清华大学高等数学(上)期末考试试题
2020高数(上学期)期末试题及答案
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得分
考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人
一、填空题(每题2分，共10分)
二、选择题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
得分
评阅人
三、计算题(每题6分，共48分)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
试卷编号：（A）卷
《高等数学(A)Ⅰ》课程(工科本科05级)课程类别：必
闭卷（√）考
五
总分
计分人签名
得分
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或用第一个重要极限
得分
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注：缺C扣1分
得分
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得分
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评阅人
四、综合应用题(每题8分，共24分)
注：如果没有讨论扣1分、解题过程没有交待单位造价扣1分。
得分
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注：若只画图，画对给1分
五、证明题(8分)
得分
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高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
2021年大一高等数学上期末试卷及答案(精华版)
2021年大一高等数学上期末试卷及答案（精华版）一、填空题1、()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.【答案】２2、函数211x y x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 【答案】3 3、定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 【答案】2π 4、()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.【答案】２5、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积. 【答案】38；二、解答题(难度：中等)1、求不定积分⎰+dx x x ln 21 ； 【答案】C x ++ln 22 ；2、求微分方程x y y e x '+=满足初始条件()10y =的特解. 【答案】11()dx dx x x x y e e e dx C -⎰⎰=+⎰ 1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1x x y e x-∴= 3、求不定积分①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰【答案】 ①11ln ||23x C x +++②ln |x C + ③()1x e x C --++ 4、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)（1） 2x y x =+, 求(0)y '. （2） cos xy e =, 求dy .（3） 设x y xy e +=, 求dydx .【答案】（1）221','(0)(2)2y y x ==+（2）cos sin x dy xe dx =-（3）两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+ 'x y x y e y xyy y x e x xy ++--⇒==--5、求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 【答案】12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰ 112242005210(1)(21)228()5315V x dx x x dx x x x ππππ=+=++=++=⎰⎰。
《高等数学》期末测试题及答案(大一上期)
大学一年级《高等数学》期末测试题一、单项选择题（每小题4分，共16分）1．|sin |()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是（ ）。
（A ）奇函数； （B ）周期函数； （C ）有界函数； （D ）单调函数2．当0x →时，2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与（ ）是同阶无穷小量。
（A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2x 3．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是（ ）。
（A ）直线在平面内； （B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。
4．设有三非零向量,,a b c 。
若0, 0a b a c ⋅=⨯=，则b c ⋅=（ ）。
（A ） 0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3二、填空题（每小题4分，共16分）1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为 。
2．20tan lim (1)x x x x x e →-=- 。
3．方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 。
4． 曲线2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 。
三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．已知2sin ()lim ()t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。
2．求不定积分1[ln(ln )]ln x dx x +⎰。
3．计算定积分1241sin (1x x dx x -+⎰。
4．求不定积分1sin 1cos x dx x ++⎰。
5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。
四、（8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且1(0)2f '=-。
求(1)f '。
清华本科期末考试数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的零点个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无法确定2. 下列函数中，不是连续函数的是（）A. y = e^xB. y = sin(x)C. y = |x|D. y = ln(x)3. 设矩阵A = [2 3; 4 5]，则矩阵A的逆矩阵是（）A. [1/2 -3/2; -2 1]B. [1/2 3/2; -2 1]C. [1/2 -3/2; 2 1]D. [1/2 3/2; 2 -1]4. 设函数y = f(x)在区间[0, 2]上连续，且f(0) = 1，f(2) = 3，则函数f(x)在区间[0, 2]上的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 无法确定5. 下列方程组的解是（）A. x + y = 2, 2x - y = 1B. x + y = 2, 2x + y = 1C. x + y = 1, 2x - y = 2D. x + y = 1, 2x + y = 2二、填空题（每题5分，共20分）6. 设函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的顶点坐标是______。
7. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，则|A| = ______。
8. 设函数y = ln(x)，则y的导数y' = ______。
9. 设数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是______。
10. 设函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则y的极值点是______。
三、解答题（每题20分，共80分）11. （20分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的导数f'(x)，并求出f'(x)的零点。
12. （20分）已知矩阵A = [2 1; 3 2]，求矩阵A的行列式|A|，并求出矩阵A的逆矩阵A^-1。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
经济与管理学院《高等数学(一)》第一学期期末考试试题测试卷及参考答案
x ⎩⎰《高等数学（一）》第一学期期末考试试卷本期末试卷满分为80分，占课程总成绩的80,平时成绩占课程总成绩的20。
答题要求：1.请将所有答案统一写在答题纸上，不按要求答题的，责任考生自负。
2.答题纸与试卷一同交回，否则酌情扣分。
试题符号说明：y (n )表示y 的n 阶导数,α~β表示α与β是等价无穷小量。
一.填空题:(满分14分,共7小题,2分/题)1.若f (t )=lim t ⎛1+1⎫2tx⎪,则f '(t )=;x →∞⎝x ⎭2.d ⎰d ⎰f (x )dx =;3.limx →0⎰sin tdt x 2= ；4.设函数y =12x +3,则y (n )(0)=；⎧⎪x =5.设f (t )-π其中f 可导,且f '(0)≠0,则dy=;⎨⎪y =f (x )f (e 3t -1)sin x dx πxf '(x )dx t =06.设有一个原函数，则⎰π＝；27.+∞x 4e -x dx =;二.单项选择题:(满分16分,共8小题,2分/题)1.极限lim x →011的结果是（）2+3x(A)不存在(B)1/2(C)1/5(D)01=⎛1⎫2.当x →∞时,若ax 2+bx +c o ⎪,则a,b,c 之值一定为()x +1⎝⎭x1-x 2⎨0ππcos xdx <2cos xdx =2(A)(C)a =0,b =1,c =1;(B)a ≠0,b,c 为任意常数;(D)⎧f (x )a =0,b =1,c 为任意常数;a,b,c 均为任意常数;3.设函数F (x )=⎪⎪⎩xf (0)x ≠0其中f (x )在x =0处可导,x =0f '(x )≠0,f (0)=0,则x=0是F (x )的（）（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定4.曲线y =1xex2（）（A）仅有水平渐近线;（B）仅有铅直渐近线;（C）既有铅直又有水平渐近线;（D）既有铅直又有斜渐近线;5.设函数f (x )在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示:则f (x )有()(A)一个极小值点和两个极大值点;(B)两个极小值点和一个极大值点;(C)两个极小值点和两个极大值点;(D)三个极小值点和一个极大值点;6.根据定积分的几何意义,下列各式中正确的是()π⎰-⎰π3⎰-π⎰π222（C）⎰sin xdx =0（D）⎰sin xdx =07.设⎰f (x )dx =sin x +C ，则⎰f (arcsin x )dx ＝（）（A）arcsin x +C （C）1(arcsin x )2+C2（B）sin +C（D）x +C1-x2π2π（A）2cos xdx（B）cos xdx⎰⎰2⎨8.当()时,广义积分e -kx dx 收敛-∞(A)k >0(B)k ≥0(C)k <0(D)k ≤0三.计算题(满分24分,共4小题,6分/题)1.设y =arctane x-ln,求x =1⎛1cos 2x ⎫2.求lim 2-2⎪3.求x →0⎝sin x x ⎭2x +5dxx +2x -34.设f (x )=1+1+x 2⎰1f (x )dx ,求⎰1f (x )dx四.(满分11分)⎧x n sin 1x ≠0n 在什么条件下函数f (x )=⎪⎪⎩x,x =0（1）在x =0处连续;（2）在x =0处可微;（3）在x =0处导函数连续;五.（满分10分）设曲线为y =e -x(x ≥0)（1）把曲线y =e -x 、x 轴、y 轴和直线x =ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x 轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积V (ξ),并求a 满足V (a )=1lim V (ξ)2ξ→+∞（2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积e 2x e 2x +1dydx1-x 2六.证明题(满分5分)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又b>a>0,证明,在(a,b)内存在ξ,η使得f'(ξ)=2ηf'(η) +b a22007-2008学年第一学期《高等数学（一）》（309010034）期末考试试题（A 卷）参考答案及评分标准考试对象：2007级经济学工商管理类专业及其他专业本期末试卷满分为80分，占课程总成绩的80,平时成绩占课程总成绩的20。
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)2．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=3．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23 C ．53D ．567．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1608．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误9．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212D ．31210．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A 23B 3C ．223D ．2311．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-12．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)清华大一高数第一学期期末试题1
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）21)(cos lim xx x → =________________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为_________________.（3）已知x x xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f _____________ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 ______________. （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为___________________.二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ ）.(A)()0f x'. (B) ()0f x'-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ ）.(A)(())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .3. 3. 计算不定积分 .4.计算定积分⎰++3011dx xx.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力． 3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()b axf x f x dx'⎰.4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (1) 求D 的面积A;(2) (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V . 五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A)()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A)(())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→. 解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→-------1分 =x x x xx ln 1ln lim1+-→-------2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ -------1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x -------2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）4. 4. 计算不定积分. 222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x --------- --------------- （3分）35)1(323323=++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()b axf x f x dx'⎰.xy222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b baab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(3) (3) 求D 的面积A;(4) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= ----2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 212)(⎰-=π， ----1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ ----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为() 1.xf x e '=-------------------------—————— 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分 所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1xe x ≥+。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则等于()A. B.C.D.2.在的展开式中，x 的系数为()A.10B.C.20D.3.若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为()A.B.C.D.4.已知函数，则下列说法中正确的是()A. B.的图像关于原点对称 C.在定义域内是增函数D.存在最大值5.在中，，则等于() A.B.C.9D.166.已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线AC 与所成角的余弦为()A.B.C.D.7.已知点F 是双曲线C ：的一个焦点，直线l ：，则“点F 到直线l 的距离大于1”是“直线l 与双曲线C 没有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知数列的前n 项和为，满足，则下列结论中正确的是()A. B.C.数列的前n 项和为D.数列是递增数列9.已知直线：恒过定点A ，直线：恒过定点B ，且直线与交于点P ，则点P 到点的距离的最大值为()A.4B.C.3D.210.已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数对应的点到原点的距离是，则实数______.12.已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为______.13.已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为______.14.从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有______个.15.在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”.点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上.在这个定义下，给出下列结论：①若点P的横坐标为，则；②的最大值是；③的最小值是2；④的最小值是，其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。
大一上册期末高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = ln(x)D. f(x) = 1/x2. 函数y = x^3 - 6x + 9的极值点为：A. x = -1B. x = 1C. x = -3D. x = 33. 下列积分中，结果为π的是：A. ∫(0 to π) sin(x) dxB. ∫(0 to π) cos(x) dxC. ∫(0 to π) tan(x) dxD. ∫(0 to π) cot(x) dx4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 2xC. 3x^2 + 2xD. 3x^2 + 35. 下列级数中，收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n)C. ∑(n=1 to ∞) (1/n^3)D. ∑(n=1 to ∞) (n^2)二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x在x=1处的导数值为______。
2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值为______。
3. 若f(x) = x^2 + 1，则f'(x) = ______。
4. 函数y = e^x的导数y' = ______。
5. 级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 的和为______。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x的导数。
2. 求函数y = ln(x^2 + 1)的导数。
3. 计算极限lim(x→∞) (1/x^2 + 1/x^3)。
4. 求函数y = e^(2x)的积分。
四、应用题（每题10分，共20分）1. 一辆汽车以v = 20m/s的速度匀速行驶，当刹车后，每秒减速5m/s，求汽车停止前行驶的距离。
高数上期末试题及答案
高等数学期末及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。
2、当k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x k x x x f x 在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则______=dydx4、曲线x e y x-=在点（0，1）处的切线方程是5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. )0(1ln+→x xB. )1(ln →x xC. )0(cosx→x D. )2(422→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、⎰+∞sin xdx B 、dx e x ⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。
则AMB ∠=A 、3π B 、4π C 、2πD 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 xx x 2sin 24lim-+→ 。
2、求极限 )111(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 12limxdt e xt x ⎰-→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx yd 6、求不定积分 dx x x ⎰+)32sin(127、求不定积分x x exd cos ⎰8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x， 求⎰-2d )1(x x f四、 应用题（本题7分）求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
清华高等数学试题及答案
清华高等数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2x+3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x答案：D4. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C2. 函数y=ln(x)的导数是______。
答案：1/x3. 函数y=sin(x)的原函数是______。
答案：-cos(x) + C4. 函数y=cos(x)的不定积分是______。
答案：sin(x) + C5. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。
答案：0三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的极值点。
答案：首先求导数y'=3x^2-6x，令y'=0，解得x=0或x=2。
然后求二阶导数y''=6x-6，代入x=0和x=2，得到y''(0)=-6<0，y''(2)=6>0，因此x=0是极大值点，x=2是极小值点。
2. 求极限lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案：首先将极限表达式化简为lim(x→1) (x+1)，然后代入x=1，得到极限值为2。
(完整版),期末高等数学(上)试题及答案,推荐文档
1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
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9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )
【清华】2012年大一上微积分期末样卷答案
（a）没有以 2π 为周期的解； （b）只有一个以 2π 为周期的解； （c）任意解都以 2π 为周期。 （II）证明该方程以 2π 为周期的解的个数只能出现上述三种情况之一。
∫ 解：（I）
y
=
x
a(t )dt
e∫0
⎡ ⎢ ⎣
u f (u)du −
1
v
2
f
(v)dv
0
0
∫ ∫ ∫ =
1
x f (x)dx −
1x2 f (x)dx =
1
(
x − x2 ) f (x)dx = 右式。
0
0
0
2.（7 分）设 a(x) 和 b(x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期的连续函数，考虑一阶线性常微分方
程 dy = a(x) y + b(x) 解的情况。 dx
t
x b(t)e−∫0a(s)dsdt
0
+
C
⎤ ⎥
⎦
（a） a(x) = cos x +1,b(x) = cos x +1时，
∫ y
=
x
a(t )dt
e∫0
⎡ ⎢ ⎣
x
b(t
)e
∫t
−
0
a
(
s
)
ds
dt
0
+
⎤ C⎥
⎦
=
Cesin x+x
−1
均不是以 2π 为周期的函数。
∫ ⎜⎛
2π
∫ a(s)ds
⎟⎞
π 4
≤
t
≤
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B 等于（ ） A ．{2，4}B ．{2，4，8}C ．{2，4，6，8}D ．{2，4，6，8，9}2．在(x 2−1x)5的展开式中，x 的系数为（ ）A ．10B ．﹣10C ．20D ．﹣203．若双曲线x 2m−y 2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（ ）A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y =±√55x D ．y =±√5x4．已知函数f(x)=x −1x ，则下列说法中正确的是（ ）A ．f(2)=f(12)B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）在定义域内是增函数D ．f （x ）存在最大值5．在△ABC 中，AB =5，BC =3，sin ∠BAC =35，则AB →⋅CB →等于（ ）A ．﹣16B ．﹣9C ．9D ．166．已知底面边长为2的正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为8√3，则直线AC 与A 1B 所成角的余弦为（ ） A ．√32B ．√22C ．√34D ．√247．已知点F 是双曲线C ：x 2﹣y 2＝1的一个焦点，直线l ：y ＝kx ，则“点F 到直线l 的距离大于1”是“直线l 与双曲线C 没有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ﹣1（n ＝1，2，3，⋯），则下列结论中正确的是（ ） A ．a n =2nB ．S n =2n+1−2C ．数列{log 2a n }的前n 项和为n 2−12D ．数列{S na n}是递增数列 9．已知直线l 1：mx +y ＝0恒过定点A ，直线l 2：x ﹣my ﹣2＝0恒过定点B ，且直线l 1与l 2交于点P ，则点P 到点(0，2√2)的距离的最大值为（ ） A ．4B ．2√3C ．3D ．210．已知函数f（x）={x2−2x，x≤0ln(x+1)，x＞0，若不等式x（f（x）﹣a|x|）≤0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2]C．[1，2]D．[1，+∞）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2022学年上海清华中学高三数学文上学期期末试题含解析
2021-2022学年上海清华中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A 和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．2. 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．∴该多面体的体积V=23﹣﹣=7．故选：B．3. 执行右图的程序框图，任意输入一次与，则能输出数对的概率为A．B．C．D．参考答案：B4. 在复平面内，复数对应的点的坐标为(－3,1)，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B设，∴，∴在复平面内对应的点位于第二象限．5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．B．C．D．A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，进而得到答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，圆柱的底面直径为2，半径r=1，高h=2，故侧面积为：2πrh=4π；圆锥的底面直径为4，半径r=2，高h=1，母线长为：，故表面积为：πr（r+l）=（4+2）π；故组合体的表面积S=（8+2）π；故选：A6. 下列对应关系：①：的平方根②：的倒数③：④：中的数平方其中是到的映射的是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③参考答案：D略7. 若命题“或”是真命题，“且”是假命题，则（▲）A.命题和命题都是假命题B.命题和命题都是真命题C.命题和命题“”的真值不同D.命题和命题的真值不同参考答案：D略8. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）。