《理论力学》第六章作业答案
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[习题6-2] 半圆形凸轮以匀速s mm v /10=沿水平方向向左运动，活塞杆AB 长l 沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆A 端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径mm R 80=，求活塞B 的运动方程和速度方程.
解：活塞杆AB 作竖向平动。以凸轮圆心为坐标原点，铅垂向上方向为x 轴的正向，则由图中的几何关系可知，任一时刻，B 点的坐标，即活塞B 的运动方程为:
)(64)()(cos 2222
2cm t l vt R l R
vt R R l R l x B -+=-+=-⋅+=+=ϕ 活塞B 的速度方程为:
)/(646422122s cm t
t t t dt dx v B B --=--== [习题6-4] 点M 以匀速率u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动。当0=t 时，M 在O 点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。
解: ut r =，t ωϕ=。
设任一瞬时，M 点的坐标为),(y x M ，则点M 的运动方程为：
t ut r x ωϕcos cos ==, t ut r y ωϕsin sin ==
速度方程为：
t t u t u t ut t u t ut dt d
dt dx
v x ωωωωωωωsin cos )sin (cos )cos (-=⋅-+===
t t t u t t u t u v x ωωωωωωcos sin 2sin )(cos 222222
⋅-+=
t t u t u t ut t u t ut dt d
dt dy
v y ωωωωωωωcos sin cos sin )sin (+=⋅⋅+===
t t t u t t u t u v y ωωωωωωcos sin 2cos )(sin 222222
⋅++=
222
2)(t u u v v y x ω+=+
任一瞬时,速度的大小为:
222
2
2)(1)(t u t u u v v v y x ωω+=+=+=
加速度方程为:
)
sin cos (t t u t u dt d
dt dv
a x
x ωωω-==
]cos sin [)sin (ωωωωωωω⋅⋅+⋅-⋅-⋅=t t u t u t u
t t u t u ωωωωcos sin 22--=
t t t u t t u t u a x ωωωωωωωcos sin 4cos )(sin 4322222
222⋅++=
)cos sin (t t u t u dt d
dt dv a y
y ωωω+==
ωωωωωωω⋅-⋅+⋅+⋅⋅=)sin (cos [cos t t u t u t u
t t u t u ωωωωsin cos 22⋅-=
t t t u t t u t u a y ωωωωωωωcos sin 4sin )(cos 4322222
222⋅-+=
2
22222
)(4t u u a a y x ωω+=+
任一瞬时,速度的大小为:
22222
22)(4)(4t u t u u a a a y x ωωωω+=+=+=
[习题6-14] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成如图6-42所示，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。各轮半径分别为ｒ１＝３００ｍｍ，ｒ２＝７５０ｍｍ，ｒ３＝４００ｍｍ。轮Ⅰ的转速为ｎ＝１００ｒ／ｍｉｎ。设带轮与带之间无滑动，试求物块Ｍ上升的速度和带ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ各段上点的加速度的大小。 解：
传速比：
)/(47.1030
14.310060211s rad n =⨯=⨯=πω 4.05
27503002112====r r n n m in)/(401004.04.012r n n =⨯==
)/(187.430
14.34060222s rad n =⨯=⨯=πω )/(1675187.440023s mm r v M =⨯==ω
0==CD AB a a （皮带作匀速度运动）
BC 带：
022===dt
d r dt dv a tBC ω )/(2.13148.13187.475.0222222
2s m r r v a BC nBC ≈=⨯===ω )/(2.132s m a a nBC BC ==
ＤＡ带：
011===dt
d r dt dv a tDA ω )/(9.32887.3247.103.0222112
2s m r r v a DA nDA ≈=⨯===ω )/(9.322s m a a nDA DA ==
[习题6-17] 如图6-45所示，以匀速率ｖ拉动胶片将电影胶卷解开。当胶卷半径减小时，胶卷转速增加。若胶片厚度为δ，试证明当胶卷半径为ｒ时，胶卷转动的角加速度3
2
2r v πδα=。 证明：
设开始时，盘径为0r ，则经过时间t 之后，胶卷盘面积变化为：
vt r r ⋅=-δππ22
0，两边对t 求导得：
v dt
dr r δπ=⋅-2 r
v dt dr πδ2-= 又因为r v ⋅=ω，两边对t 求导得：
dt
dr r dt d ωω+=
0 )2(0r v r v r πδα-⋅+⋅= 3
2
2r v πδα= 本题得证。