新课标版数学必修二(新高考 新课程)单元卷1高考调研精讲精练
高考调研新课标A数学必修二
高考调研新课标A数学必修二
高考调研新课标A数学必修二涵盖了高中数学的重要知识点，特别是
对于函数、几何、概率统计等领域的深入理解和应用。
在新课标的指
导下，高考数学试题更加注重考查学生的数学思维能力、问题解决能
力和创新意识。
在函数部分，重点考查函数的概念、性质、图像以及函数与方程的关系。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质在高考中
经常出现，要求学生能够熟练掌握并能够灵活运用。
函数图像的绘制
和理解也是高考的重点，学生需要能够根据函数的性质画出大致的图像，并能通过图像理解函数的性质。
几何部分则包括平面几何和立体几何。
平面几何中，三角形、四边形、圆等基本图形的性质和定理是必须掌握的。
立体几何部分，除了对基
本几何体的认识，还需要掌握空间向量、空间直线和平面的位置关系等。
高考中，几何题目往往需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来
解决问题。
概率统计部分在高考中占有重要地位，考查学生对随机事件的概率计算、统计图表的解读以及数据的分析处理能力。
这部分内容要求学生
能够理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，以及能够运用统计
学的知识解决实际问题。
在备考过程中，学生应该注重对基础知识的理解和应用，通过大量的
练习来提高解题速度和准确率。
同时，也应该关注高考试题的变化趋势，适应新课标的要求，培养自己的数学思维和创新能力。
此外，定
期进行模拟考试，及时总结和反思，也是提高高考成绩的有效方法。
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第二章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列不是直线与平面的位置关系的是()A．异面B．平行C．相交D．在平面内答案 A2．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点答案 C解析不共线的三点确定一个平面，所以A错误；四边形的四个顶点不一定共面，所以B 错误；假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，那么这两个平面重合，所以D错误；两条平行直线确定一个平面，梯形的一组对边平行，则梯形一定是平面图形，所以C正确．3．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面()A．可能有3个，也可能有2个B．可能有4个，也可能有3个C．可能有3个，也可能有1个D．可能有4个，也可能有1个答案 D解析4个点可能在同一平面内，也可能不共面，任意两点之间连线组成四面体，所以平面个数为1个或4个．4．对于直线m，n和平面α，β能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案 C5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B 正确．6．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列条件下，不能判定a⊥b的是() A．α⊥β，a⊥α，b⊥βB．α∥β，a⊥α，b⊂βC．α⊥β，a∥α，b∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥α答案 C7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°，选C.8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π答案 A解析如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为12＋12＋（2）2＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.9．正方体ABCD－A1B1C1D1，二面角C1－AB－C的平面角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 B10．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a 2，∴AD2＝DM2＋AM2.∴∠AMD＝90°.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D1D．A1A答案 B解析因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以可证BD⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，则CE⊥BD.12．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 C解析由AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，可知AB⊥面BCD，从而有面ABC⊥面BCD；又CD⊥BD，面ABD⊥面BCD，故CD⊥面ABD，从而可得面ABD⊥面ACD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二面角α－l－β的大小为60°，若直线a⊥α，直线b⊥β，则异面直线a，b所成的角是________．答案60°14．已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是________．答案垂直解析∵l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC＝B，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.15．如图所示，四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________(写出所有真命题序号)．答案①④解析①中取BC中点E，连接AE，DE.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD.④中过A向平面BCD内作垂线，垂足为O，连接BO，CO，DO，可证O为△BCD的垂心．∴BC⊥DO.又BC⊥AO，∴BC⊥平面ADO，又AD⊂平面ADO，∴BC⊥AD.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.证明如图，连接MN.∵M，N分别是其所在棱的中点，∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．∴MB1∥AN，CN∥MD.又∵MB1⊂平面MDB1，MD⊂平面MDB1，MB1∩MD＝M，∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC.∴平面MDB1∥平面ANC.18．(12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D是AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，DB与BC是平面ABC内的两条相交线，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.19．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE 与平面ABCD所成角的正切值．解析 过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF. ∵EF ⊥平面ABCD ，∴∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得EF ＝12CC 1＝1.∵CF ＝12CB ＝1，∴DF ＝ 5.∵EF ⊥DF ，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝55. 20．(12分)如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点． (1)证明：MN ∥平面A′ACC′； (2)求三棱锥A′－MNC 的体积．解析 (1)证明：方法一：连接AB′，AC ′，因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，所以三棱柱ABC －A′B′C′为直三棱柱，所以M 为AB′的中点． 又因为N 为B′C′的中点，所以MN ∥AC′. 又MN ⊄平面A′ACC′，AC ′⊂平面A′ACC′， 因此MN ∥平面A′ACC′.方法二：取A′B′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′. 因为M ，N 分别为AB′与B′C′的中点，所以MP ∥AA′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A′ACC′， PN ∥平面A′ACC′.又MP ∩NP ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A′ACC′.又因MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A′ACC′.(2)方法一：连接BN ，由题意A′N ⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B ′BCC ′＝B′C′，所以A′N ⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.方法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝1 6.21.(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解析(1)证明：如右图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.又∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.(2)∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB.∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝3，tan∠ABP＝3，∴∠ABP＝60°.∴二面角A－BE－P的大小是60°.22．(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF ＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝90°.(1)证明：取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC中点，可得NG∥CF，MG ∥EF ，∴面MNG ∥面CDEF ，∴MN ∥面CDEF. (2)取DE 中点为H ，连接AH ， ∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE.在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF ＝DE ， ∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥． 在△ADE 中，AH ＝2，S 矩形CDEF ＝DE·EF ＝42， ∴棱锥A －CDEF 的体积V ＝13S 矩·AH ＝83.1.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V.解析 (1)证明：∵在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC. 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD.又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA.在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.2．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，求球的体积和表面积． 解析 ∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.∴过A，B，C三点的截面圆的半径为12AC＝15(cm)．设球的半径为R，则R2＝(R2＋152.2)∴R2＝300，∴R＝103(cm)．πR3＝4 0003π(cm3)，∴V球＝43S球＝4πR2＝1 200π(cm2)．。
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课时作业(一)1．设有四个命题，其中，真命题的个数是()①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 A2．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能答案 D4．下列命题中错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案 B5．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点答案 C6．下列说法中：①棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为三角形的面围成的几何体；②用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台；③以一个半圆的直径所在的直线为轴，旋转一周而成的几何体是球；④夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．不正确的序号是________．答案①②③④解析③应为球面而不是球．7．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A′B′C′D′中，①ACC1A1为矩形，②不存在，③四面体A′－ABD，④四面体A′－BC′D，⑤四面体A′－BB′C.8．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；其中正确说法的序号是________．答案①解析因为直径一定过球心，故②不对；用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，故③不对．9．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．10．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．答案 411．用一个平面截半径为25 cm的球，截面面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________ cm.答案2012．(1)观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有几对？(2)观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？答案(1)平行平面共有三对，任意一对平行平面都可以作为棱柱的底面．(2)平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面．13．如下图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于桌面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状是否形成棱柱体．答案形成棱柱体。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)综合卷1高考调研精讲精练
模块综合测试卷(一)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．给出下列命题：①在所有的棱柱中，互相平行的面最多有三对；②三个面不能围成几何体；③各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥的底面是正方形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①不对，因为有的六棱柱中有四对互相平行的面；③不对，因为底面有可能为菱形，∴②④正确．2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．不在同一平面内D ．A ，B ，C 均有可能 答案 D解析 可以利用正方体加以验证．3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( ) A ．52π B ．34π C ．45π D ．37π 答案 A解析 环绕一周得到的是一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥、圆柱的底面半径为r ＝4，圆柱高为2，圆柱母线长为l 1＝2，圆锥母线长为l 2＝5，所以所求表面积S ＝2πrl 1＋πr 2＋πrl 2＝52π.4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．[34，1]B ．[34，1)C ．[34，＋∞)D ．(－∞，1) 答案 B解析 由题意可知y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，要使直线与圆只在第二象限有公共点，则k ∈[k 1，k 2)．由题意得y ＝k 2x ＋2过(－2，0)，(0，2)两点，∴k 2＝1.又圆心为(－1，0)，∴圆心到y ＝k 1x ＋2的距离d ＝|－k 1＋2|k 12＋1＝1，∴k 1＝34，∴k ∈[34，1)．5．过点P(1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为10，则直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 通过直线的截距式，再作对称即可以发现有4条．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n. ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误．②正确．③m ∥α或m ⊂α，m ∥β或m ⊂β，故③错误．④α，β的关系不确定，故④错误．故选B.7．若方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．0<k<12D ．k ≤12答案 B解析 通过圆的一般方程的判断即可解决．8．若圆C 1的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程是x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．1条 答案 D解析 通过判断两圆的关系即可解决．9．直线y ＝x ＋1与直线y ＝ax ＋1的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 的值变化而变化答案 D解析 若a ＝1，则有无数个交点；若a ≠1，则有一个交点．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－43，0]B ．[0，34]C ．[0，43]D ．(0，43]答案 C解析 圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心C(4，0)，半径r ＝1.∵直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴圆心C(4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.11．如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF答案 A解析 取DG 的中点M ，连接AM ，FM ，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM.∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM.又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM.又AM ⊂平面ACGD ，BF ⊄平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD.故选A.12．正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面CB 1D 1 ②AH ＝13AC 1③点H 是△A 1BD 的垂心 ④AH ∥平面BDC 1 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④答案 A解析 如图，∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，又AH ⊥面A 1BD. ∴AH ⊥面CB 1D 1，故①正确． ∵V A 1-ABD ＝V A-A 1BD. ∴13·AH ·S △A 1BD ＝13·AA 1·S △ABD ， ∴AH ＝33，∴AH ＝13AC 1，故②正确． ∵AA 1，AB ，AD 两两相互垂直，∴H 为△A 1BD 的垂心，故③正确． 由题知H 点在线段AC 1上，故④不正确．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是__________． 答案932π 解析 ∵直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0平行， ∴两平行直线间的距离即为圆的直径，∴2R ＝⎪⎪⎪⎪1＋122＝324.∴R ＝328，S 圆＝πR 2＝932π.14．过点P(3，6)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8的直线方程为__________________． 答案 3x －4y ＋15＝0或x ＝3解析 当斜率不存在时，显然成立．斜率存在时，由距离公式可得斜率为0.75.15．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6＝0被反射，已知反射光线过点(3，6213)，则反射光线所在直线方程为__________． 答案 13x －26y ＋85＝0解析 先求P(－1，4)点关于直线2x ＋3y －6＝0的对称点Q ，然后利用点Q 与点(3，6213)在反射光线所在直线上就可以解决．16．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 答案 ①④解析 通过正方体验证．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问：当m 为何值时，l 1与l 2①相交；②平行；③重合．解析 若m ＝0，l 1：x ＝－6，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交； 若m ≠0，由m －21＝3m ，有m ＝－1或m ＝3，由3m ＝2m6，有m ＝±3.故①当m ≠1且m ≠3时，m －21≠3m ，l 1与l 2相交；②当m ＝－1时，m －21＝3m ≠2m6，l 1与l 2平行；③当m ＝3时，m －21＝3m ＝2m6，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC ∥DG ∥EF ，BC ∥FG ，且AC ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：CF ⊥平面BDG ； (2)求多面体ABCDEFG 的表面积． 解析 (1)证明：如图，连接AE ，EG ， ∵BC ∥FG ，∴B ，C ，G ，F 四点共面． 在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，GF ＝DE 2＋（DG －EF ）2＝5，即BC ＝GF ＝5，同理可证BF ＝CG ＝ 5. ∴四边形BCGF 是菱形，∴CF ⊥BG ，∵AC ∥EF ，AC ＝EF ＝1，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AE ∥CF ， 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD. 又BG ∩BD ＝B ，∴CF ⊥平面BDG. (2)BG ＝BE 2＋EG 2＝BE 2＋ED 2＋DG 2＝22＋22＋22＝23，CF ＝AE ＝AB 2＋BE 2＝22，∴S 棱形BFGC ＝12×BG ×CF ＝12×22×23＝26，∴多面体ABCDEFG 的表面积S ＝S △ABC ＋S 梯形DEFG ＋S 正方形ABED ＋S 梯形ADGC ＋S △BEF ＋S 菱形BFGC ＝12AB ·AC ＋12(EF ＋DG)·DE ＋DE 2＋12(AC ＋DG)·AD ＋12BE ·EF ＋26 ＝1＋3＋4＋3＋1＋26 ＝12＋2 619．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD.证明(1)如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F.又E是PC的中点，∴EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD.又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD.又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD.又AP⊂面PAD，∴面PDC⊥面PAD.20.(本小题满分12分)自点P(－3，3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在直线的方程．解析设入射光线l所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，反射光线所在直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得k＝－k1，而点P(－3，3)关于x轴的对称点P1(－3，－3)，根据对称性，点P 1在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线l 1的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3＋3k ＝0，又此直线与已知圆相切，所以圆心到直线l 1的距离等于半径r ，因为圆心为(2，2)，半径为1，所以|2k ＋2＋3＋3k|1＋k 2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.故入射光线l 所在的直线方程为y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.21．(本小题满分12分)设M 是圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0上一动点，O 是原点，N 是射线OM 上一点，若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程． 解析 设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x ，y)， 由题意|OM|·|ON|＝120， 得x 12＋y 12·x 2＋y 2＝120.①当M 不在y 轴上时，x 1≠0，x ≠0，于是有y x ＝y 1x 1.设y x ＝y 1x 1＝k ，代入①，化简得|x 1x|(1＋k 2)＝120. 因x 1与x 同号，于是x 1＝120（1＋k 2）x ，y 1＝120k（1＋k 2）x ， 代入x 2＋y 2－6x －8y ＝0并化简，可得3x ＋4y －60＝0(x ≠0)． 当x 1＝0时，y 1＝8，点N(0，15)也在直线3x ＋4y －60＝0上， 所以，点N 的轨迹方程为3x ＋4y －60＝0.22．(本小题满分12分)求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解析 由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)，或C 2(a ，－4)． 又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3. 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1. (1)当圆心为C 1(a ，4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72， 或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.(2)圆心为当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.。
新课标高中数学(必修2)单元测试卷12套(附详解答案)
新课标高中数学（必修2）单元测试卷目录第一章空间几何体[基础训练A组] (1)第一章空间几何体[综合训练B组] (3)第一章空间几何体[提高训练C组] (5)第二章点、直线、平面之间的位置关系[基础训练A组] ........................................... 错误！未定义书签。
第二章点、直线、平面之间的位置关系[综合训练B组] ........................................... 错误！未定义书签。
第二章点、直线、平面之间的位置关系[提高训练C组] ........................................... 错误！未定义书签。
第三章直线与方程[基础训练A组] .............................................................................. 错误！未定义书签。
第三章直线与方程[综合训练B组] ............................................................................... 错误！未定义书签。
第三章直线与方程[提高训练C组] ............................................................................... 错误！未定义书签。
第四章圆与方程[基础训练A组] .................................................................................. 错误！未定义书签。
第四章圆与方程[综合训练B组] ................................................................................... 错误！未定义书签。
新课标版数学选修2-1单元卷1高考调研精讲精练
第一章章末测试卷(A)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假答案 B解析綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．故选B.2．若命题p：x＝3且y＝4，则綈p()A．x≠3或y≠4 B．x≠3且y≠4C．x＝3或y≠4 D．x≠3且y＝4答案 A3．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a<b B．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a>b C．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b D．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a>b答案 C解析根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是：“若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b”．故选C.4．已知命题：p：∃n∈N，2n>1 000，则綈p为()A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n>1 000C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n<1 000答案 A解析命题p的否定为：∀n∈N，2n≤1 000.5．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0，反之由cos2α＝0⇒(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝0⇒sin α＝±cosα.故选A. 6．若x ∈R ，则“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 解不等式lg(x 2－1)<0可得{x|－2<x<－1或1<x<2}，是{x|－2<x<2}的真子集，故“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的必要不充分条件．故选B. 7．下面四个条件中，使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析 a>b ＋1⇒a>b ，a>b a>b ＋1. 8．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sinA ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lgx 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3 答案 B解析 A 中，若sinA ＝sinB ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题；B 显然是真命题；C 中，若lgx 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x 0<3，得14<x 0<34，故不存在这样的x 0∈Z ，故D 为假命题．故选B.9．(2019·北京，理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴|AB →＋AC →|>|BC →|⇔|AB →＋AC →|>|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2>|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →>0⇔AB →与AC →的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C. 10．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0； q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．p ∧(綈q)答案 D解析 先判断命题p 和q 的真假，再判断四个选项中含有简单逻辑联结词的命题的真假． 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q 为假命题，p ∧(綈q)为真命题．故选D.11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由指数函数的性质知，若3a >3b >3，则a>b>1，由对数函数的性质，得log a 3<log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3<log b 3，此时0<b<a<1，于是3>3a >3b ，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．故选B.12．已知p ：|x ＋1|>1，q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 方法一：由|x ＋1|>1得x<－2或x>0，则綈p ：－2≤x ≤0，綈q ：x ≤a ，设A ＝{x|－2≤x ≤0}，B ＝{x|x ≤a}，由题意AB ，所以a ≥0.故选D.方法二：因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件．又p ：|x ＋1|>1⇒x<－2或x>0，所以{x|x>a}{x|x<－2或x>0}． 所以a ≥0.故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如果否命题为“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”，那么相应的原命题是________． 答案 若x ＋y>0，则x>0且y>0解析 否命题是以原命题的条件的否定作为条件，结论的否定作为结论，故原命题为：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”．14．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )在直线y ＝2x ＋1上，所以a n ＝2n ＋1，则数列{a n }为等差数列；而{a n }为等差数列，例如a n ＝3n －5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n ，a n )却不都在直线y ＝2x ＋1上．15．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的________条件．答案 充分不必要 16．给出如下命题：①“a ≤3”是“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件；②命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x >1”的否定是“∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0≤1”； ③若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①②解析 对于①，由∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0，可得a ≤4，因此“a ≤3”为“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件，①正确；易知②正确；对于③，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，所以③错误．故填①②.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 解析 (1)原命题为真，逆命题：“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”，是真命题； 否命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”，是真命题；逆否命题：“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，是真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定． (1)∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)所有实数的绝对值是正数； (4)菱形是平行四边形．解析 (1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0； (2)所有的三角形都不是等边三角形； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)有的菱形不是平行四边形．19．(12分)已知集合P ＝{x|－1<x<3}，S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．解析 因为S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}＝{x|(x ＋1)(x ＋a)<0}， P ＝{x|－1<x<3}＝{x|(x ＋1)(x －3)<0}， x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.20．(12分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0.命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析 由题意得p ：－2≤x ≤10.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，q p.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，∴⎩⎨⎧m ＞3，m ≥9，或⎩⎨⎧m ≥3，∴m ＞9， 且1－m ≤1＋m ，即m ≥0， 所以实数m 的取值范围为{m|m ≥9}．21．(12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，q ：不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R .若命题“p ∨q ”是假命题，求实数m 的取值范围． 解析 若方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，则m 2－4≥0. ∴m ≤－2或m ≥2.若不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假命题．∴⎩⎨⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1. 所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}． 22．(12分)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f(x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)不等式m 0＋f(x)>0可化为m 0>－f(x)， 即m 0>－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0>－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立， 只需m 0>－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0>－4. (2)不等式m －f(x 0)>0可化为m>f(x 0)， 若存在一个实数x 0使不等式m>f(x 0)成立， 只需m>f(x 0)min . 又f(x 0)＝(x 0－1)2＋4， 所以f(x 0)min ＝4，所以m>4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题 答案 A解析 A 中其逆命题为“若x>|y|，则x>y ”，为真命题，B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，当x ＝－2时，命题不成立，C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”当x ＝－2时，命题不成立，D 中，原命题当x ＝－2时，不成立，故其逆否命题也为假命题．故选A. 2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 条件p ：|x ＋1|>2⇔p ：{x|x>1或x<－3}，所以綈p ：{x|－3≤x ≤1}． 条件q ：5x －6>x 2⇔q ：{x|2<x<3}，所以綈q ：{x|x ≥3或x ≤2}．因为{x|－3≤x ≤1}{x|x ≥3或x ≤2}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．故选A. 3．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tanα≠1B ．若α＝π4，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠π4D ．若tanα≠1，则α＝π4答案 C解析 原命题的逆否命题为“若tanα≠1，则α≠π4”．故选C.4．给出下列四个命题：①若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2 ②若－2≤x<3，则(x ＋2)(x －3)≤0 ③若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0④若x ，y ∈N *，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数，那么( ) A ．①的逆命题为真 B ．②的否命题为真 C ．③的逆否命题为假 D ．④的逆命题为假 答案 A解析 ②的逆命题：若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x<3为假，故②的否命题为假． ③的原命题为真，故③的逆否命题为真． ④的逆命题显然为真．5．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1<0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]解析 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题．而命题p ：“∃m ∈R ，m ＋1<0”，为真命题，所以命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立”，必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.又命题p：∃m∈R，m＋1<0为真命题，所以m<－1.故综上可知m≤－2.教师备选卷：第一章章末测试卷(B)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，则A与B的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．A B且B A答案 A2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题答案 B3．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0答案 C4．(2019·北京，文)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当b＝0时，f(x)＝cosx＋bsinx＝cosx，f(x)为偶函数；当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)对任意的x恒成立，f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx，cosx＋bsinx＝cosx－bsinx，得bsinx＝0对任意的x恒成立，所以b＝0.所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.5．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0，1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案 C解析由指数函数的图象与性质可知，当x<0时，2x>3x，故p为假命题；由对数函数的图象与性质知，∀x∈(0，1)，log2x<0恒成立，故q为真命题．所以(綈p)∧q为真命题．故选C.6．下列命题是真命题的是()A．a>b是ac2>bc2的充要条件B．a>1，b>1是ab>1的充分条件C．∃x0∈R，ex0≤0 D．若p∨q为真命题，则p∧q为真答案 B解析A项，当c＝0时，ac2＝bc2，故A为假命题；C项，因为e x>0恒成立，故C为假命题；D项，当p，q一真一假时，p∨q为真，而p∧q为假，故D为假命题；而B中，a>1，b>1⇒ab>1，为真命题．故选B.7．下列命题错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0答案 C8．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a>1答案 C9．下列命题中正确的是()A．“m＝12”是“直线(m－75)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必要条件B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件C．已知a，b，c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件D ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 答案 D10．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4答案 C11．有下列命题：①p 1：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”的否命题； ②p 2：“矩形的对角线相等”的否命题；③p 3：“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④p 4：“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中p 1的逆命题为“若x>0且y>0，则x ＋y>0”为真，故否命题为真； ②中p 2的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③中p 3的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎨⎧m>0，Δ<0，即m>1.∴③是真命题；④中p 4为真，逆否命题也为真．12．命题p ：“∀x ∈[1，2]，2x 2－x －m>0”，命题q ：“∃x 0∈[1，2]，log 2x 0＋m>0”，若“p ∧q ”为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－1，1) D ．[－1，1]答案 C解析 若p 为真，则m<2x 2－x 在x ∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝2x 2－x ，x ∈[1，2]， 因为f(x)＝2x 2－x ＝2(x －14)2－18在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1.所以m<1.对命题q ，因为x 0∈[1，2]时，log 2x 0∈[0，1]，所以－log 2x 0∈[－1，0]．所以由log 2x 0＋m>0得m>－log 2x 0.若q 为真，则m>－1，因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真．所以⎩⎨⎧m<1，m>－1，所以－1<m<1.故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知命题p ：“若a>b>0，则log 12a<log 12b ＋1.”则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为________．答案 214．不等式kx 2＋x ＋k>0恒成立的充要条件是________．答案 k>1215．命题p ：∃α0∈R ，sin α0>1是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)． 答案 特称命题 假 ∀α0∈R ，sin α≤1 真16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a>b ，则1a <1b”及其逆命题，否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．答案 ab<0解析 由题意知ab ≠0，当ab>0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b<a ，所以四种命题都是正确的．当ab<0时，若a>b ，则必有a>0>b ，故1a >0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b ，则必有1a <0<1b，故a<0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab<0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x|x>0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解析 (1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x ＝4或x ＝6，则(x －4)(x －6)＝0；(3)正方形是菱形又是矩形．解析 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)逆否命题：如果不会使用电脑，那么就学不好数学．(假)(2)逆命题：若(x －4)(x －6)＝0，则x ＝4或x ＝6；(真)否命题：若x ≠4且x ≠6，则(x －4)(x －6)≠0；(真)逆否命题：若(x －4)(x －6)≠0，则x ≠4且x ≠6.(真)(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)19．(12分)已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)．若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解析 因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：A ＝{x|x>10或x<－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，解得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)，所以綈q ：B ＝{x|x>1＋m 或x<1－m}(m>0)．由綈p 是綈q 的必要而不充分条件可知B A.所以⎩⎨⎧m>0，1－m ≤－2，1＋m>10，或⎩⎨⎧m>0，1－m<－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.所以满足条件的m 的取值范围为[9，＋∞)．20．(12分)已知c>0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f(x)＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解析 由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c<1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f(x)＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2. 若q 真，则1c <2，即c>12. 若p 真q 假，则0<c<1，c ≤12，所以0<c ≤12； 若p 假q 真，则c ≥1，c>12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 21．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.22．(12分)已知命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a)(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析 (1)命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题，得x 2－x －m<0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m>(x 2－x)max ，得m>2，即B ＝{m|m>2}．(2)不等式(x －3a)(x －a －2)<0.①当3a>2＋a ，即a>1时，解集A ＝{x|2＋a<x<3a}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立．③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立，∴3a≥2，此时a∈[23，1)．综上①②③可得a∈[23，＋∞)．1．若綈A⇔綈B，綈C⇒綈B，则A是C的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由已知可得A⇔B，B⇒C，∴A⇒C.2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数答案 A解析由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．故选A.3．设集合A＝{x|xx－1<0}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z.若“p且q”与“綈q”同时为假命题，则满足条件的x为()A．{x|x≥3或x≤－1，x∉Z} B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2}答案 D5．在横线上分别填上由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题的真假：p：3×3＝6，q：3＋3＝6，则p∨q________，p∧q________，綈p________．答案真假真6．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)等圆的面积相等、周长相等．解析(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，时，一元二次方程没有实数根，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14因为非p是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是非p：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0；利用配方法可以证得非p是一个真命题，所以原命题是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是非p：“存在一对等圆其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知非p是一个假命题，所以原命题是一个真命题．。
空间几何体的结构(第2课时)
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【解析】 图①是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何 体． 图 ② 是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四 棱锥组合而成的几何体． 图③是一个圆台挖去一个圆锥．
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探究 1 当一个平面图形绕某条直线旋转后会形成一个旋转 体，如：直角三角形绕其一直角边旋转会形成一个圆锥，矩形绕 其一边旋转会形成一个圆柱，直角梯形绕其直角腰旋转会形成一 个圆台，半圆绕其直径旋转会形成球等．
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探究 4 旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用 轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两 腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．
【思路分析】 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆
半径，因而用轴截面解答．
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【解析】
如图是几何体的轴截面，由题意知
AO＝2 cm， A′O′＝1 cm，SA＝12 cm. A′O′ SA′ A′O′ 1 由 ＝ ，得 SA′＝ ·SA＝ AO SA AO 2 ×12＝6(cm)， 于是 AA′＝SA－SA′＝6(cm)． 故这个圆台的母线长为 6 cm.
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【解析】 可把圆柱展开两次，如图，则 AB′即为所求 AB ＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，
∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2 . 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
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题型三 与简单几何体有关的计算 例 4 已知一个圆台的上、下底面半径分别是 1 cm，2 cm， 截得圆台的圆锥的母线长为 12 cm，求这个圆台的母线长．
新课标高中数学人教A版必修2精讲精练讲解与习题答案
第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。
新课标版数学必修二(A版)综合卷2高考调研精讲精练
模块综合测试卷(二)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()A．60°B．30°C．120°D．150°答案 C2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案 C3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案 C4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()A．－6 B．－2C．2 D．6答案 A5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 B6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]答案 A11．在正方体ABCD －A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E 、交CC′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD′E 有可能是正方形C ．四边形BFD′E 有可能是菱形D ．四边形BFD′E 在底面投影一定是正方形 答案 B12.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部答案 B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．答案22 3 a14．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．答案10x＋15y－36＝015．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案14416.如图所示，在三棱锥P－ABC中，面PAC⊥面ABC，∠ABC＝90°，PA＝PC＝32，BA ＝BC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．答案81 4π解析如图，取AC中点O，连接BO，PO.∵BA＝BC＝2，∠ABC＝90°.∴AC＝22，且O为△ABC的外心．∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC.又∵面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∴PO ⊥面ABC.∴三棱锥P －ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO＝PO PA ＝223，2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92，R ＝94，S ＝4πR 2＝814π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．解析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC＝－1，∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－32，且过点A(1，3)．∴直线方程为y －3＝－32(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝APPD 1，∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.∴PQ ∥平面DCC 1D 1.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.∴|AB|＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1＋y2－a＝1.∴2－a a ＋1＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD ＝1，BC ＝ 3.(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?(2)在(1)的条件下，若三棱锥D－APC的体积等于39时，求CP的长．解析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，∴DC⊥面ABC.又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∴S△PCD＝12DC·DPsin60°＝34DP，∵AB⊥面BCD，∴V D－APC＝V A－DPC＝13AB·S△DPC＝312DP＝39，∴DP＝43，∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝139，∴CP＝133.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．解析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，∴BM⊥MD，即BM⊥PD.∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.∴PC 与平面ABM 的交点为N.由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PDDC＝2 2.∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝12PD ＝2 2.∴O 到平面ABM 的距离为 2.。
衡水作业本新高考 (29)
所以正方形 ABCD 的边长为 2 3，OE＝ 3，
由题意得13×(2 3)2×SO＝12，所以 SO＝3，
所以
tan∠SEO＝OSOE＝
3＝ 3
3，所以∠SEO＝60°.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
16．四棱锥 S－ABCD 的底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 相交于点 O，且 SO⊥平面 ABCD，若四棱锥 S－ABCD 的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角等于 ________．
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
15．如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， 且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________ 时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
9.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB ＝AD＝1，AA1＝2，M 为棱 DD1 上的一点．当 A1M ＋MC 取得最小值时，B1M 的长为( )
A. 3
B. 6
C．2 3
D．2 6
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答案 A 解析 将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90 °展开，与侧面 ADD1A1 共面(如图)，连接 A1C ′，当 A1，M，C′共线时，A1M＋MC 取得最 小值．由 AD＝CD＝1，AA1＝2，得 M 为 DD1 的中点．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B1A1 ⊥平面 A1D1DA，则 B1A1⊥A1M，又 A1M＝ 2，故 B1M＝ B1A12＋A1M2＝ 12＋（ 2）2＝ 3.故选 A.
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1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余 弦 定 理
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝ a2＋c2－2accosB ， c2＝ a2＋b2－2abcosC .
题型四
判断三角形的形状
例 4 在△ABC 中，cos2A2＝b＋ 2cc(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，判断△ABC 的形状．
【解析】 方法一 在△ABC 中，∵cos2A2＝b＋ 2cc， ∴1＋2cosA＝2bc＋12，∴cosA＝bc. 又由余弦定理知 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋2cb2c－a2＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2.∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形．
பைடு நூலகம்
探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
思考题 4 (1)在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，能判断△ ABC 的形状吗？
(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
课后巩固
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列
等式不成立的是( ) A．a2＝b2＋c2－2bccosA C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 答案 D
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业2高考调研精讲精练
课时作业(二)1.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( ) A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个棱柱 答案 B2．用一个半径为2 cm 的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C.12 cm D.32cm 答案 A3．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．2∶1 D ．4∶1 答案 B4．如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是( )答案 B5．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°而形成的曲面所围成的几何体是( ) A ．球体 B ．圆柱C ．圆台D ．两个共底的圆锥答案 D6.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上( ) A ．快、新、乐 B ．乐、新、快 C ．新、乐、快 D ．乐、快、新 答案 A7．如图所示是一个正方体的表面展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )答案 B解析在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面都有一条直线，当折成正方体后，这三条直线应该相互平行，故A，C错误；又D中正方体的三个面内都没有图形，与展开图矛盾，故D错误．所以B正确．8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案圆柱9．用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．答案12或3210．圆锥的底面半径为1，母线长为4，将圆锥沿一母线剪开去掉底面，把侧面展开铺平，则得到的是一个________形，其圆心角度数为________．答案扇π211．分别将圆柱、圆台去掉两底，沿一母线剪开，展平得到的平面图形依次为________、________．答案矩形扇环12．如图，从半径为6 cm的圆形纸片上剪去一个圆心角为120°的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为________ cm.答案2 5解析设圆锥底面圆的半径为r cm，根据题意为2πr＝6×240π180，解得r＝4，所以这个圆锥的高为62－42＝25(cm)．13．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为________．答案一个圆锥，一个圆柱挖去一个圆锥14．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析(1)O1A1＝2 cm，OA＝5 cm，∴h＝122－32＝315 cm.(2)由SA－12SA＝25，得SA＝20 cm.►重点班·选做题15.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，在长方体表面上由A 到C1的最短距离是________．答案3 216．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H相对的字母是________．答案O解析正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母H，E，O，p，d，因此只能是标有“p”与“d”的面是一个面，p与d是一个字母．翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d，则O为正下面，所以与H相对的是O.17．如下图，甲为一几何体的展开图，乙为正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)沿图甲中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图；(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙中的棱长为6 cm 的正方体ABCD-A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．(用字母表示)解析(1)底面为正方形的四棱锥(如下图)．(2)需3个；A1-ABCD，A1-CDD1C1，A1-BCC1B1.1.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱答案 C解析空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A，B，D.所以选C.2.如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单几何体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体答案 D解析三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体．3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为()A．2πB．πC．2 D．1答案 C解析由题意知，圆柱的底面圆的直径为2，母线长为1，所以其轴截面的面积为2×1＝2.4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿三棱锥的表面绕一周，再回到A点，问蚂蚁经过的最短路程是________．答案2 2解析将三棱锥P-ABC的侧面沿PA剪下，再展开，得五边形PABCA′，如图(1)．∵在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，∴图(1)中∠A′PA＝3×30°＝90°.连接AA′.在Rt△AA′P中，AA′＝PA2＋PA′2＝2 2.如图(2)，再将此展开图围成三棱锥P-ABC的侧面，得到折线AD－DE－EA.∵AA′＝AD＋DE＋EA′，∴蚂蚁从A点出发，沿AD－DE－EA的路线行走，即为回到A点的最短路线．因此，蚂蚁从A点出发，回到A点的最短路程为2 2.5.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解析(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．(3)以CD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．(4)以AD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．。
新课标版数学选修2-2单元卷1高考调研精讲精练
第一章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知f(x)的定义域为R ，f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则( )A ．f(x)在x ＝1处取得极小值B ．f(x)在x ＝1处取得极大值C ．f(x)是R 上的增函数D ．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 答案 C解析 由导函数f′(x)的图像知，在R 上f′(x)≥0恒成立，故f(x)是R 上的增函数，选C. 2．设f(x)在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f （x 0＋3Δx ）－f （x 0）Δx＝1，则f′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D3．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( ) A ．x ＋y ＝0B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非答案 D4．已知函数f(x)＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜32答案 A解析 因为函数f(x)＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f′(x)＝2x 3－6x 2.令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m －272.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[0，π2)∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．(π2，34π]答案 B6．在区间[12，2]上，函数f(x)＝x 2＋px ＋q 与g(x)＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8 D ．4答案 D7．函数f(x)＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π3，2π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫0，π3D.⎝⎛⎭⎫－π6，π6 答案 A解析 f(x)＝cos 2x －cosx －1，∴f ′(x)＝－2sinx·cosx ＋sinx ＝sinx·(1－2cosx)． 令f′(x)>0，结合选项，选A.8．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f(x)是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A9．若a>2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根 答案 B解析 设f(x)＝13x 3－ax 2＋1，则f′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)，当x ∈(0，2)时，f ′(x)<0，f(x)在(0，2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a<0， f(x)＝0在(0，2)上恰好有一个根，故选B.10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1 s 末 B ．0 sC ．4 s 末D ．0，1，4 s 末答案 D11．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f(x)dx 等于( )A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎛02f(x)dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x)dx ＝⎪⎪13x 310⎪⎪＋（2x －12x 2）21＝13＋(4－2－2＋12)＝56，故选C. 12．若函数f(x)＝sinx x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sinx 1x 1，b ＝sinx 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定答案 A解析 f′(x)＝xcosx －sinxx 2，令g(x)＝xcosx －sinx ，则g ′(x)＝－xsinx ＋cosx －cosx ＝－xsinx.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0，1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上是减函数，得a>b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________．答案 23解析 f′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f′(1)＝23.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sinx ，设a ＝f(1)，b＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________． 答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f′(x)＝1＋cosx ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b. 15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2，4)，且⎠⎛01f(x)dx ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2，4)，所以有b ＝4－2a. ∴⎠⎛1f(x)dx ＝⎠⎛01(ax ＋4－2a)dx ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1. ∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16．函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________． 答案 21解析 ∵y′＝2x ，∴过点(a k ，a k 2)处的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1，0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛1－k (x －x 2－kx)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k)3.又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18．(12分)已知函数f(x)＝x 4－4x 3＋ax 2－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2)上单调递减． (1)求a 的值；(2)若点A(x 0，f(x 0))在函数f(x)的图像上，求证：点A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上．解析 (1)由函数f(x)＝x 4－4x 3＋ax 2－1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2)单调递减， ∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0.又f′(x)＝4x 3－12x 2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x 0，f(x 0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x 0，f(x 0))， f(2－x 0)＝(2－x 0)4－4(2－x 0)3＋4(2－x 0)2－1 ＝(2－x 0)2[(2－x 0)－2]2－1 ＝x 04－4x 03＋ax 02－1＝f(x 0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求常数a ，b ；(2)试判断x ＝－2，x ＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由． 解析 f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.(1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4)＝3x 2－6x －24，也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20．(12分)设f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)e －x ，求函数g(x)的极值． 解析 (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.因为⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝2a ，f ′（2）＝－b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝2a ，12＋4a ＋b ＝－b ，所以a ＝－32，b ＝－3，所以f(x)＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x)＝3x 2－3x －3＝3(x 2－x －1)．因为f(1)＝－52，切点坐标为(1，－52)，切线的斜率k ＝f′(1)＝－3，所求切线方程为y ＋52＝－3(x －1)，即3x ＋y －12＝0.(2)g(x)＝f′(x)e －x ＝3(x 2－x －1)e －x ，g ′(x)＝3(2x －1)e －x ＋3(x 2－x －1)(－e －x ) ＝－3x(x －3)e －x .令g′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. x ，g ′(x)，g(x)的变化情况如表：g(x)极小极大－.21．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R )，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数． (1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．解析 (1)由题意得f′(x)＝3ax 2＋2x ＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x ，有a(－x)3＋(3a ＋1)(－x)2＋(b ＋2)(－x)＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b＝0，因此f(x)的解析式为f(x)＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g(x)＝－13x 3＋2x ，所以g′(x)＝－x 2＋2.令 g′(x)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x<－2或x>2时，g ′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x<2时， g ′(x)>0，从而g(x)在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43.因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43. 22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a 的取值范围．分析 解答本题，应先正确求出函数f(x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解． 解析 (1)f′(x)＝a ax ＋1－2（1＋x ）2＝ax 2＋a －2（ax ＋1）（1＋x ）2，∵f(x)在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，即a·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f′(x)＝ax 2＋a －2（ax ＋1）（1＋x ）2，∵x ≥0，a>0，∴ax ＋1>0.①当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)． ②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x>2－aa. 由f′(x)<0，解得x<2－aa.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。
新课标版数学选修2-1作业1高考调研精讲精练
课时作业(一)1．以下语句中：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④集合{x|x2＋1＝0}是空集吗？命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3答案 B解析①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．2．已知集合A＝{x|x2<2}，若a∈A是真命题，则a的取值范围是()A．a< 2 B．a>－ 2C．－2<a< 2 D．a<－2或a> 2答案 C解析∵a∈A是真命题，故a2<2.∴－2<a< 2.3．下列命题中为假命题的是()A．若a>0，则2a>1B．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列答案 C解析对于A，由指数函数y＝2x的性质可知，当a>0时，2a>1，故A为真命题；对于B，∵x2≥0，y2≥0对任意实数x，y恒成立，∴当x2＋y2＝0时，一定有x＝y＝0，故B为真命题；对于C，当b2＝ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不成等比数列，故C为假命题；对于D，当a＋c＝2b时，一定有b－a＝c－b，则a，b，c成等差数列，故D为真命题．故选C.4．用p和q分别表示原命题的条件和结论，下面关于四种命题形式的说法不正确的是() A．原命题：若p，则q B．逆命题：若q，则pC．否命题：若綈p，则q D．逆否命题：若綈q，则綈p答案 C解析C项中，否命题应该是“若綈p，则綈q”．5．命题“若p，则綈q”的逆否命题是()A．若p，则q B．若綈p，则qC．若q，则綈p D．若綈q，则綈p答案 C6．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题答案 A7．命题“若x>y，则x2>y2”的否命题是()A．若x≤y，则x2>y2B．若x>y，则x2<y2C．若x≤y，则x2≤y2D．若x<y，则x2<y2答案 C解析否命题是条件、结论一齐否．8．下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0.∴m<－14≤0.真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．真命题．故正确的命题为①③④.故选B.9．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④10．“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是________．答案若xy≠0，则x，y都不为011．“若a＋5是有理数，则a是无理数”的逆否命题为________，是________命题．(填“真”或“假”)答案若a不是无理数，则a＋5不是有理数真12．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．(2)命题“两个奇数之和一定是偶数”的否命题是“________________________”．(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．答案(1)若一个三角形的两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形(2)若两个数不都是奇数，则它们的和不一定是偶数(3)四个角不全相等的四边形不是正方形13．给出下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，它是假命题．②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，它是真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，它是真命题．14．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等；(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q ：对应角相等．(2)若a>1，则函数y ＝a x 是增函数． 条件p ：a>1，结论q ：函数y ＝a x 是增函数．15．已知A ：5x －1>a ，B ：x>1，若利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”是真命题，求a 的取值范围．解析 若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若5x －1>a ，则x>1”，由命题为真命题知1＋a5≥1，即a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x>1，则5x －1>a ”， 由命题为真命题知1＋a5≤1，即a ≤4.故任取一个实数a 均可利用A ，B 构造出一个真命题．16．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)如果两圆外切，那么圆心距等于两圆半径之和； 逆命题： 否命题： 逆否命题：(2)奇数不能被2整除． 逆命题： 否命题： 逆否命题：解析 (1)逆命题：如果圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切．真命题． 否命题：如果两圆不外切，那么圆心距不等于两圆半径之和．真命题． 逆否命题：如果圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切．真命题． (2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数．假命题． 否命题：不是奇数的数能被2整除．假命题． 逆否命题：能被2整除的数不是奇数．真命题．1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b答案 D解析原命题的条件是a＝－b，结论是|a|＝|b|，所以逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b. 2．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B答案 A4．(2015·山东)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析由原命题和逆否命题的关系可知D项正确．5．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”答案 B解析其逆命题是“若一个数的相反数是正数，是它是负数”．6．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D解析A项应写成“若p，则q”的形式；B项是命题；C项是假命题；当a>4时，Δ＝16－4a<0，∴方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题．故选D.7．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析由题意知集合M不是集合P的子集，故②、④正确．故选B.8．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是________．答案若A⃘B，则A∩B≠A9．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．答案若a≤b，则2a≤2b－110．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案若a>0，则a>1若a≤0，则a≤111．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．答案若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除．12．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．答案a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)真13．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若x＋y<5，则x<2或y<3；(2)命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．解析(1)逆命题：若x<2或y<3，则x＋y<5.假命题．否命题：若x＋y≥5，则x≥2且y≥3.假命题．逆否命题：若x≥2且y≥3，则x＋y≥5.真命题．(2)逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d.假命题．否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c ≠b ＋d.假命题． 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等．真命题． 依据四种命题之间的关系，因为原命题正确，所以逆否命题正确，因为逆命题为假，所以否命题为假．14．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若b 2－4ac>0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根； (2)若x －y ＝0，则(x －y)(x ＋y)＝0.解析 (1)逆命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac>0； 否命题：若b 2－4ac ≤0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有两个不相等的实根； 逆否命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有两个不相等的实根，则b 2－4ac ≤0. (2)逆命题：若(x －y)(x ＋y)＝0，则x －y ＝0； 否命题：若x －y ≠0，则(x －y)(x ＋y)≠0； 逆否命题：若(x －y)(x ＋y)≠0，则x －y ≠0. 15．设p(x)：2x >x 2.试问： (1)p(5)是真命题吗？ (2)p(－1)是真命题吗？(3)x 取哪些整数值时，p(x)是真命题？解析 (1)∵25＝32，52＝25，∴25>52是真命题． (2)∵2－1＝12，(－1)2＝1，∴2－1>(－1)2不是真命题．(3)如图所示，由22＝22，24＝42及(1)(2)，得x ∈{0，1}∪{x|x ≥5且x ∈Z }时，2x >x 2，即p(x)为真命题．16．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)解析(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0.p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．17．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解析(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数是奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．。
新课标版数学选修2-1单元卷4高考调研精讲精练
综合检测卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x>1，则lgx>0”的否命题是( ) A ．若lgx>0，则x>1 B ．若x ≤1，则lgx>0 C ．若x ≤1，则lgx ≤0 D ．若x<1，则lgx<0答案 C2．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ex 0≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2C ．双曲线x 2－y 2＝1的离心率为22D ．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x 答案 D3．(2019·天津，理)设x ∈R ，则“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 化简不等式，可知0<x<5推不出|x －1|<1；由|x －1|<1能推出0<x<5，故“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的必要不充分条件．故选B.4．∀k ∈R ，方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线 D ．抛物线答案 D5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B6．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案 B解析 椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32 D.54 答案 B8．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 答案 D解析 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·（2，－2，－3）＝0，（x ，y ，z ）·（4，0，6）＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3z ＝0，4x ＋6z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－23x ，令x ＝1，则n ＝(1，2，－23)，AD →＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD →·n ||n |＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.9.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为( ) A.427 B.77 C.33D.63答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，3y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)． cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B. 10．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16答案 D解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.故选D.11．(2019·课标全国Ⅰ，理)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)可知c ＝1，又∵|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，可设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝|AB|＝3m ，根据椭圆的定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝m ＋3m ＝2a ，得m ＝12a ，所以|BF 2|＝12a ，|AF 2|＝a ，可知A(0，－b)，根据相似可得B(32，12b)代入椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.12.P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM ，PN ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为( ) A ．60° B ．70° C ．80° D ．90°答案 D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设命题p ：∀a>0，a ≠1，函数f(x)＝a x －x －a 有零点．则綈p ：________． 答案 ∃a>0，a ≠1，函数f(x)＝a x －x －a 没有零点解析 全称命题的否定为特称命题，故綈p ：∃a>0，a ≠1，函数f(x)＝a x －x －a 没有零点．14.在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________． 答案 23a －13b ＋23c .解析 PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋PC →－PB →]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .15．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，直线m 的方向向量为b ＝(2，1，－12)，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量为a ＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n 1＝(0，1，3)，n 2＝(1，0，2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n ＝(1，u ，t)是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中是真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 答案 ①④解析 ∵a ＝(1，－1，2)，b ＝(2，1，－12)，则a ·b ＝1×2－1×1＋2×(－12)＝0，则a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，故①正确；a ＝(0，1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，则a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，故②错误；∵n 1＝(0，1，3)，n 2＝(1，0，2)，∴n 1或n 2不共线，∴α∥β不成立，故③错误；∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴AB →＝(－1，1，1)，BC →＝(－1，1，0)，∵向量n ＝(1，u ，t)是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，解得u ＋t ＝1，故④正确．综上所述，其中真命题是①④. 16．(2019·课标全国Ⅰ，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 由F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0知A 是BF 1的中点，F 1B →⊥F 2B →，又O 是F 1F 2的中点，所以OA 为中位线且OA ⊥BF 1，所以OB ＝OF 1，因此∠F 1OA ＝∠BOA ，又根据两渐近线对称，∠F 1OA ＝∠F 2OB ，所以∠F 2OB ＝60°，e ＝1＋（ba）2＝1＋tan 260°＝2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，若命题p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 解析 若p 真，则有9－m>2m>0，即0<m<3.若q 真，则有m>0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m<5.若p ，q 中有且只有一个为真命题，则p ，q 一真一假． ①若p 真，q 假，则0<m<3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52；②若p 假，q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m<5，即3≤m<5.故实数m 的取值范围是(0，52]∪[3，5)．18．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T(3，0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解析 (1)证明：令直线l 与抛物线两个交点A ，B 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由于直线l 过点T(3，0)，从而有TA →∥TB →，再有TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)． 可得(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.由于交点A ，B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2，代入上式，得y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)(y 1y 22＋3)＝0.显然交点A ，B 的纵坐标不可能相等，只有y 1y 22＋3＝0，∴y 1y 2＝－6.同时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 22)2＋y 1y 2＝9－6＝3.所以命题为真命题．(2)逆命题为：“如果OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T(3，0)”．由于交点A ，B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 22)2＋y 1y 2＝3.可得y 1y 2＝2或y 1y 2＝－6.又TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)，若TA →∥TB →，则(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0. 而x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)(y 1y 22＋3)．显然当y 1y 2＝－6时使得“直线l 过点T(3，0)”． 而当y 1y 2＝2时“直线l 不过点T(3，0)”． 所以该命题是假命题．19．(12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223.解析 (1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ， AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD.又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE. 因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE.(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设h 为点p 到平面ABCD 的距离．则A(0，0，0)，F(2，2，0)，C(2，0，2)，P(1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，m ·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，n ·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h)．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h|3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.20．(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的正切值大小．解析 方法一：(1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以AB ⊥AA 1.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， 所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， 所以AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1， 所以AB ⊥A 1C.(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD. 因为AB ⊥A 1C ， 所以A 1C ⊥平面ABD ， 所以BD ⊥A 1C ，所以∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62，在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， 所以二面角A －A 1C －B 的正切值为63. 方法二：(1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， 所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC. 如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A 1(0，0，3)， 所以AB →＝(1，0，0)，A 1C →＝(0，3，－3)． 因为AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， 所以AB ⊥A 1C.(2)取m ＝AB →＝(1，0，0)为平面AA 1C 1C 的法向量． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·A 1C →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，所以x ＝3y ，y ＝z.令y ＝1，则n ＝(3，1，1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3×1＋1×0＋1×0（3）2＋12＋12×12＋02＋02＝155， 所以sin 〈m ，n 〉＝1－（155）2＝105，所以tan 〈m ，n 〉＝63. 所以二面角A －A 1C －B 的正切值为63.21．(12分)已知定点F(1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|. (1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解析 (1)y 2＝4x(x>0)．(2)设l 与抛物线交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB|＝42<46，不合题意． 故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k ≠0)， 则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x(x>0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk＝－8，b ＝－2k. ∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB|2＝1＋k 2k 2(16k 2＋32)． ∵46≤|AB|≤430， ∴96≤1＋k 2k 2(16k2＋32)≤480.解得直线l 的斜率取值范围为[－1，－12]∪[12，1]．22．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解析 (1)若△POF 2为等边三角形，则P 的坐标为(c 2，±32c)，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b 2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1. (2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥4 2.1．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝22，AA 1＝4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则三棱锥B 1－EFD 1的体积为( )A.66B.1633C.163D ．16 答案 C2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e.设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案 [3－1，1)解析 设A(m ，n)，则B(－m ，－n)，k ＝n m， 因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n)，BF 1→＝(1＋m ，n)，所以(1－m)(1＋m)－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1， 于是有m 2a 2＋n 2b2＝m 2＋n 2， 从而1a 2－11－1b2＝n 2m 2＝k 2 ≤3， 即1a 2＋3b2≥4， 将b 2＝a 2－1代入，并整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32， 又a>c ＝1，所以4－23≤1a2<1， 即3－1≤e<1.3.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点．(1)求二面角O 1－BC －D 的大小；(2)求点E 到平面O 1BC 的距离．解析 (1)∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB.又OA ⊥OB ，建立如图所示的空间直角坐标系．∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB ＝60°的菱形，∴OA ＝23，OB ＝2.则A(23，0，0)，B(0，2，0)，C(－23，0，0)，O 1(0，0，3)．∴O 1B →＝(0，2，－3)，O 1C →＝(－23，0，－3)． 设平面O 1BC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1⊥O 1B →，n 1⊥O 1C →.∴⎩⎪⎨⎪⎧2y －3z ＝0，－23x －3z ＝0， 令z ＝2，则x ＝－3，y ＝3，∴n 1＝(－3，3，2)．而平面AC 的一个法向量为n 2＝(0，0，3)，∴cos 〈n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63×4＝12. 设二面角O 1－BC －D 的大小为α.∴cos α＝12，∴α＝60°. 故二面角O 1－BC －D 的大小为60°.(2)设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，∵E 是O 1A 的中点，∴EO 1→＝(－3，0，32)． 则d ＝|EO 1→·n 1||n 1|＝|（－3，0，32）·（－3，3，2）|（－3）2＋32＋22＝32. ∴点E 到平面O 1BC 的距离为32. 4．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D.(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析 (1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C.(2)设点F 是A 1C 1的中点，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B.又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B.又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6， ∴D(0，0，0)，A(0，1，0)，A 1(3，0，0)，B(0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z)，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)＝(32，－1，32)． 由m ⊥DE →，得(x ，y ，z)·(32，－1，32)＝0⇒32x －y ＝0. 令x ＝1，得y ＝32，∴m ＝(1，32，0)． ∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)单元卷3高考调研精讲精练
第三章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．若直线l 的斜率为－3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案 C解析 设倾斜角为α，则tan α＝－3，又∵0°≤α<180°，∴α＝120°.2．如图所示，已知M(1，0)，N(－1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段MN 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[－12，12]D ．[0，2]答案 A3．若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 答案 A解析 直线BC 的方程为x a ＋y b ＝1，又A 在直线BC 上，∴2a ＋2b ＝1，∴1a ＋1b ＝12.4．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A ．(－16，12)B ．(12，－16)C ．(12，16)D ．(16，－12)答案 B解析 由已知得a ＝1－2b ，代入直线ax ＋3y ＋b ＝0，得(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0，即b(1－2x)＋3y ＋x ＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＝0，3y ＋x ＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16.所以此直线必过定点(12，－16)．5．两条直线x －2y ＋3＝0和2x －y ＋3＝0关于直线x －ay ＝0对称，则实数a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2答案 B解析 由已知得两直线的交点在x －ay ＝0上，又⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，代入得a ＝－1.6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0答案 A解析 设P(2，y 0)，因为P 点在直线x －y ＋1＝0上，所以y 0＝3，故P(2，3)，又因为|PA|＝|PB|，所以两直线斜率互为相反数，故k PB ＝－1，由点斜式方程，得直线PB 方程为y －3＝－1(x －2)，即x ＋y －5＝0.7．△ABC 的顶点为A(7，－1)，B(－1，5)，C(2，1)，则AB 边上中线长是( ) A ．6 B.113 C ．413 D. 2答案 D8．点P 为y 轴上一点，且点P 到直线3x －4y ＋3＝0的距离等于1，则点P 的坐标为( ) A ．(0，12)B ．(0，2)C ．(0，－12)或(0，2)D ．(0，12)或(0，－2)答案 C解析 依题意，设P(0，y 0)，则d ＝|－4y 0＋3|32＋（－4）2＝1，即|4y 0－3|＝5，解得y 0＝－12或2，所以点P 的坐标为(0，－12)或(0，2)．故选C.9．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23答案 B解析 依题意，设点P(a ，1)，Q(7，b)，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋72＝1，1＋b 2＝－1，解得a ＝－5，b＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.选B.10．等腰直角三角形△ABC 的直角顶点为C(3，3)，若点A 的坐标为(0，4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2，0)或(4，6) B ．(2，0)或(6，4) C ．(4，6) D ．(0，2) 答案 A解析 设B(x ，y)，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC|＝|AC|，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，（x －3）2＋（y －3）2＝（0－3）2＋（4－3）2.整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，所以B(2，0)或B(4，6)．11．两直线l 1：ax ＋by ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若直线l 1，l 2同时平行于直线l ：x ＋2y ＋3＝0，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝32，b ＝－3B ．a ＝23，b ＝－3C ．a ＝32，b ＝3D ．a ＝23，b ＝3答案 C解析 将直线的方程都化为斜截式l 1：y ＝－ab x ，l 2：y ＝(1－a)x －b ，l ：y ＝－12x －32.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a b ＝－12，1－a ＝－12，b ≠32，∴a ＝32，b ＝3.12．一束光线从点M(5，3)射出，与x 轴正方向成α角，遇x 轴后反射，若tan α＝3，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －18 B ．y ＝－3x －12 C ．y ＝3x ＋12 D ．y ＝－3x ＋18答案 A解析 由光学原理知，反射光线与入射光线的倾斜角互补，由题意知反射光线与x 轴正方向成α角且tan α＝3，则反射光线所在直线的斜率为3，且反射光线经过点M(5，3)关于x 轴的对称点M ′(5，－3)，则反射光线所在直线的点斜式方程为y －(－3)＝3(x －5)，即y ＝3x －18.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．把直线3x －y ＋2＋3＝0绕点(－1，2)旋转30°，所得到的直线方程是________． 答案 x ＋1＝0或x －3y ＋23＋1＝0解析 直线3x －y ＋2＋3＝0的倾斜角为60°，且过点(－1，2)， 当直线逆时针旋转30°时，倾斜角为90°，直线方程为x ＋1＝0； 当直线顺时针旋转30°时，倾斜角为30°，斜率为33，直线方程为y －2＝33(x ＋1)，即x －3y ＋1＋23＝0.综上，所求直线方程为x ＋1＝0或x －3y ＋23＋1＝0. 14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为（3t ）2＋（4t ）2＝1，解得t ＝±15.15．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则x 2＋y 2的最小值等于________． 答案6013解析 ∵x 2＋y 2表示直线上任一点到原点的距离，∴由几何意义知x 2＋y 2的最小值即为原点到直线5x ＋12y ＝60的距离，d ＝6025＋144＝6013. 16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________． 答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x ≥a ，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12.三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)根据下列条件求出直线l 的方程． (1)在x 轴上的截距为－2，在y 轴上的截距为－3； (2)经过A(－5，2)，且横、纵截距相等． 答案 (1)3x ＋2y ＋6＝0； (2)x ＋y ＋3＝0或2x ＋5y ＝0.18．(12分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程． 解析 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0.当y ＝0时，x ＝－m 3.当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪⎪－m 4＝24.∴m ＝±24. ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.19．(12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0. (1)若l 1与l 2交于点P(m ，－1)，求m ，n 的值；(2)若l 1∥l 2，试确定m ，n 需要满足的条件； (3)若l 1⊥l 2，试确定m ，n 需要满足的条件． 解析 (1)将点P(m ，－1)分别代入两条直线方程得 m 2－8＋n ＝0和2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7. (2)由l 1∥l 2，得m 2－8×2＝0⇒m ＝±4.又两直线不能重合，所以8×(－1)－nm ≠0，对应得n ≠∓2， 所以当m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当m ＝0时，直线l 1：y ＝－n 8和l 2：x ＝12，此时l 1⊥l 2；当m ≠0时，此时两直线的斜率之积等于14，显然l 1与l 2不垂直，所以当m ＝0，n ∈R 时直线l 1和l 2垂直．20．(12分)在△ABC 中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．解析 (1)设C(x 0，y 0)，则AC 中点M(5＋x 02，y 0－22)，BC 中点N(7＋x 02，y 0＋32)．∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，∴x 0＝－5.∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，∴y 0＝－3.即C(－5，－3)．(2)∵M(0，－52)，N(1，0)．∴由截距式得，直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.21．(12分)已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线方程．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴正方形中心的坐标为(－1，0)． 设正方形相邻两边方程为 x ＋3y ＋m ＝0或3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等，∴|－1＋m|10＝|－1－2|12＋32＝310，|－3＋n|10＝310.∴m ＝4或m ＝－2，n ＝6或n ＝0. ∴其余三边方程为x ＋3y ＋4＝0，3x －y ＝0，3x －y ＋6＝0.22．(12分)已知△ABC 的顶点A 在坐标原点，AB 边上的高所在直线方程为3x －y －9＝0，AC 边上的中线所在直线方程为x ＋2y －4＝0，求点B 与点C 的坐标．解析 过点A(0，0)且与3x －y －9＝0垂直的直线方程为y ＝－13x ，它为直线AB 的方程．直线AB 与x ＋2y －4＝0的交点即为B 点． ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ，x ＋2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－4，即B(12，－4)．设点C(x 0，y 0)，点C 在直线3x －y －9＝0上，AC 中点在直线x ＋2y －4＝0上，AC 中点为(x 02，y 02)， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3x 0－y 0－9＝0，x 02＋2·y 02－4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝267，y 0＝157.故点C 的坐标为(267，157)．。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业15高考调研精讲精练
课时作业(十五)(第一次作业)1．直线a是平面α的斜线，过a且和α垂直的平面有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案 B2．给定下列四个命题①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平行也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所示的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．面ABC⊥面ADC B．面ABC⊥面ADBC．面ABC⊥面DBC D．面ADC⊥面DBC答案 D5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平面PBD垂直于()A．平面A1BD B．平面D1BDC．平面PBC D．平面CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC 所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角MACB的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与底面ABC所成的角为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D.又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥面BB1C1C.又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；(2)求证：平面SAC⊥平面ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC，又∵BD⊂平面SBD，∴平面SAC⊥平面SBD.(2)由(1)知BD⊥平面SAC，BD⊂平面ABCD，∴平面SAC⊥平面ABCD.12.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平面ABC，∴平面EAC⊥平面ABC.∴MN⊥平面ABC，又BN⊂平面ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，又CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平面AEC ，∴DM ⊥面EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM ⊂面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ECA.(3)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM ⊂面ADE ， ∴平面DEA ⊥平面ECA.13．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE.证明 如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，又BN ＝NE ， ∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，又A ′N ⊂平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE. 又A ′N ⊂平面A′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE.课时作业(十五)(第二次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析 面面垂直的证明主要是找线面垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考生根据判定定理进行直接选择，相对较为基础．如果采用排除法，思维量会增加．2．在正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC答案 C解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平面PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE.故B 正确．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC.故D 正确．∴选C.3．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则△ABC 是( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案 A4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点， ∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1-BD-A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平面有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.同理，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC.共有5对平面互相垂直．故选D.6．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定答案 D解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H-DG-F的大小不确定．故选D.7．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，又∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，又AE⊂平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．∵∠BAC＝90°，∴二面角的大小为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是这长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V ABC的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°.10．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1EFC的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD.又∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小．解析(1)证明：如图所示，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P 的大小为60°.1.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．答案3 4解析如图所示，过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由线面垂直判定定理可知l⊥平面ACD，则l⊥AD，故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，即∠ADC＝60°.又∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在几何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，AE ＝MC.(1)求证：平面BCD ⊥平面CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC.证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平面ABD.∴MC ⊥AM.又MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平面CBD.又MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平行四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平面CBD ，又EC ⊂平面CDE ，∴平面BCD ⊥平面CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE.由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平面AMN ∥平面BEC.3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA.(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之比．解析 (1)证明：因为MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA.所以PD ⊥平面ABCD.又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正方形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。
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第一章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面答案 C2．如图所示的直观图的原平面图形是()A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形答案 B3．一个正方体的体对角线长为l，那么这个正方体的全面积为() A．22l2B．2l2C．23l2D．32l2答案 B解析设正方体棱长为a，则l＝3a，∴a＝3 3l.S＝6a2＝2l2.故选B.4．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()答案 D5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．6C．快D．乐答案 B解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是6.6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.32π D.3π答案 C解析 方法一：如图①，AD ＝62，AO ＝23AD ＝63，SO ＝SA 2－AO 2＝233.∴R 2＝(23 3－R)2＋(63)2，∴R ＝32.球的体积为43πR 3＝43π×(32)3＝32π.方法二：构造棱长为1的正方体如图②，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为32π. 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a ，则它的底面积为( ) A.a 5 B.a 3 C.a 2 D.a 4答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则2πr ＝l·π2，故l ＝4r ，由题意知πrl ＋πr 2＝a ，所以πr 2＝a5.8．如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶1 D ．1∶1 答案 A解析 设球的半径为r ，则S 柱∶S 球＝[2πr 2＋2πr ·(2r)]∶4πr 2＝3∶2.故选A.9．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2，一个平行底面的截面面积为25 cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 将圆台扩展为圆锥，轴截面如图． 由题知，r 1∶r 3＝1∶7，r 2∶r 3＝5∶7， ∴h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1，∴h 3＝2h 1，∴这个截面与上、下底面距离比为2∶1.故选A.10．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．434π D ．832π 答案 C解析 大球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32，所以大球的表面积为4π(32)2＝434π.故选C.11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 答案 A解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 12.如图所示，已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N)，则图中阴影部分绕直线C 旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A.33π B.5327π C.4327π D.539π答案 B解析 设半圆的半径OC ＝OM ＝r ，AO ＝OM sin30°＝2r ，则AC ＝AO ＋OC ＝3r ＝3，∴r ＝33，故旋转体的体积为V ＝13×3(π×12)－4π3×(33)3＝5327π.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________．(铁皮厚度忽略不计)． 答案15π3解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l 等于正方形的边长4，扇形的弧长＝14×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π，所以r ＝1，所以h ＝l 2－r 2＝15，所以圆锥的容积为13πr 2h ＝15π3.14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为________． 答案 43π 解析 2R ＝（62×2）2＋（6）2＝23，∴R ＝3，V 球＝43πR 3＝43π. 15．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________ cm. 答案 616.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________． 答案 32 32解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4π3R 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32.∵S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，圆锥SAB 的底面半径为R ，母线长SA ＝3R ，D 为SA 的中点，一个动点自底面圆周上的A 点沿圆锥侧面移动到D.求这点移动的最短距离． 解析 如图，圆锥侧面展开为扇形，对应的弧长为底面周长2πR ，动点移动的最短距离为AD. 设∠ASD ＝α，则2πR ＝3R·α ∴α＝23π.在△SAD 中由余弦定理得：AD 2＝SA 2＋SD 2－2SA·SD·cos α＝634R 2∴AD ＝372R.18．(12分)正方体的每条棱长都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，求此正方体的棱长．解析 利用待定系数法求解．设出正方体的棱长，根据体积扩大为原来的8倍列方程，解方程得正方体的棱长．设正方体的棱长为a cm ，由题意，得(a ＋1)3＝8a 3，解得a ＝1，即此正方体的棱长为1 cm. 19．(12分)如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解析 该四边形的原图形，如下图所示．这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图面积为2 2. 20．(12分)已知六棱锥P-ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P-ABCDEF 的表面积和体积． 解析 先求底面正六边形的面积，S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2sin60°＝63cm 2，S 侧面＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－（CD2）2＝632－12＝122cm 2，∴S P-ABCDEF ＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122) cm 2. 在Rt △POC 中， PO ＝PC 2－OC 2＝PC 2－BC 2＝9－4＝ 5 cm ，∴V 六棱锥P-ABCDEF ＝13Sh ＝13×63×5＝215 cm 3.21．(12分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积． 因为S 半球面＝12×4π×22＝8π cm 2，S 圆台侧＝π(2＋5)（5－2）2＋42＝35π cm 2，S 圆台下底＝π×52＝25π cm 2，所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.又因为V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π cm 3，V 半球＝12×4π3×23＝16π3cm 3，所以该几何体的体积为V 圆台V 半球＝140π3cm 3.22．(12分)如图，是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1 cm ，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 解析 (1)对； (2)对；(3)由题意知，以平面B 1CD 1为水平面，可盛最多体积的水，此时V 水＝V C 1-B 1D 1C ＝V C-B 1C 1D 1＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)． ∴最多能盛16cm 3的水．1．在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为( ) A. 3 B. 2 C.62D.33答案 A解析 如图，设正方体的棱长为a ，则正四面体AB 1D 1C 的所有棱长均为2a.正方体的表面积S 1＝6a 2，正四面体的表面积S 2＝4×34×(2a)2＝23a 2. ∴S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3答案 C解析 设球的半径为R ，则32＋42＝R 2，故R ＝5 cm. 所以球的体积为V ＝43πR 3＝43π×125＝500π3 cm 3.。