 t =0+时的跃变值。

● 两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。

● 满足磁链守恒。

i
L ψ
=
，如上例，A 75.31.0375.0)0()0(22=+
=-+i i ；A i 75.33
.0375
.053.0)0(1=-⨯=+ )0()()0()0(212211+--+=+i L L i L i L ，75.34.0053.0⨯=+⨯
14.6 网络函数的定义
1. 网络函数H （s ）的定义
线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H (s )。

[][][][])()
(( L )(L L L )(def
s E s R t e t r s H ===
）
激励函数零状态响应
注意：
由于激励E (s)可以是电压源或电流源，响应R (s)可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。

若E (s)=1，响应R (s)=H (s )，即网络函数是该响应的像函数。

网络函数的原函数是电路的冲激响应 h (t )。

2.网络函数的应用
由网络函数求取任意激励的零状态响应
)
()
()(s E s R s H =
→ )()()(s E s H s R = 例：)()()()(2121s t S t S u u t t i 、，求阶跃响应、，响应为图示电路，ε= 解：画运算电路
6
s 5s 4
s 4s
2211s 41)s (I )s (U )s (2
S 11+++=+++==H 6
5422)(2)()()(2112++=+==
s s s s s sU s I s U s H S )
65(4
4)()()(2
11+++=
=s s s s s I s H s U S t t e e t S 3213
8
232)(---+=
)
65(4)()s ()(222++==s s s s
s I H s U S
t t e e t S 32244)(---=
3. 应用卷积定理求电路响应
)()()(s E s H s R =
[]⎰⎰-=-===-t
t
1d )()(d )()( )(*)()()(L )(ξ
ξξξξξt h e h t e t h t e s H s E t r
可以通过求网络函数H (s )与任意激励的象函数E (s )之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。

文档来自于网络搜索
14.7 网络函数的极点和零点
1. 极点和零点
)())(()())(()()()(21210n m p s p s p s z s z s z s H s D s N s H -⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--== ∏-∏-===n j j m
i i z s z s H 11
0)
()(
当 s =z i 时，H(s)=0，称 z i 为零点，z i 为重根，称为重零点；
当 s =p j 时，H(s )→∞，称 p j 为极点，p j 为重根，称为重极点； 2. 复平面（或s 平面）
由于ωσj s +=，则z i ，P j 为复数，在复平面上把 H(s) 的极点用‘ ⨯ ’表示 ，零点用‘ o ’表示。

例：3
6416
122)(232++++-=s s s s s s H ，绘出其极零点图。

解：)4)(2(216122)(2--=+-=s s s s s N
42 )(21==z z s H ，的零点为：
)2
3
j 23)(23j 23)(1( 364)(2
3
-+++
+=+++=s s s s s s s D 2
3
231 )s (3,21j p p H ±-=-=，的极点为：
14.8 极点、零点与冲激响应
1. 网络函数与冲击响应
)()()(s E s H s R =
1)( )()( ==s E t t e 时，当δ
)(L )()( )()( 1s H t h t r s H s R -==→=，h(t)称为冲击响应。

可见：H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。

2. 极点、零点与冲激响应
若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：
)]s ([L )(1
H t h -= t p n i n
i i i
i e K p s K ∑=∑-===-1
i 11
][L
注意：极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。

● 当pi 为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，当pi 为正实根时，h(t)为增长的指数
函数；
● 当pi 为共轭复数时，h(t)为衰减或增长的正弦函数；
● 当pi 为虚根时，h(t)为纯正弦函数，当Pi 为零时，h(t)为实数；
注意：一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。

根
据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。

14.9 极点、零点与频率响应
令网络函数H(s)中复频率s =j ω，分析H(j ω)随ω变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。

对于某一固定的角频率ω，φωωωωj n
1j j m
10
)j ()
j ()j (H )j (e H p z H i i =∏-∏-===
幅频特性：∏-∏-===n
1j j m
10
)
j ()j ()j (p z H H i i ωωω
相频特性：[]∑-∑--====n
1
j j m
1
)j arg()j arg()j (arg p z H i i ωωωφ
例：定性分析RC 串联电路以电压u C 为输出时电路的频率响应。

解：)
()
()(s U s U s H S C =
sC R sC
s H 11)(+=
RC
s RC 11+
= 一个极点：RC s 1-= ，ωj ,1
0==s RC
H 设
1
0j /1j )j (p H RC H H -=+=
ωωω
θ
ωj 0
)j (Me
H H =
（如右图） )j ()j (/1j )j (0
ωθωωω∠=+=
H RC
H H。