阿基米德三角形性质与高考题

阿基米德三角形性质与高

考题

Last revision on 21 December 2020

阿基米德三角形性质与高考题

性质1

即：)2

,2(2

1

21y y p y y Q + 19．（07年江苏卷轴正方向上一点(0)C c ，A B ，两点．一条垂直于x :l y c =-交于点P Q ，．

（1）若2=⋅OB OA ，求c （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）

19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．

解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得20x kx c --=． 令2

()A a a ，，2

()B b b ，，则ab c =-．

因为22

2

2OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．

（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫

-

⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222

AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设0()Q x c -，

． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQ

a c a a

b k a x a x +-==--，所以20

2a ab

a a x -=-，

得202ax a ab =+，因0a ≠，有02

a b

x +=． 故点P 的横坐标为

2

a b

+，即P 点是线段AB 的中点． 性质2：2||||||QF BF AF =⋅

例7．（13广东）已知抛物线C

20=的距离

为

2

.设P 为直线l 上的点,. (Ⅰ) 求抛物线C (Ⅱ) 当点()00,P x y (Ⅲ) 当点P 在直线l 性质3：QFB QFA ∠=∠

22．（05江西02=-y 上运动，过P 作抛物线C B 两点.

（1）求△APB 的重心G （2）证明∠PFA=∠22．解：（1）设切点A 、B ∴切线AP 的方程为：2x 切线BP 的方程为：21x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10，

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

（2）因为).4

1,(),41,2(),41,(2

111010

200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +

=--+⋅+==∠

同理有||41)1)(1(||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +

=--+⋅+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p

（21）（06年全国卷

F ，A 、B 是热线上的两动点，且

(0).AF FB λλ=>过M 。

（I ）证明.FM AB （II ）设ABM ∆S 的最小值。